2025年贵州省铜仁市沿河土家族自治县第四中学九年级中考模拟预测数学试题

试卷第 1页，共 2页 九年级第一次模拟考试数学试题 一、单选题 1. 实数−2，0， 3，3 8中，无理数是( ) A. −2 B. 0 C. 3 D. 3 8 2. 下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是( ) A. B. C. D. 3. 沿河县天鹅桥，连接桥面的公路总长度约为 1460米，将数据 1460用科 学记数法表示为( ) A. 1.46 × 105 B. 0.146 × 106 C. 1.46 × 106 D. 146 × 103 4．在 ABC 中， 80 , 70A B     ，那么sinC的值是（ ） A． 12 B．1 C． 2 2 D． 3 2 5．下列计算正确的是（ ） A． 2 3 5a a a  B．  32 5a a C．2 3 6a a a  D．  23 6 22 4a b a b 6.在一个不透明的箱子里有 n个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有 6 个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量 的重复试验后发现，摸到白球的频率为 0.4 ，由此可以推算出 n约为（ ） A．10 B．15 C．16 D．21 7．如图，在 ABCV 中，小明按以下叙述作图： ①分别以 A，B为圆心，大于 1 2 AB的长为半径画弧，相交于 P，Q两点． ②连接 PQ，则 PQ即为所求．小明完成的是哪一个问题（ ） A． C 的平分线 B． AB的垂直平分线 C． AB边上的中线 D． AB边上的高 （第 7题） （第 9题） （第 11题） 8．下列说法中正确的个数是（ ） ①直角三角形只有一条高；②多边形的外角和等于360；③三角形的外角大 于任何一个角；④如果两个三角形中两条边和其中一边上的中线分别相等， 那么这两个三角形全等；⑤各边都相等的多边形是正多边形；⑥等边三角形 是等腰三角形；⑦有两边和一角分别相等的两个三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如一次函数 y ax b  与反比例函数 cy x  的图象如图所示，则二次函数 2y ax bx c   的大致图象是（ ） A． B． C． D． 10．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选 自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每 3人坐一辆车，则有 2 辆空车；若每 2人坐一辆车，则有 9人需要步行，问人与车各多少？设共有 x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A．  3 2 2 9 x y x y       B． 3 2 2 9 x y x y      C．  3 2 2 9 x y x y       D． 3 2 2 9 x y x y      11．如图，正三角形 ABC的边长为8，点D，E，F 分别为 BC，CA， AB 的中点，以A， B，C三点为圆心， 4为半径作圆，则图中阴影部分的面积 为（ ） A．16 3 8 B．16 3 4 C．32 3 8 D．32 3 4  12．二次函数  2 0y ax bx c a    的部分图象如图所示，图象过点  1,0 ， 对称轴为直线 2x  ，下列结论： ① 4 0a b  ； ②9 3a c b  ； ③8 7 2 0a b c   ； ④若点  13,A y ，点 2 1 , 2 B y     ，点 3 7 , 2 C y     在该函数图象上，则 1 3 2y y y  ； ⑤若方程   1 5 3a x x    的两根为 1x 和 2x ，且 1 2x x ，则 1 21 5x x    ． 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．2 二、填空题 13．若代数式 1 − �在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 14．因式分解：-8a²+4ab= . 15．如图， AB是 O 的直径，C，D是 O 上的两点，若 30BCD  ，则 ABD  ． （第 12题） （第 15题） 16．在平行四边形 ABCD中 ， 4AB  ， 60ABC  ，点O为对角线 AC的 中点，连接 BO．当△AOB是直角三角形时， AC的长为 三、解答题 17．（1）从下列几个中任选 3个求和 ① ② ③ ④ （2）．先化简 2 2 2 1 4 2 4 4 x x x x x x x x          ，然后再从0，2，3，4这 4 个数字中选择一个使原式有意义的数作为 x的值代入求值． 18．某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳 动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间 x分为如下四组（A： 60x  ；B： 60 80x  ；C：80 100x  ；D： 100x  ，单位：分钟）进行统计，绘制 了如下不完整的统计图． (1)求出本次抽样的学生人数并 补全条形统计图； (2)已知该校九年级有600名学 生，请估计该校九年级学生中参 加家务劳动的时间在60到100 分钟（含60分钟）的学生有多少人？ (3)若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感 受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男 生的概率． 