精品解析：2025年河北省秦皇岛市抚宁区中考一模数学试题

2025年河北省初中学业水平摸底考试 数学试卷 2025.3 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．，是负数，符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：B． 2. 在和之间的正整数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是估算出和的范围． 先估算无理数的范围，再求出和之间的正整数即可． 【详解】解：， ， ， 在和之间的整数有，0，1，2，正整数有1，2共2个． 故答案选：C． 3. 如图，直角三角板的直角顶点C在直线l上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵， ∴， 故选：B． 4. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出，根据勾股定理求出，再利用面积即可求出答案． 【详解】解：∵点A到的距离为4，， ∴． 根据勾股定理可知，． 设点C到的距离为h， 则， 解得． 故选：B 6. 如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则n的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：在保证左视图不变的情况下，留下的正方体按照图中的方式摆放，则n的最大值为3． 故选：C． 7. 某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（ ） A. 依据题意得 B. 依据题意得 C. 该款羽绒服可以打折 D. 该款羽绒服最多打折 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据标价×打折-进价=利润，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意可列方程，． 解不等式得， ∴最多打折． 故选：D． 8. 已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（ ） A. 甲和乙的方法均正确 B. 甲和乙的方法均不正确 C. 甲的方法正确，乙的方法不正确 D. 甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【解析】 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 9. 关于x的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－2 D. 两根之和为 【答案】D 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】化简，得， ∴． ∵， ∴，故有两个不相等的实数根，但无法判断实数根的正负． ，． 故选D． 10. 如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 11. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差； ②乙到达地时对应的值减去乙出发时对应的值即乙追上甲所用的时间； ③根据速度路程时间求出甲的速度，由时间路程速度求出甲到达地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间路程速度求出乙到达地所用时间，从而求出乙到达地时对应的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点； ④由③可知点的横坐标，根据路程速度时间求出点时甲距地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即的纵坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的坐标为， ④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且，或 D. 且，或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，两种情况分别求出的长即可得到答案； 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，过点A作x轴的垂线，垂足为H， 已知，点到轴的距离为，则， 则， ∴， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 放学后轮到第六组的同学们打扫卫生，该组有4名男生，5名女生，打扫结束后需要随机选择一名同学倒垃圾，则选到男生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】随机事件A的概率，进行解答即可． 本题考查了概率公式，解题的关键是根据概率公式来进行计算． 【详解】解：P（选到男生）． 故答案为：． 14. 如图，点和点B在反比例函数的图象上，延长与y轴相交于点C．若，则点C的纵坐标为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确构造辅助线，运用相似三角形解决问题是解题的关键． 先确定比例函数解析式为，过点A、B分别作轴的垂线，垂足为，过点A作交于点，则，求出，则，可求的点的坐标为，则，再由相似比例式求得，即可求解，即可求解点的纵坐标． 【详解】解：由点在反比例函数的图象上，可知， ∴反比例函数解析式为：； 过点A、B分别作轴的垂线，垂足为，过点A作于点D，交于点， ∴， ∴， ∴， 如图，点，， ． ∴， 又，， ， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∵， ∴， ∴， ，即点的纵坐标为4． 故答案为：4． 15. 如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得，，，连接，当点为和的交点时，的周长最小，最小值为．由垂径定理得，由勾股定理得，证明为正三角形，求出，然后利用勾股定理求出，进而可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，设翻折前后点O的对称点为D，连接， ∵点翻折到点，点在上， ∴，，． 连接，当点为和的交点时，的周长最小， 此时，，周长的最小值为． ，， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， ∴为正三角形． ∵为中点， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定出点P的位置是解答本题的关键． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． （1）直接写出算式的结果； （2）若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 【答案】（1）102 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）先计算括号，然后进行乘方运算即可； （2）根据题意列式，计算求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意列出算式为， 原式， ∴所列算式的计算结果为． 18. 【发现】两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方． 【计算】（1）一个数为3，另一个数为7，它们的差为4，则是正整数______的平方． （2）若较小的正整数是n，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该数是哪个正整数的平方． 