精品解析：湖北省黄石市大冶市2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

收心考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列描述的事件中，是随机事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 心想事成 C. 水中捞月 D. 只手遮天 4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. “云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 12. 一个QQ 群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，则这个 QQ 群里有_____个好友． 13. 在物理实验中，当电流通过电子元件“”时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等．如下图，当两个电子元件a、b并联时，P、Q之间电流通过的概率为___________． 14. 如图，点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点，且轴，轴于点C，则的值是_____________． 15. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，此方程总有两个实数根； （2）设方程两根为和，求的值． 18. 如图，D等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 19. 中学生使用智能手机的现象非常普遍，针对中学生的网络诈骗案件也频频发生，为了引导青少年正确使用互联网，自觉抵制不良网站，增强青少年的网络安全意识，某校举行了一次“和谐网络你我共享，电信诈骗大家共防”的网络安全知识宣讲活动，校团委决定从三名九年级学生（分别用A、B、C表示）和两名八年级学生（分别用D、E表示）中随机选择部分同学参加知识宣讲活动． （1）若从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为_______； （2）若从这5名学生中随机选择2名参加宣讲活动，请用画树状图或列表方法求2名学生中至少有一名是九年级学生的概率． 20. 如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 22. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量） 23. 完成下列各题： （1）【基础巩固】如图1，四边形中，对角线平分，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，四边形为平行四边形，点在边上，连接，，，点在的延长线上，连接，若，，，求的长； （3）【拓展提高】如图3，在中，点在边上，连接，点，分别在，上，连接，，，若，，，，，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 收心考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了常见几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：A、球的左视图是圆，不符合题意； B、三棱柱的左视图是长方形，不符合题意； C、圆柱的左视图是长方形，不符合题意； D、圆锥的左视图是三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列描述的事件中，是随机事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 心想事成 C. 水中捞月 D. 只手遮天 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是理解题意，弄清成语的含义．根据事件的分类进行解答即可． 【详解】解：瓮中捉鳖是必然事件，只手遮天和水中捞月是不可能事件，心想事成是随机事件． 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的情况与判别式的关系，是掌握根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义以及根的情况与判别式的关系列不等式组求解即可． 【详解】解：∵一关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：且， ∴只有A选项符合题意． 故选A． 5. 如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ①若点A、点B同在第二或第四象限， ∵， ∴a-1＞a+1， 此不等式无解； ②若点A在第二象限且点B在第四象限， ∵， ∴， 解得：； ③由y1＞y2，可知点A第四象限且点B在第二象限这种情况不可能． 综上，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏． 7. 如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转得到，等边对等角，求出的度数，三角形的外角，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. “云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草锅盖侧面积为：． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质依次进行判断即可求解. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＞0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）， ∴x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误； ∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确； ∵x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， 而b＝﹣2a， ∴c＝﹣3a， ∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0， 即b＜c，所以⑤正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像性质特点. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 12. 一个QQ 群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，则这个 QQ 群里有_____个好友． 【答案】30 【解析】 【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x-1条消息，则发消息共有x(x-1)条． 【详解】解∶ 设有x个好友，依题意， x(x-1)=870， 整理，得x2-x-870=0，(x-30)(x+29)=0 解得：x1=30，x2=-29(舍去) 故答案为：30． 【点睛】本题类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别． 13. 在物理实验中，当电流通过电子元件“”时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等．如下图，当两个电子元件a、b并联时，P、Q之间电流通过的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，物理学中有关“并联电路”的知识；由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如图所示： 由图知共有4种等可能情况，有3种情况P、Q之间有电流通过， ∴P、Q之间电流通过的概率为． 故答案：． 14. 如图，点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点，且轴，轴于点C，则的值是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】延长交x轴于点D，过点A作轴于点E，利用k的几何意义，求得矩形的面积为4，矩形的面积为1，即可求得矩形的面积为3，据此求解即可． 【详解】解：延长交x轴于点D，过点A作轴于点E， ∵轴，轴， ∴四边形都是矩形， ∵点A、B分别是双曲线和第一象限分支上的点， ∴矩形的面积为4，矩形的面积为1， ∴矩形的面积为， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义．根据面积关系得出的值是解决问题的关键． 15. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5； （2）， 【解析】 【分析】（1）先化各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用因式分解法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解一元二次方程因式分解法，熟练地进行计算是解题的关键． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，此方程总有两个实数根； （2）设方程两根为和，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根的判别式及根与系数的关系式是解题的关键． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出，的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 证明：， 无论取何实数，此方程总有两个实数根． 【小问2详解】 由根与系数的关系可得，， ． 18. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 19. 中学生使用智能手机的现象非常普遍，针对中学生的网络诈骗案件也频频发生，为了引导青少年正确使用互联网，自觉抵制不良网站，增强青少年的网络安全意识，某校举行了一次“和谐网络你我共享，电信诈骗大家共防”的网络安全知识宣讲活动，校团委决定从三名九年级学生（分别用A、B、C表示）和两名八年级学生（分别用D、E表示）中随机选择部分同学参加知识宣讲活动． （1）若从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为_______； （2）若从这5名学生中随机选择2名参加宣讲活动，请用画树状图或列表的方法求2名学生中至少有一名是九年级学生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式计算，即可得到答案； （2）列出树状图，找出刚好选出的两名同学中至少有一名是九年级学生的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：从这5名学生中随机选择1名，则同学被选中的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中2名学生中至少有一名是九年级学生的结果数为18种， 所以2名学生中至少有一名是九年级学生的概率为． 20. 如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． 21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 22. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量） 【答案】（1） （2）当销售价定为80元时，销售利润最大，为元 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出二次函数的解析式． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数即可； （2）根据二次函数的性质，求最值即可； （3）根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，有最大值为：， 答：当销售价定为80元时，销售利润最大，为元； 【小问3详解】 由题意，当：时， 解得：或， ∴当时，， 又， 解得：， 综上：． 23. 完成下列各题： （1）【基础巩固】如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，四边形为平行四边形，点在边上，连接，，，点在的延长线上，连接，若，，，求的长； （3）【拓展提高】如图3，在中，点在边上，连接，点，分别在，上，连接，，，若，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用有两个角相等的三角形相似的判定即可； （2）由平行四边形的性质及已知得，，则可得，由相似的性质即可求得的长； （3）过点C作交延长线于点M，则有，，由等腰三角形性质可得；由已知可得，则可求得，再由可得，从而可求得结果． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点C作交延长线于点M， 则，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，构造平行线得到相似三角形是常用的辅助线． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，设，则，故，根据二次函数性质可得答案； （3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立方程组，即可解得点的坐标． 【小问1详解】 解：把、，代入， 可得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图所示： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值， 此时的坐标为； 【小问3详解】 解：直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把、的坐标代入可得，， 解得： 直线的解析式为：， 则 解得，或 的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$