试卷第 2页，共 2页 19．如图，在 ABCV 中，D为 BC的中点，过点 D分别作DE AB∥ ，DF AC∥ ， 分别交 AC， AB于点 E，F． (1)求证： BDF DCE ≌ ； (2)下列是两位同学的对话： 请选择其中一位同学的说法加以证明． 20．如图，嘉淇要利用无人机测量她家所住楼房（ BC）的高度，在楼前的 地平面上选定点 O， 56mOB  ，嘉淇遥控无人机停留在点 O正上方的 A处 时（ 60mOA  ），测得楼房顶端 C点处的俯角为 45，以点 O为原点、OB 所在直线为 x轴，OA所在直线为 y轴建立平面直角坐标系． (1)求楼房  BC 的高度； (2)求OC所在直线的解析式 21．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用 15000元购进 毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用 12000元购入毛 肚，每份的进价比第一次少了 5元，所购数量与第一次购进数量相同． (1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ (2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价 40元 出售，每天能售出 480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决 定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降 1元，每天的销量就 增加 2份．降价后，该店毛肚每日销售额为 15000元，求降价后每份毛肚的 实际售价． 22．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 : 4AB y x  与反比例函数 ky x  的图象交于A、 B两点，与 x轴相交于点C，已知点A， B的坐标分别为  6 ,2n n 和  , 6m  ． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式 4 kx x  ≥ 的解集； (3)连接OB，求三角形 AOB的面积． 23．如图，AB是⊙O的直径，弦 AC与 BD交于点 E，且 AC＝BD，连接 AD， BC． （1）求证：△ADB≌△BCA； （2）若 OD⊥AC，AB＝4，求弦 AC的长； （3）在（2）的条件下，延长 AB至点 P，使 BP＝2，连接 PC．求证：PC是⊙O的切线． 24．数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长 方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示 的平面直角坐标系（x 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形 DEFG为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从  1,0A 处抛出，弹珠的飞行轨 迹为抛物线 L： 2 3y ax bx   （单位长度为 1m）的一部分，且抛物线经过  2,3 ．已知 2m 2m 5mDE EF DA  ， ， ． (1)求抛物线 L的解析式和顶点坐标； (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子； (3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线 L形状相同的抛物线 M 运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达3m，则弹珠能否弹出箱子？请说明理 由． 25．【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性 质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在 ABCV 中， 90ABC  ，AB CB ，D是 ABCV 边上的一动点，P是 ABCV 外任意一点， 过点D与点 P作射线DP，将射线DP绕点D逆时针旋转90得到射线DQ． 【问题初探】 （1）如图 1，点D与直角顶点 B重合，射线DP交边 AC于点 E，点 F在射 线DQ上，且满足DE DF ，连接 AF ．求证： AF CE 且 AF CE ． 【问题深探】 （2）如图 2，点D在直角边 AB上，射线DP恰巧经过点C，点 F 在射线DQ 上，且满足DC DF ，连接 AF ．请直接写出 AC， AD， AF 之间的数量关 系：______． 【问题拓展】 （3）如图 3，点D在斜边 AC上，且CD kAD （0 1k  ），射线DP交边 AB 于点 E，射线DQ交边CB于点 F ．当 1 2 k  ， 4AE  ， 3CF  时，求线段 AC的长. 答案第 1页，共 1页 （2） 一、选择题：每小题 3分，共 36 分。 1 B C DA 3 B C DA 2 B C DA 4 B C DA 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 沿河思源实验学校九年级第一次模拟考试 数学答题卡 姓 名 准考证号 座 位 号 缺考标记 缺考标记，考生 禁填！由监考老 师负责用 2B 铅 笔填涂。 注 意 事 项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、座位号填写清楚，将条 形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹 的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正 带、刮纸刀。 