广东省惠州中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

惠州中学2024--2025学年高一年级第二学期3月考试 数 学 本试卷共 4 页, 19 小题, 满分 150 分, 考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数z₁=2+i, z₂=3-i对应的两点之间的距离为 ( ) A. 1 B. C. 4 D. 5 2. 已知 则“m=2”是“ā⊥b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a，b满足 且b在a上的投影向量为 则 的值为( ) A. B. 4. 在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b=ccosA, 则△ABC的形状为( ). A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 5. 平行四边形ABCD中, AB=4, AD=2, AB·AD=-4,点P是边CD的一个四等分点(靠近C点)，则 的值是 ( ) A. - 2 B. 2 C. 1 D. - 1 6. 已知O为△ABC的外接圆圆心, OA=2,∠BAC=45°,则 的最大值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 第 1 页 共 4 页 7.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB, 高为 在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是 和 ，在楼顶A 处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( ) A. 20m B. 30m 8. 青花瓷(blue and white porcelain), 又称白地青花瓷, 常简称青花, 是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范围是( ) A. [2,3] C. [2,4] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 则( ) 10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 且 则( ) A.△ABC的外接圆直径为 B. b=2a C. △ABC的面积为3 D. △ABC的周长为 第 2 页 共 4页 11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形. 拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论错误的是 ( ) A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若 则 C. 若AB=2AB', 则. D. 若A'是AB'的中点, 则△ABC的面积是△A'B'C'面积的5倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填在答题卡的相应位置上。 12. 复数z满足z+6i=z(i为虚数单位), 则z的虚部为 . 13. 已知点A(3,-4)与点B(-1,2), 点P在直线AB上, 且 则点P的坐标为 . 14. 在△ABC中,M是边BC的中点, N是线段BM的中点. 设 记 则m-n= ; 若 的面积为 ，则当 ______时， 取得最小值. 四、解答题: 本题共5小题, 共77分。第15题13分, 第16、17题15分, 第18、19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 15. (13分) 已知向量 (1)求|c|; (2)若向量 试用ā,b表示a； (3)若 求实数k的值. 第 3 页 共 4 页 16. (15分) 记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知 (1)求B; (2)若 求△ABC的面积. 17. (15分) 已知向ā=(sinωx,cosωx),b=(cosφ,sinφ),其中 设函数 且f(0)=-1,函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π/2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间 上单调递减，求实数m的最大值. 18. (17分) 在锐角△ABC中, 角A, B, C的对边分别是a, b, c,且 (1)求角A的大小； (2)求2cosB+cosC的取值范围. 19. (17分) 设O为坐标原点，定义非零向量 的“友函数”为f(x)= asinx+ bcosx(x∈R), 向量 称为函数f(x)= asinx+ bcosx(x∈R)的“友向量”. (1)记 的“友函数”为f(x)，求函数f(x)的单调递增区间； (2)设 其中θ∈R，求h(x)的“友向量”模长的最大值； (3)已知点M(a,b)满足 向量 的“友函数”f(x)在x=x₀处取得最大值.当点M运动时，求 的取值范围. 第 4 页 共 4页 惠州中学2024--2025学年高一年级第二学期3月考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D B D A 5.【详解】由题设， 又 所以 6. 由 由题意知∠CAM =45°,∠AMC=105°, 所以∠ACM=30°, 在△ABM中, 可得 在△ACM中，由正弦定理得 所以 在直角△DCM 中, 7.【详解】如图所示: 因为O为△ABC的外接圆圆心, OA=2,∠BAC=45°, 所以∠BOC=2∠BAC=90°, 且 所以 , 故当 共线反向时， 取到最大值4. 8.【详解】连接AB,OM, 如图所示: 则 第 1 页 共 6 页 根据图形可知，当点M 位于正六边形各边的中点时，|MO|有最小值为 ，此时 当点M 位于正六边形的顶点时，|MO|有最大值为2，此时 故 即 的取值范围是[2，3]. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABD ACD 10.【详解】因为 由正弦定理可得外接圆直径 故A正确；由 易得cosA≠0, 所以sinBcosA=sin2A等价于sinBcosA=2sinAcosA, 所以sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a，故B正确； 由余弦定理可得 代入 解得 △ABC的面积为 故C错误， 所以△ABC的周长为 D正确. 11.对于A，根据题意，题图2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC， 故AA'=BB'，AB'>BB'，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误； 对于 B, 在△ABB'中, 所以 而∠AB'B=120°, 所以 由正弦定理得 解得 又因为 所以. 故选项B正确； 对于C，不妨设. 在△ABB'中， 由余弦定理得. 即 解得 所以 故选项C错误； 第 2 页 共 6页 对于D, 若A'是AB'的中点, 所以 故选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. - 3 或(-3,5) 14. /₀.5 2 14.【详解】由题意得 故 故 由三角形面积公式得 故. 其中 故 当且仅当 即 时，等号成立， 此时 故BC=2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15. (1)因为 所以 2 所以 .4 (2)由题可知a与b不共线，故设 .5 即(5,2)=x(1,2)+y(-3,2), 6 所以 解得x=2, y=-1. 8 第 3 页 共 6 页 因此 9 (3)由题意得 kā+2b=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4). 10 因为 所以-2(k-6)=7(2k+4), 12 解得k=-1. 13 16. (1) 在△ABC中, 由 及余弦定理，得 解得 4 而0<C<π, 则 5 由 得 7 又0<B<π, 所以 8 (2)由(1), 得 10 由正弦定理得 12 所以△ABC的面积为 15 17. (1) 因为向量ā=(sinωx,cosωx), b=(cosφ,sinφ), 所以f 2 因为.f(0)=2sinφ=-1,所以 4 因为 所以 又函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π/2. 所以 则ω=2, 6 所以 7 (2) 因为 所以 9 又因为函数f(x)在区间 上单调递减， 第 4 页 共 6页 所以 11 则 13 解得 14 所以实数m的最大值 15 18.(1)因为 由正弦定理得 2 因为A+B+C=π,所以sinC= sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 3 所以 4 即 因为 所以sinB≠0, 所以 即 .6 因为 所以 .7 (2) 因为 所以 所以 .8 则 11 因为△ABC是锐角三角形，所以 解得 13 所以 所以 15 则 即2cosB+cosC的取值范围是 17 19. (1)由已知 1 则令 2 解得 3 即函数的单调递增区间为 .4 (2) 第 5 页 共 6 页 6 则h(x)的“友向量”为 7 所以 9 又θ∈R，所以当 时， 取得最大值为3； 10 (3) 由已知点M(a,b)满足( 则a≠0, b≠0, 且 11 又 且 12 且当 z时，函数f(x)取得最大值， 即 13 所以 即 14 又 15 设 则原式 且在 上单调递减， 16 所以 17 第 6 页 共 6页 学科网（北京）股份有限公司 $$