精品解析：山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题

2025年3月济南市高三模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：B 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 3. 若直线：与直线：平行，则（ ） A 4 B. C. 1或 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点为，再利用抛物线平移即可得到答案. 【详解】，焦点为， 焦点为， 则焦点为， 故选：B． 6. 已知函数则解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 7. 已知圆台侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后放缩得单调性后可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 由三角函数线可得当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增，，， 即，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【解析】 【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可. 【详解】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义结合中位线的性质可得A正确；由椭圆的性质令点在第二三象限时可得B错误；由焦点三角形的面积公式结合内切圆的性质和椭圆的性质可得C正确；由正弦定理可得D正确. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误； 对于C，因为，， 当点在上顶点时，最大，所以，所以， 所以，所以由三角形相似可得， 设内切圆半径为，又， 所以内切圆半径的最大值为，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可判断. 【详解】对A，在原式中令，则，故A正确； 对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确； 对C，由得，则，则， ，，原式中令， 令，因为递增数列，C错； 对D，由，令，由单调递增， ，令，令则， 则时，，且， 则时，时，， 当时，时，， 在原式中令， 同理由，D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可. 【详解】第一步选2个空给两个1有种选法， 第二步选剩下的3个空给两个3有种选法， 最后剩一个空排5即可， 根据分步乘法计数原理有种排法， 故答案为：. 13. 函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 分析】根据和分类讨论，作出函数图像即可求解. 【详解】当时，即时，， 当时，即时， ， 所以， 作出函数图像： 所以函数的最小值为，当时. 故答案为：. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点的坐标，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 证明：由正方形有，又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 过点作，则，，，所以， 所以，即，又， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图： 则有，设，则，设， 则有，解得，得， 所以， 设平面的法向量为，则有， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得或， 所以或. 17. 已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过P作直线的垂线，垂足为N. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）（i）设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； （ii）应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题设且，则， 由轴时，，不妨令，代入双曲线得， 所以，则所求方程为； 【小问2详解】 （i）设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线并整理得，则， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则， 因为，所以， 而，则， 所以过定点； （ii）由， 由（i），，可得， 令，则， 由，故，当时取等号， 综上，的最小值为. 18. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【小问1详解】 时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）证明见解析； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. 【小问2详解】 设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，. 注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. 【小问3详解】 若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月济南市高三模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. C. 1或 D. 或4 4. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则的解集是（ ） A B. C. D. 7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 8. 已知，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ） 附： 0.100 0050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 11. 已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同排法种数为________.（用数字作答） 13. 函数的最小值为________. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 17. 已知双曲线：离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过P作直线的垂线，垂足为N. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 18. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$