正确填涂 贴条形码区 填 涂 样 例 B C DA B C DA B C DA B B C DA C DA B C DA B C DA B C DA 9 10 11 12 5 6 7 8 二、填空题：每小题 4分，共 16 分。 三、解答题：本大题 9小题，共 98 分。 13. 14. 15. 16. 17.（本题满分 12分） （1） 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.（本题满分 10分） 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 20.（本题满分 10分） 21. 34. 35. 21.（本题满分 10分） 18.（本题满分 10分） 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 22.（本题满分 10分） 24.（本题满分 12分） 25.（本题满分 12分） 23.（本题满分 12分） 九年级第一次模拟考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B D D B B A A 题号 11 12 答案 A A 1．A 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的识别、求对称轴条数，解题关键是熟练掌握轴对 称图形的识别． 根据轴对称图形的识别、求对称轴条数的方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项，该图形是轴对称图形，对称轴有5条， B选项，该图形是轴对称图形，对称轴有6条， C选项，该图形不是轴对称图形， D选项，该图形是轴对称图形，对称轴有6条， 综上，是轴对称图形且对称轴条数最少的是A选项中的图形． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据绝对值小于 1的数可以用科学记数法表 示，一般形式为 10 na  ，使用负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，即可求解． 【详解】解： 80.000000023 2.3 10  ． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出 30C  ，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在 ABC 中， 80 , 70A B     ， ∴ 180 30C A B     ， ∴ 1sin sin 30 2 C    ， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据白球的个数除以它占总数的比例即为球 的总数 n，求出即可，解题的关键是能够根据大量重复试验中频率稳定于概率得出概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为 0.4 ， ∴ 6 0.4 n  ， 解得： 15n  ， ∴ n约为15， 故选：B． 5．D 【分析】分别根据合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式乘单项式的法则，积的乘方 的性质求解即可． 【详解】A、a2与 a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（a2）3＝a6，故本选项错误； C、2a•3a＝6a2，故本选项错误； D、（2a3b）2＝4a6b2，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式乘单项式的法则，积的乘 方的性质，比较简单，解题要注意细心． 6．D 【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键． 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子， 或含有字母的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求 解． 【详解】解：① 2 1x  ，是代数式， ② 34 3 v r ，不是代数式， ③ a，是代数式， ④ 1 m m ，是代数式， ⑤ 1 0y   ，不是代数式， ⑥ 2 2a b ，是代数式， ⑦15，是代数式， ⑧ 2 0x  ，不是代数式， ⑨ s vt ，不是代数式， ∴代数式的有①③④⑥⑦，共 5个， 故选：D ． 7．B 【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小明完成的是 AB的垂直平分线， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、三角形的中线性质，全等三角形的性质及三角形 全等的判定等，根据相关知识逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：①直角三角形只有三条高，故原说法错误； ②多边形的外角和等于360，故说法正确； ③三角形的外角大于任何不相邻的内角，故原说法错误； ④如果两个三角形有两条边和其中一边中线分别相等，那么这两个三角形全等， 如图， AB EH ，BC HG ，中线 AD 中线 EF， ∴ BD HF ， ∴  SSSABD EHF ≌ ， ∴ B H  ， ∴  SASABC EHG ≌ ，故说法正确； ⑤各边各角都相等的多边形是正多边形，故原说法错误； ⑥等边三角形是等腰三角形，故说法正确； ⑦有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，故原说法错误； 