【延伸】两个差为6的正整数的积与a的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为m，求a的值． 【答案】（1）5；（2），该数是正整数的平方；【延伸】 【解析】 【分析】（1）根据乘方的定义解决此题； （2）根据完全平方公式解决此题． （延伸）根据题意得，，求出． 本题主要考查乘方、完全平方公式，熟练掌握乘方的定义、完全平方公式是解决本题的关键． 【详解】解：【计算】（1）5 ． （2）∵较小的正整数是n，则较大的正整数是， ， ∴该数是正整数的平方． 【延伸】∵较小的正整数为m，则较大的正整数为． ， 要想是完全平方式，则． 19. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是______分； （2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分； （3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 【答案】（1）10 （2）9，9.5 （3）1班得分为分，2班得分为分，2班获胜 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、众数、中位数、平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据平均数相等即可得出答案； （2）由众数和中位数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的定义列式计算，从而得出答案． 【小问1详解】 解：∵1班平均分为（分）， ∴2班平均分也为9分， ∴评委丙给2班的打分为（分）． 故答案为：10； 【小问2详解】 解：1班成绩的众数为9分． 2班成绩从小到大排列为7，9，10，10， ∴2班成绩的中位数为（分）． 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据扇形统计图中圆心角的度数，得甲所对的圆心角为， ∴四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：． 1班得分为（分）． 2班得分为（分）． ∵， ∴2班获胜． 20. 为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：） （1）求轿车在拍摄时间内行驶的距离的长． （2）若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款． 【答案】（1）的长为60米 （2） 解：∵无人机两次拍照间隔3秒，轿车行驶了60米， ∴车速为20米/秒，即72千米/时， 该路段限速60千米/时， ∴超速了，超速，超速超过10%， ∴司机需要交罚款． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角形外角的定义及性质、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，设米，则米，由勾股定理计算得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可推出米； （2）求出司机的速度与最大速度，比较即可得解． 【小问1详解】 解：∵米，，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可列方程为， 解得（负值舍去）． 易知的外角，， 则， ∴米， 即轿车在拍摄时间内行驶的距离的长为60米． 【小问2详解】 略 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，． （1）求直线的解析式； （2）当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值； （3）若线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在y轴上，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线的函数解析式为 （2）整数k的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，轴对称图形的性质，掌握待定系数法，轴对称图形的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）当时，点的坐标为，分类讨论：当直线经过点时，当直线经过点时，代入计算即可求解； （3）根据轴对称图形的性质，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为，且直线经过点，， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，点的坐标为， 当直线经过点时，可列方程为， 解得， 当直线经过点时，可列方程为， 解得， ∴， ∴整数k的值为或． 【小问3详解】 解：． 如图，设线段关于直线的对称线段为，则垂直平分线段和，分别交于点， 若点恰好在y轴上， ∴为等腰直角三角形 ∵点， ∴点P的坐标为． 当点P向上平移时，线段与y轴有交点，即线段上存在一点M，使得点M关于直线的对称点在y轴上， ∴． 22. 如图，已知为的直径，点在的延长线上，点是上的两点，连接，，，，，其中，是的切线． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的半径． 【答案】（1） （2） 证明：是的切线， ． 为直径， ， ， ． 又， ． 又为公共角， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理及切线性质得到，由直角三角形性质即可得到答案； （2）由切线性质及圆周角定理的推论得到，从而确定，再由相似三角形的判定即可得证； （3）设的半径为，由含的直角三角形性质得到，进而列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ， 在中，所对的圆心角， 又是的切线， ， 在中，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为， 在中，， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、切线性质、直角三角形性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握圆周角定理及相关几何性质是解决问题的关键． 23. 嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交y轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为． （1）求抛物线的表达式和其顶点坐标． （2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点E的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）小球不能落入球筐，当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． （1）根据题意，设抛物线的表达式为，由过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，由此即可求解； （2）抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为，由同样也经过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，当抛物线经过点，及之间时，能落入球框，由等腰直角三角形等着得到，则令，由此即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为， ∵过点， ∴将点A，B坐标代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为， ∵同样也经过点，代入可得， 解得，（舍），， ∴抛物线的表达式为， 将代入， 得（舍），． ∵点的横坐标为， ∴小球不能落入球筐， ∴当抛物线经过点，及之间时，能落入球框， ∵， ∴令， ∴或（舍去）， ∴， ∴当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐． 