综上，说法正确的有：②④⑥，共 3个， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函 数与反比例函数图象找出 a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为 2 bx a   ，找出二次函 数对称轴在 y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数 y ax b  图象过第一、二、四象限， ∴ 0a  ， 0b  ， ∴ bx 0 2a    ， ∴二次函数 2y ax bx c   的图象开口向下，对称轴在 y轴右侧； ∵反比例函数 cy x  的图象在第一、三象限， ∴ 0c  ， ∴二次函数 2y ax bx c   的图象与 y轴交点在 x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项 A． 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次 方程组是解题的关键．根据“若每 3人坐一辆车，则有 2辆空车；若每 2人坐一辆车，则有 9人需要步行”，即可列出方程组． 【详解】根据每 3人坐一辆车，则有 2辆空车，可列方程  3 2x y  ， 根据每 2人坐一辆车，则有 9人需要步行，可列方程 2 9x y  ， 所以可列方程组为  3 2 2 9 x y x y       ． 故选：A． 11．A 【分析】连接 AD，根据等边三角形的性质可得 8AB AC BC   ， 60BAC ABC ACB  ∠ ∠ ∠ ，求得圆的半径都是 4，再利用 3ABC BFDS S S  阴影 扇形 求解即 可．本题考查等边三角形的性质、扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化 成求规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接 AD， 则 BD CD ， ∵ ABCV 是等边三角形， ∴ 60BAC ABC ACB  ∠ ∠ ∠ ， 8AB AC BC   ， ∴ 4BD CD  ， 即三个圆的半径都是 4， 在 Rt ABDV 中， 2 2 2 28 4 4 3AD AB BD     ， ∴ 21 60 43 8 4 3 3 16 3 8 2 360ABC BFD S S S           阴影 扇形 ． 故选：A． 12．A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次 函数与方程及不等式的关系．二次函数图象上点的坐标特征．根据抛物线对称轴为直线 2x  可得 a与 b的关系，从而判断①；由 3x   时 0y  可判断②；由抛物线经过点  1,0 及抛 物线对称轴可求出 b与 a，c与 a的关系从而判断③；由 A，B，C三点到对称轴的距离大小 判断④；将方程的解转化为抛物线与直线 = 3y  的交点问题，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线对称轴为直线 2 2 bx a    ， 4b a   ，即 4 0a b  ，①正确； 由图象可得 3x   时， 0y  ， 即9 3 0a b c   ． 9 3a c b   ，②错误； 抛物线经过  1,0 ， 0a b c    ． 4b a  ， 5c a   ． 8 7 2 8 28 10 30a b c a a a a       ． 抛物线开口向下， 0a  ． 30 0a  ，③正确； 点 C，点 B，点 A到抛物线对称轴距离依次增大， 3 2 1y y y   ，④错误； 抛物线经过点  1,0 ，对称轴为直线 2x  ， 抛物线经过点  5,0 ． 抛物线解析式为   1 5y a x x   ． 方程   1 5 3a x x    的两根为抛物线与直线 = 3y  的交点的横坐标． 由图象可得 1 21 5x x    ，⑤正确 故选：A． 13． 1x  【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必 须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0列式计算即可 得解． 【详解】解：根据题意1 0x  且1 0x  ， 解得： 1x  ， 故答案为： 1x  ． 14．-4a (2a-b) 【分析】根据提公因式法进行计算即可得到答案. 【详解】-8a²+4ab=-4a (2a-b)，故答案为-4a (2a-b). 【点睛】本题考查提公因式法进行因式分解，解题的关键是掌握提公因式法. 15．60 /60度 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对 的圆周角相等是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得到 90ACB  ，求出 ACD ， 根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵ AB是 O 的直径， ∴ 90ACB  ， ∵ 30BCD  ， ∴ 60ACD ACB BCD    ， ∴ 60ABD ACD   ， 故答案为：60． 16． 4或 4 3 【分析】由平行四边形的性质可得OA OC ，OB OD ，分两种情况：当 90AOB  ，当 90BAO  时，根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质求解即可． 【详解】解： 四边形 ABCD是平行四边形，点O为对角线 AC的中点， OA OC ，OB OD ， 当 90AOB  ，即 AC BD 时，平行四边形 ABCD是菱形，  AB BC  60ABC  ，  ABCV 是等边三角形，  4AC AB  ； 当 90BAO  时，  60ABC  ，  180 30BCA BAO ABC     ，  2 8BC AB  ，  2 2 2 24 4 38AC BC AB     ； 综上所述， AC的长为 4或 4 3， 故答案为： 4或 4 3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾 股定理，含30角的直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 17．（1） 14 （2） 2 3 x y    【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解相关知识是解答关键． （1）利用绝对值的性质，乘方的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则来计算求解； （2）利用加减消元法来求解． 【详解】解：（1）     1 2 0 11 2 2 3 3.14 2             12 1 4 3 1 1 2       2 1 12 1 2     14  ； （2） 2 8 3 4 18 x y x y      ① ② ① 3 得：3 6 24x y  ③， ③-②得2 6y  ， 解得 3y  ， 把 3y  代入①得 6 8x   ， 解得 2x  ， ∴方程组的解是 2 3 x y    ． 18． 2 2 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值．先根据特殊角的三角函数值、 负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可． 【详解】解：原式 4 3 2 2 1 1      4 3 2 2 1     2 2  ． 19．  2 1 2x  ，当 3x  时，原式＝1． 【分析】本题考查了运用分式的混合运算法则化简求值，确保分母和除式里的除数都不为 0 是解题关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 x，代入计 算即可． 【详解】解：原式    2 2 1 2 42 x x x x x xx                  2 2 2 1 42 x x x x x xx x         2 4 42 x x xx x      2 1 2x   ， 由题意得： 0, 2, 4x  ， ∴当 3x  时，原式  2 1 1 3 2    ． 20．(1)50（人），补全图形见解析； (2)420人； (3) 3 5 ． 【分析】  1 根据条形统计图中D组有5人，扇形统计图中D组人数占总人数的10%，计算 出抽查的学生的总人数为50人，用总人数减去A组、B组、D组的人数，求出C组的人数， 根据C组的人数补全条形统计图；  2 根据条形统计图可知被抽查到的学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟的人数共 有15 20 35  人，占被抽查的总人数的 35 70% 50  ，利用样本估计总体，可得：全校参加家 务劳动的时间在60到100分钟的人数有 15 20600 420 50    人；  3 利用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有 20种等可能的结果，其中抽取的两名 同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种，所以可知抽取的两名同学中恰好是一名 女生和一名男生的概率为 3 5 ． 【详解】（1）解：本次抽样的学生人数为5 10% 50  （人）， C组的人数为50 10 15 5 20    （人）， 补全条形统计图如下图所示； （2）解： 15 20600 420 50    （人）， 估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生约 420人； （3）解：由题意得，有3名女生， 2名男生， 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有 20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种， 抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为 12 3 20 5  ． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本的数据估计总体数据、列表法求 概率．解决本题的关键是先求出样本数据，再利用样本数据估计总体数据． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据ASA证明 BDF DCE ≌ 即可； （2）先证明四边形 AFDE为平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形为菱形证明 小杰的结论；根据有一个角是直角是平行四边形为矩形证明小兰的结论即可． 【详解】（1）证明：∵D为 BC的中点， ∴ BD CD ， ∵DE AB∥ ，DF AC∥ ， ∴ CDE B  ， BDF C  ， ∴ BDF DCE ≌ ； （2）证明：小杰：连接 AD， ∵DE AB∥ ，DF AC∥ ， ∴四边形 AFDE为平行四边形， ∵ AB AC ，D为BC的中点， ∴ BAD CAD   ， ∵DF AC∥ ， ∴ ADF CAD  ， ∴  ADF BAD， ∴ AF DF ， ∴四边形 AFDE为菱形； 小兰：∵DE AB∥ ，DF AC∥ ， ∴四边形 AFDE为平行四边形， ∵ 90BAC  ， ∴四边形 AFDE为矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，三角形全等的判定，等腰三角形的判定 和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定定理． 22．(1) 4mBC  (2) 1 14 y x 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和求一次函数解析式，解题关键是恰当构建直角三 角形和熟练运用待定系数法求解析式； （1）作CD OA 于 D，求出 56mAD CD OB   ，再求出 4mBC OD  即可； （2）写出 C点坐标，利用待定系数法求出解析式即可． 【详解】（1）解：作CD OA 于 D， 所以 56mOB CD  ，OD CB ， 因为无人机停留在点 O正上方的 A处时（ 60mOA  ），测得楼房顶端 C点处的俯角为 45， 所以 45CAD CAM   ， ∴ 56mOB CD AD   ， ∵ 60mOA  ， ∴ 4mBC OD  ． （2）解：由（1）可知点 C坐标为 (56, 4)， 设OC所在直线的解析式 y kx ， 把 (56, 4)代入得， 4 56k ， 解得 1 14 k  ， 所以OC所在直线的解析式 1 14 y x ． 23．(1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元 (2)降价后每份毛肚的实际售价为30元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用； （1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份 x元，则第二次的进价为  5x  ，根据两次 购进的数量相等建立分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设降价m元，依题意得，   40 480 2 15000m m   ，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份 x元，则第二次的进价为  5x  ， 根据题意，得 15000 12000 5x x   ， 解得： 25x  ， 经检验， 25x  是原方程的解； 答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份 25元； （2）解：设降价m元，依题意得，   40 480 2 15000m m   ， 解得： 10m  或 210m   （舍去）， ∴降价后每份毛肚的实际售价为 40 10 30  （元）， 答：降价后每份毛肚的实际售价为30元． 24．(1) 12y x  (2) 2 0x   或 6x  (3)16 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数 与一次函数综合是解题的关键． （1）把点  6 ,2A n n 代入 4y x  ，解得 1n  ，则点A的坐标为  6,2 ，然后由反比例函数 ky x  的图象过点A，求反比例函数即可； （2）把点  , 6B m  代入直线 4y x  ，解得 2m   ，即  2, 6B   ，根据不等式的解集为一 次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的 x的取值范围，结合图象作答即 可； （3）先求解一次函数与 x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把点  6 ,2A n n 代入 4y x  得， 2 6 4n n  ， 解得： 1n  ， 点A的坐标为：  6,2 ， 反比例函数 ky x  的图象过点A， ∴ 6 2 12k    ， ∴反比例函数的解析式为 12y x  ； （2）解：把点  , 6B m  代入直线 4y x  得， 6 4m   ， 解得 2m   ， ∴  2, 6B   ， 由函数图象可知：当 2 0x   或 6x  时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式 4 kx x   的解集为 2 0x   或 6x  ． （3）解：连接OB，如图所示， ∵直线 : 4AB y x  与 x轴相交于点C， 当 0y  时， 4x  ∴  4,0C ∴ 4OC  ∴  1 1 4 2 6 16 2 2AOB A B S OC y y        ． 25．(1)60 (2) 2 (3) 4 3 3 【分析】（1）连接OC，由垂径定理得到 AD CD ，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的 关系定理得到 AD BC ，进而得到  AD CD BC  即可求解； （2）由（1）易得 30A  ，利用含30角直角三角形的性质得到OF的长度，进而求解； （3）由（2）可得到CF的长度， 30D  ，利用含30角直角三角形的性质得到 2EF DE ， 再结合 2OF  ，利用勾股定理求出， EF 的长度，进而求出CE的值． 【详解】（1）解：如图，连接OC， OD AC ，  AD CD  ， 90AFO  ． 又 AC BD ，  AC BD  ， 即   AD CD CD BC   ，  AD BC  ，   AD CD BC   ， 60AOD DOC BOC    ． （2）解： 60AOD   ， 30A  ． 8AB  ， 4OA OB OC    ． 又 OD OB ， 1 30 2 D B AOD   ， 1 2 2 OF OA   ， 4 2 2DF OD OF      ． （3）解：由（2）得 4OA ， 2OF  , 2 2 2 24 2 2 3AF CF OA OF       . 60AOD   ，OD OB ， 30D  ， 2EF DE  ． 2OF  ，  22 2 22 2EF DE EF    ， 2 3 3 EF  ， 4 3 3 EC CF EF   ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含30角直角三 角形的性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 26．(1) 2 2 3y x x    ；顶点坐标为  1,4 (2)见解析 (3)弹珠能弹出箱子，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出点  2,0E  ，  2,2F  ，  4,2G  ．当 2y  时， 2 2 3 2x x    ，解得： 1 22 1 2 1x x    ， ，即可求解； （3）根据题意设抛物线 M的解析式为 2( ) 3y x h    ，把点  3,0 代入 2( ) 3y x h    ， 得： 2( 3 ) 3 0h    ，解得： 3 3h    或 3 3 ，进而求解． 【详解】（1）解：（1）把点  1,0A ，  2,3 代入 2 3y ax bx   得： 3 0 4 2 3 3 a b a b        ，解得 1 2 a b      ， ∴抛物线 L的解析式为 2 2 3y x x    ； ∵ 2( 1) 4y x    ， ∴顶点坐标为  1,4 ； （2）解：∵  1,0A ， ∴ 1mOA  ． ∵ 5mDA  ， ∴ 4mDO  ，即点  4,0D  ． ∵ 2m 2mDE EF ， ，， ∴ 2mEO  ． ∴点  2,0E  ，  2,2F  ，  4,2G  ． 当 2y  时， 2 2 3 2x x    ， 解得： 1 22 1 2 1x x    ， ，． ∵ 4 2 1 2      ， ∴该同学抛出的弹珠能投入箱子； （3）解：弹珠能弹出箱子，理由如下： 当 0y  时， 2x 2x 3 0    ，解得 1 23 1x x  ， ， ∴抛物线 L与 x轴的另一个交点为  3,0 ． 根据题意设抛物线 M的解析式为 2( ) 3y x h    ， 把点  3,0 代入 2( ) 3y x h    ， 得： 2( 3 ) 3 0h    ， 解得： 3 3h    或 3 3 ，． 又∵抛物线 M的对称轴在直线 3x   的左侧， ∴ 3 3h    ． ∴抛物线 M的解析式为： 2( 3 3) 3y x     ． ∵当 4x   时， 23 ( 3 1) 2y     ， ∴弹珠能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关 键是学会寻找特殊点解决问题． 27．（1）证明见解析；（2） 2AC AD AF  ；（3）15 2 2 【分析】(1)利用边角边证 AFB CEB ≌ ，得到 AF CE ，再通过倒角即可证出 AF CE ； (2)构造一线三垂直全等，过 F 作 FH AB 交 BA延长线于点H ，先证 CBD DHF ≌ ，得到 HF BD ，DH BC ，再证出 AH BD HF  ，进而得到 2AF BD ，再通过  2 2 2 2 2AC AB AD BD AD BD AD AF       即可得解； (3)过点D作DM BC 于点M ，DN AB 于点 N，先证 AND CMD ∽ ，得到 2 DN DM  ，再 证 DEN DFM ∽ ，得出 2 EN DN FM DM   ，设参，利用 AD AN 建立方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵ 90ABC  ， 90QBP  ， ∴ QBA ABP PBC ABP    ， ∴ QBA PBC   ， ∵ AB CB ， BE BF ， ∴  SASAFB CEB ≌ ， ∴ AF CE ， FAB C   ， ∵ 90BAC C   ， ∴ 90FAB BAC   ， ∴ 90FAC  ， ∴ AF CE ； （2）如图，过 F 作FH AB 交 BA延长线于点H ，则 90H B   ， 90PDQ   ， 90BDC DFH HDQ      ， DC DF ，  AASCBD DHF ≌ ， HF BD  ，DH BC ， AB BC ， AB DH  ， BD AH  ， AH HF  ， AHF 是等腰直角三角形， 2 2AF AH BD   ， ABC 是等腰直角三角形，  2 2 2 2 2AC AB AD BD AD BD AD AF        ， 故答案为： 2AC AD AF  ； （3）如图，过点D作DM BC 于点M ，DN AB 于点 N， ∴ 90DNA DNB DMC DMF        ， ∵ AB CB ， ∴ 45A C   ， ∴ AND CMD ∽ ， ∴ AD DN CD DM  ， ∵CD kAD ， 1 2 k  ， ∴ 2 DN DM  ， ∵ 90ABC  ， 90PDQ  ， ∴ 180BED DFB   ， ∵ 180DFC DFB   ， ∴ BED DFC  ， ∴ DEN DFM ∽ ， ∴ 2 EN DN FM DM   ， 设CM DM a  ， ∵ 4AE  ， 3CF  ， ∴ 3FM a  ，  2 3EN a  ， 2DN a ， ∴  4 2 3AN AE EN a     ， ∵ AN DN ， ∴  2 4 2 3a a   ， ∴ 5 2 a  ， ∴ 5 2 2 DC  ， 5 2AD  ， ∴ 15 2 2 AC DC AD   ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的 关键．