24. 【发现问题】如图1，是等边三角形，点E在边上，连接，以为边向下作等边三角形，连接． （1）判断和的位置关系，并说明理由． （2）探究，和的数量关系． 【问题拓展】 （3）如图2，是等边三角形，点在边上，点在边上，连接，以为边向下作等边三角形（点在线段下方），连接．探究和的数量关系． （4）如图3，在菱形中，，，点为的中点，点为线段延长线上一点，连接交于点，以为边向上作等边三角形，连接．若时，请直接写出的长． 【答案】 （1）． 理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， ． 又， ， ． （2）； （3）； （4）3 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质及已知条件可证，进而得出，，即可得出； （2）根据得出，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）在边上截取，连接，可知为等边三角形，证明得出，进而得出结论； （4）过点作，交于点．根据菱形的性质，等边三角形的性质得出 ，证明得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， 和的数量关系是． （3）如图，在边上截取，连接，可知为等边三角形， ． 为等边三角形， ，， ， ． 又， ， 和的数量关系为． （4）；如图，过点作，交于点． 在菱形中，，，点为的中点， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ． ∵ ∴ ∴ ， ∴ 是的中位线． ， ∴， 在等边三角形中，，， ． ， ． 又，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平摸底考试 数学试卷 2025.3 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在和之间的正整数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图，直角三角板的直角顶点C在直线l上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若a，b是正整数，且满足，则下列a与b关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则n的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（ ） A. 依据题意得 B. 依据题意得 C. 该款羽绒服可以打折 D. 该款羽绒服最多打折 8. 已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（ ） A. 甲和乙的方法均正确 B. 甲和乙的方法均不正确 C. 甲的方法正确，乙的方法不正确 D. 甲的方法不正确，乙的方法正确 9. 关于x的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－2 D. 两根之和为 10. 如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且，或 D. 且，或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 放学后轮到第六组的同学们打扫卫生，该组有4名男生，5名女生，打扫结束后需要随机选择一名同学倒垃圾，则选到男生的概率是______． 14. 如图，点和点B在反比例函数的图象上，延长与y轴相交于点C．若，则点C的纵坐标为______． 15. 如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为______． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． （1）直接写出算式的结果； （2）若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 18. 【发现】两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方． 【计算】（1）一个数为3，另一个数为7，它们的差为4，则是正整数______的平方． （2）若较小的正整数是n，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该数是哪个正整数的平方． 【延伸】两个差为6的正整数的积与a的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为m，求a的值． 19. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是______分； （2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分； （3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 20. 为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：） （1）求轿车在拍摄时间内行驶的距离的长． （2）若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，． （1）求直线的解析式； （2）当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值； （3）若线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在y轴上，请直接写出的取值范围． 22. 如图，已知为的直径，点在的延长线上，点是上的两点，连接，，，，，其中，是的切线． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的半径． 23. 嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交y轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为． （1）求抛物线的表达式和其顶点坐标． （2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点E的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围． 24. 【发现问题】如图1，是等边三角形，点E在边上，连接，以为边向下作等边三角形，连接． （1）判断和的位置关系，并说明理由． （2）探究，和的数量关系． 【问题拓展】 （3）如图2，是等边三角形，点在边上，点在边上，连接，以为边向下作等边三角形（点在线段下方），连接．探究和的数量关系． （4）如图3，在菱形中，，，点为的中点，点为线段延长线上一点，连接交于点，以为边向上作等边三角形，连接．若时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $