信息必刷卷02（北京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（北京专用） 考情速递 中考·新动向：引入“长题干+多设问”的探究题，要求学生从数据或图形中提取信息，逐步推导结论。 • 开放性问题：如补充条件完成证明、设计合理方案等，答案不唯一，考查思维灵活性。 • 数学文化渗透：融入传统文化（如勾股定理、九章算术）或现代科技（如人工智能算法原理）的背景知识。 中考·新考法：基础题稳中有变：基础题占比仍较高（约70%），但可能通过新情境考查常规知识点（如方程、函数、几何证明）。 • 分层命题，梯度明显：难题（约10%-15%）侧重综合应用，例如几何综合题中融入代数思想，或函数与动态几何结合。 • 计算能力要求提升：简化计算步骤但强调准确性，可能涉及分式、根式运算或含参计算。 中考·新情境：要求学生从数据或图形中提取信息，逐步推导结论。 • 开放性问题：如补充条件完成证明、设计合理方案等，答案不唯一，考查思维灵活性。 • 数学文化渗透：融入传统文化（如勾股定理、九章算术）或现代科技（如人工智能算法原理）的背景知识。比如，21题体现了新能源充电桩的安装情景设置，需要考生对充电桩有所了解。比如13题和26题都体现了现在社会上的有关运动的话题。 命题·大预测：建议考生在扎实掌握基础知识的同时，关注社会热点问题（如智慧城市、低碳生活）与数学的联系，提升综合应用能力。教师可参考近年北京卷中逐渐增加的“综合与实践”类题目，提前进行适应性训练。比如，25题是现在社会上比较热门的心理健康方面的题目，而一堂课学生的专注力与课堂效果有很大关系。 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1．在平面直角坐标系中，将△ABC按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于x轴对称，第2次关于y轴对称，第3次关于x轴对称，⋯⋯，依次类推．若点，则将△ABC经过第2025次轴对称变换后所得的点A的对应点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 3．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的﹣3和0，则数轴上x的值最有可能是（　　） A．2 B．1.8 C． D．5.4 4．已知一元二次方程x2+6x﹣2m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B．﹣2 C．2 D． 5．随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“D”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 6．芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“A”．已知1A＝0.0000000001m，即纳米的十分之一．若某芯片薄膜的厚度为“15A”，则将“15A”用科学记数法表示为（　　） A．1.5×109 B．1.5×10﹣10 C．0.15×10﹣9 D．1.5×10﹣9 7．如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE． 结论Ⅰ：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形AOCE为菱形． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H．连接FD，交AC的延长线于点M．下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG＝1，DE＝2，则CN；③；④FM＝DM；⑤若AG，tan∠ABC，则△FCM的面积为4．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共16分，每题2分） 9．若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 　 　 ． 10．分解因式：4x2+12xy+9y2﹣9＝ 　 　 ． 11．关于x的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 　 　 ． 12．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为 　 　 ． 13．小明同学用手机软件记录了5月份每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，中位数是　 　 万步． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值是 　 　 ． 15．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，点P是线段AB上的一个动点（点P可与点A重合），过点P作PR⊥BC于点R，作∠BRP的平分线交AB于点G，在线段GR上截取GD＝AP，过点D作DE⊥DP交BC于点E，过点P作PF⊥PD交AC于点F，此时四边形DEFP恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形DEFP面积的最小值为　 　 ． 16．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 　 　 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 三．解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）计算：． 18．（本小题满分5分）解不等式组：． 19．（本小题满分5分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos45°+3． 20．（本小题满分6分）如图所示，四边形ABCD的边AB长为5，AB∥CD，连接对角线BC，AD交于点F，，点F为AD中点，延长CB至点E，构造△CED，∠E+∠ABD＝180°，则BE的长为多少？ 21．（本小题满分6分）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 22．（本小题满分5分）如图，直线y＝﹣2x﹣7分别与x轴、y轴交于点C、B，与直线y＝kx交于点A，且A在第三象限． （1）若△OAC的面积为，求k的值； （2）在（1）的条件下，在直线y＝﹣2x﹣7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本小题满分5分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． （1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数； （2）请确定下表中a，b，c的值（写出求a的计算过程）； （3）从下表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀． 统计量 平均数 众数 中位数 方差 （1）班 8 8 c 1.16 （2）班 a b 8 1.56 24．（本小题满分6分）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明． （3）若PB＝3，，求⊙O的半径的长． 25．（本小题满分5分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲18分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 26．（本小题满分6分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球每次出手后的运动路径都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米．已知OB＝m米，排球场的边界点A到O点的水平距离OA＝18米，球网高度EF＝2.4米，且OEOA． （1）当m＝2时，求排球运动路径的抛物线解析式； （2）当m＝2时，排球能否越过球网？是否出界？请说明理由； （3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框MNPQ（∠QMN＝∠PNM＝90°），其中MQ＝0.5米，MN＝2米，NP米．若排球经过向右反弹后沿L2的路径落入回收框MNPQ内（球下落过程中碰到点P，Q均视为落入框内）．设点M的横坐标为t，则t的取值范围是 　 　 （直接写出结果）． 27．（本小题满分7分）【问题提出】 （1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，若AB＝10，则DE的长为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ABC的顶点A在边DE上，那么DE与BD+AD是否相等，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形ABCD是某校的实践基地示意图，其中DF和CF是两条小路（点F在AB边上），在CF的中点M处有一口灌溉水井（大小忽略不计），现要在BC边上与点C相距100m的点E处修建一个蓄水池E（大小忽略不计），再沿EM铺设地下水管．已知AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝300m，BC＝400m，且DF⊥DC，求铺设地下水管EM的长． 28．（本小题满分7分）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，正方形OCDE的顶点E（﹣2，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． （Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ； （Ⅱ）将正方形OCDE沿x轴向右平移，得到正方形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'．设OO'＝t，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形时，D'E'与OB相交于点F，C'O'与AB相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（北京专用） （参考答案） 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1．【答案】B 【解析】解：由题知， 因为点A的坐标为（）， 所以第1次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第2次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第3次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第4次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第5次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； …， 由此可见，从第1次轴对称变换开始，每经过四次轴对称变换，点A的对应点坐标循环出现， 又因为2025÷4＝506余1， 所以第2025次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 故选：B． 2．【答案】B 【解析】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°， ∴根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB ＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM ＝180°﹣70°﹣40°﹣30° ＝40°． 又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC， ∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°，即∠D+∠E的度数为40°． 故选：B． 3．【答案】C 【解析】解：根据题意可以知道x表示的数应该是2与3之间的数， ∴只有选项C符合题意． 故选：C． 4．【答案】A 【解析】解：根据根的判别式的意义可得： Δ＝62﹣4×（﹣2m）＝0， 解得． 故选：A． 5．【答案】C 【解析】解：指针落在“D”所示区域内的概率是． 故选：C． 6．【答案】D 【解析】解：15×0.0000000001＝1.5×10﹣9， 将“15A”用科学记数法表示为1.5×10﹣9， 故选：D． 7．【答案】A 【解析】解：连接BC，OE， 由作图过程可知，直线MN为线段OB的垂直平分线， ∴CO＝CB． ∵OC＝OB， ∴CO＝CB＝OB， 即△BOC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°． 由作图过程可知，CO＝CE， ∵CO＝OE， ∴CO＝CE＝OE， 即△COE为等边三角形， ∴∠COE＝∠ECO＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝60°， ∴∠COE＝∠AOE， ∴， 即点E为的中点． 故结论Ⅰ正确，符合题意； ∵∠ECO＝∠BOC＝60°， ∴CE∥AB． ∵CE＝CO＝OB＝OA， ∴四边形AOCE为平行四边形． ∵CO＝CE， ∴四边形AOCE为菱形． 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：A． 8．【答案】D 【解析】解：∵四边形BCDE是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵四边形ACFG是正方形， ∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°， ∴∠ACB＝∠HCD， ∵DH⊥CF， ∴∠H＝90°＝∠BAC， 在△ABC和△HDC中， ， ∴△ABC≌△HDC（AAS），故①正确； ∵FG＝1，DE＝2， ∴AC＝1，BC＝2， ∴sin∠ABC， ∴∠ABC＝30°， ∴∠BCN＝30°， ∴CN，故②正确； ∵△ABC≌△HDC， ∴AC＝HC， 又∵AC＝FC， ∴HC＝FC， 又∵CM∥DH， ∴CM为△DFH的中位线， ∴FM＝DM，CM：DH＝1：2， ∴；故③④正确； ∵AG， ∴AC， 在Rt△ABC中，tan∠ABC， ∴ABAC， ∴S△ABCAB×AC， ∵△ABC≌△HDC， ∴S△HDC＝S△ABC，AC＝CH， ∴CH＝CF， ∴S△DHF＝2S△CDH， ∵∠FCM＝∠H＝90°， ∴CM∥HD， ∴△FCM∽△FHD， ∴（）2， ∴S△FCMS△FHD，故⑤错误， 故选：D． 二．填空题（共16分，每题2分） 9．【答案】 ±5． 【解析】解：∵5x+19的立方根是4， ∴5x+19＝64， 解得x＝9 则2x+7＝2×9+7＝25， ∴25的平方根是±5 故答案±5． 10．【答案】（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）． 【解析】解：4x2+12xy+9y2﹣9 ＝（2x+3y）2﹣32 ＝（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）， 故答案为：（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）． 11．【答案】m＜3且m≠1． 【解析】解：2， 去分母得：x﹣1＝m+2（x﹣2）， 去括号得：x﹣1＝m+2x﹣4， 移项，合并同类项得：x＝3﹣m， ∵分式方程的解为正实数， ∴x＞0且x﹣2≠0， ∴3﹣m＞0且3﹣m﹣2≠0， 解得：m＜3且m≠1． 故答案为：m＜3且m≠1． 12．【答案】4． 【解析】解：由题知， 令点B坐标为（）， 因为AB∥x轴， 则， 所以， 则点A坐标为（）． 又因为BC⊥x轴， 所以点C坐标为（m，0）， 所以四边形ABCO的面积可表示为：4． 故答案为：4． 13．【答案】 ±5． 【解析】解：∵共有2+8+7+10+3＝30个数据， ∴其中位数是第15、16个数据的平均数，而第15、16个数据均为1.3万步， 则中位数是1.3万步， 故答案为：±5． 14．【答案】2． 【解析】解：连接OE、OF，过A作AM⊥BC于M，过O作OH⊥EF于H， ∵∠ACB＝45°， ∴△ACM是等腰直角三角形， ∴AMAC8＝4， ∵∠BAC＝60°， ∴∠EOF＝2∠BAC＝120°， ∵OE＝OF，OH⊥EF， ∴∠EOH∠EOF＝60°，EF＝2EH， ∵sin∠EOH＝sin60°， ∴EHOE， ∴EFOE， ∵AD圆的直径， ∴EFAD， ∵AD≥AM， ∴EFAM42， ∴线段EF长度的最小值是2． 故答案为：2． 15．【答案】． 【解析】解：设AP＝x， ∴GD＝AP＝x， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝45°， ∵PR⊥BC， ∴△PBR是等腰直角三角形， ∵RG平分∠BRP，G为PB的中点， ∴， ∵PD2＝DG2+GP2， ∴ ∴正方形DEFP的面积为， ∴当时，正方形DEFP面积的最小值为， 故答案为：． 16．【答案】或30． 【解析】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 三．解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分） 【答案】﹣6． 【解析】解：原式 ＝﹣6． 18．（本小题满分5分） 【答案】﹣2＜x≤﹣1． 【解析】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤﹣1． ∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1． 19．（本小题满分5分） 【答案】． 【解析】解：原式 ． 又因为x＝2cos45°+3＝2， 所以． 20．（本小题满分6分） 【答案】． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠CDF，∠BDC+∠ABD＝180°， ∵点F为AD中点， ∴AF＝DF， 在△BAF和△CDF中， ， ∴△BAF≌△CDF（ASA）， ∴AB＝CD＝5， ∵AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴BC＝2BF＝2， ∵∠E+∠ABD＝180°， ∴∠BDC＝∠E， ∵∠BCD＝∠DCE， ∴△BCD∽△DCE， ∴， 即， 解得：CE＝10， ∴BE＝CE﹣BC＝10． 21．（本小题满分6分） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据题意可得， 解得x＝1000， 经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意， 1.5x＝1.5×1000＝1500（元/个）， 所以单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个， 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； （2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，则现在单枪新能源充电桩的单价为1000×（1+10%）＝1100（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，则现在双枪新能源充电桩的单价为1500×（1﹣10%）＝1350（元/个）， 设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社（20﹣a）个，总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元， ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ∴1100a+1350（20﹣a）≤25000， 解得 a≥8， ∴a的最小值为8， 即小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 22．（本小题满分5分） 【答案】（，）或（，）． 【解析】解：（1）在直线y＝﹣2x﹣7中，令x＝0，则求得y＝﹣7，令y＝0，则求得x＝﹣3.5， ∴B（0，﹣7），C（﹣3.5，0）， ∴OB＝7，OC＝3.5， ∵△OAC的面积为， ∴，即， ∴|yA|＝3， ∵A在第三象限， ∴yA＝﹣3， ∴﹣3＝﹣2x﹣7，解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，﹣3）， ∵直线y＝kx过点A， ∴﹣3＝﹣2k， ∴k； （2）∵A（﹣2，﹣3），B（0，﹣7），C（﹣3.5，0）， ∴S△AOB7，S△AOC， 设点Q的坐标是（m，﹣2m﹣7）， 当Q点在线段AB上时，如图， 则S△AOQ＝S△OAB﹣S△OBQ＝77×（﹣m）＝6， 解得m， ∴Q点的坐标为（，）， 当Q点在线段AC延长线上时， 则S△AOQ＝S△OAC+S△OCQ6， 解得m， ∴Q点的坐标为（，）； 综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标为（，）或（，）． 23． （本小题满分5分） 【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为（10分）的人数是6人 （2）a＝8，b＝9，c＝8 （3）（1）班成绩更均匀，见解析． 【解析】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等， 为：5+10+19+12+4＝50（人）， ∴（2）班学生中测试成绩为（10分）的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人）， 答：（2）班学生中测试成绩为（10分）的人数是6人； （2）由题意知，a（6×10+50×28%×9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×6）＝8， 由题意可得扇形统计图中（9分）的人数占28%最大，条形统计图中5+10＜25＜26＜5+10+19， ∴b＝9；c＝8； 答：a，b，c的值分别为8，9，8； （3）由题意可得， ∵1.16＜1.56， ∴（1）班成绩更均匀． 24．（本小题满分6分） 【答案】（1）见解析； （2）PD2＝PB•PA．理由见解析； （3）⊙O的半径的长为4.5． 【解析】（1）证明：连接OD，OC，如图， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO＝90°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴弧BD＝弧BC， ∴∠DOP＝∠COP， 在△DOP和△COP中， ， ∴△DOP≌△COP（SAS）， ∴∠PDO＝∠PCO＝90°， ∴OD⊥PD， ∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：PD2＝PB•PA．理由如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠PDO＝90°， ∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠A＝∠PDB， ∵∠BPD＝∠DPA， ∴△PDB∽△PAD， ∴PD：PA＝PB：PD， ∴PD2＝PA•PB； （3）解：∵弧BD＝弧BC， ∴∠A＝∠BDC， ∵tan∠BDC， ∴tanA， ∵△PDB∽△PAD， ∴， ∵PB＝3， ∴PD＝6， ∴PA＝12， ∴AB＝PA﹣PB＝9． ∴⊙O的半径的长为4.5． 25．（本小题满分5分） 【答案】（1）第30分钟注意力更集中； （2）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【解析】解：（1）学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律中，AB为线段，设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，把B（10，40）代入得： 10k1+20＝40， 解得k1＝2， ∴y1＝2x+20； CD为双曲线的一部分，设CD所在双曲线的解析式为，把C（25，40）代入得： k2＝25×40＝1000， ∴， 当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30， 当x2＝30时，， ∵， ∴y1＜y2， 答：第30分钟注意力更集中； （2）令y1＝36， ∴36＝2x+20， ∴x1＝8， 令y2＝36， ∴36＝1000÷x， ∴x2＝1000÷36≈27.8， ∵27.8﹣8＝19.8＞18， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 26．（本小题满分6分） 【答案】（1）y（x﹣6）2+3； （2）球能越过球网，球不会出界，理由见解析； （3）24≤t≤24+3． 【解析】解：（1）∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米OB＝m米， ∴C（6，m+1）， 当m＝2时 则C（6，3），B（0，2） ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+3， ∴将点B（0，2）代入，得2＝a（0﹣6）2+3， 解得：a， ∴抛物线的表达式为y（x﹣6）2+3； （2）球能越过球网，球不会出界，理由如下： 由 （1）知，当m＝2时，抛物线的表达式为y（x﹣6）2+3； ∵OA＝18米，OEOA， ∴OE＝9（米）， ∵球网EF高度为2.4米， ∴F（9，2.4）， 当x＝9时，y（9﹣6）2+3＝2.75， ∵2.75＞2.4， ∴球能越过球网， 当y＝0时，0（x﹣6）2+3； 解得：x1＝6+6，x2＝6﹣6， ∴D（6+6，0）， ∵6+618， ∴球不会出界； （3）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离， 又∵L2是与L1形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米， 设L2的表达式为y（x﹣h）2+1， 将点A（18，0）代入得：0（18﹣h）2+1 解得：h1＝12（舍去），h2＝24， ∴L2的表达式为y（x﹣24）2+1， 设点M的横坐标为t（t+2≥24，即t≥22），则Q（t，0.5），P（t+2，）， 当y＝0.5时，0.5（x﹣24）2+1， 解得：t1＝24+3，t2＝24﹣3（舍去）， 当y时，（x﹣24）2+1， 解得：t1＝26，t2＝22， ∴24≤t≤24+3． 27．（本小题满分7分） 【答案】（1）5； （2）相等， 理由见解析； （3）100m． 【解析】解：（1）∵点D、E分别是AC、BC的中点， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵AB＝10， ∴DE＝5； 故答案为：5； （2）相等， 理由：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+DB＝AD+AE＝DE； （3）连接DE， ∵AD∥BC，AB＝AD＝300m，BC＝400m，CE＝100m， ∴BE＝BC﹣CE＝300（m）， ∴AD＝BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABED是正方形， ∴DE＝AD＝300m，∠ADE＝∠DEB＝90°， ∴∠A＝∠DEC＝90°， ∵DF⊥DC， ∴∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝∠CDE， ∴△ADF≌△EDC（ASA）， ∴AF＝CE＝100m， ∴BF＝200m， 过M作MH⊥BC于H， ∴∠MHC＝∠B＝90°， ∴MH∥BF， ∵点M是CF的中点， ∴CM＝FM， ∴CH＝BHBC＝200m， ∴MHBF＝100m，EH＝CH﹣CE＝100m， ∴ME100（m）． 28．（本小题满分7分） 【答案】（Ⅰ）（2，2）；（﹣2，2）；（Ⅱ）①S＝﹣t2+6t﹣6；t的取值范围为2＜t＜4；②当时，S的取值范围为：S≤3． 【解析】解：（Ⅰ）过点B作BF⊥x轴于F，如图， ∵点A（4，0）， ∴OA＝4， ∵∠OBA＝90°，BO＝BA， ∴OF＝BF＝AFOA＝2， ∴点B的坐标为（2，2）． ∵点E（﹣2，0）， ∴OE＝2， ∵四边形OEDC为正方形， ∴DE＝DC＝OE＝2，DE⊥OE，DC⊥OC， ∴点D坐标为（﹣2，2）； 故答案为：（2，2）；（﹣2，2）； （Ⅱ）①由平移知：OO'＝t，正方形O′E′D′C′的边长为2， ∵△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA， ∴∠BOA＝∠BAO＝45°， ∵四边形O′E′D′C′为正方形， ∴∠E′FO＝∠D′FB＝∠O′GA＝∠BGC′＝45°， ∵正方形O′E′D′C′的边长为2，OA＝4， ∴OE′＝E′F＝t﹣2，O′A＝O′G＝4﹣t， ∴D'F＝D'B＝4﹣t，CG＝C′B＝t﹣2， ∴，， ∴S＝S正方形O′ED′C′﹣S△D′BF﹣S△BC′G ＝4 ＝﹣t2+6t﹣6． 其中t的取值范围是2＜t＜4； ②∵当0＜t≤2时，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：O′F＝OO'＝t， ∴S， ∴当t时，S，当t＝2时，S＝2； 当2＜t＜4时，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形，如图， ∴S＝﹣t2+6t﹣6＝﹣（t﹣3）2+3， ∴当t＝3时，S有最大值为3； 当4≤t≤5时，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：O′A＝t﹣4， ∴E′A＝E′G＝6﹣t， ∴S， ∴当t＝4时，S有最大值为2，当t＝5时，S有最小值为． 综上，当时，S的取值范围为：S≤3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（北京专用） 考情速递 中考·新动向：引入“长题干+多设问”的探究题，要求学生从数据或图形中提取信息，逐步推导结论。 • 开放性问题：如补充条件完成证明、设计合理方案等，答案不唯一，考查思维灵活性。 • 数学文化渗透：融入传统文化（如勾股定理、九章算术）或现代科技（如人工智能算法原理）的背景知识。 中考·新考法：基础题稳中有变：基础题占比仍较高（约70%），但可能通过新情境考查常规知识点（如方程、函数、几何证明）。 • 分层命题，梯度明显：难题（约10%-15%）侧重综合应用，例如几何综合题中融入代数思想，或函数与动态几何结合。 • 计算能力要求提升：简化计算步骤但强调准确性，可能涉及分式、根式运算或含参计算。 中考·新情境：要求学生从数据或图形中提取信息，逐步推导结论。 • 开放性问题：如补充条件完成证明、设计合理方案等，答案不唯一，考查思维灵活性。 • 数学文化渗透：融入传统文化（如勾股定理、九章算术）或现代科技（如人工智能算法原理）的背景知识。比如，21题体现了新能源充电桩的安装情景设置，需要考生对充电桩有所了解。比如13题和26题都体现了现在社会上的有关运动的话题。 命题·大预测：建议考生在扎实掌握基础知识的同时，关注社会热点问题（如智慧城市、低碳生活）与数学的联系，提升综合应用能力。教师可参考近年北京卷中逐渐增加的“综合与实践”类题目，提前进行适应性训练。比如，25题是现在社会上比较热门的心理健康方面的题目，而一堂课学生的专注力与课堂效果有很大关系。 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1．在平面直角坐标系中，将△ABC按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于x轴对称，第2次关于y轴对称，第3次关于x轴对称，⋯⋯，依次类推．若点，则将△ABC经过第2025次轴对称变换后所得的点A的对应点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点A的坐标，依次求出每次轴对称变换后所得对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点A的坐标为（）， 所以第1次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第2次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第3次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第4次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 第5次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； …， 由此可见，从第1次轴对称变换开始，每经过四次轴对称变换，点A的对应点坐标循环出现， 又因为2025÷4＝506余1， 所以第2025次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、点的坐标变化规律及关于x轴、y轴对称的点的坐标，能根据题意得出从第1次轴对称变换开始，每经过四次轴对称变换，点A的对应点坐标循环出现是解题的关键． 2．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数． 【详解】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°， ∴根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB ＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM ＝180°﹣70°﹣40°﹣30° ＝40°． 又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC， ∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°，即∠D+∠E的度数为40°． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 3．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的﹣3和0，则数轴上x的值最有可能是（　　） A．2 B．1.8 C． D．5.4 【答案】C 【分析】利用数轴知识解答． 【详解】解：根据题意可以知道x表示的数应该是2与3之间的数， ∴只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 4．已知一元二次方程x2+6x﹣2m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B．﹣2 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×（﹣2m）＝0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据根的判别式的意义可得： Δ＝62﹣4×（﹣2m）＝0， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式．熟练掌握该知识点是关键． 5．随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“D”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用“D”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案． 【详解】解：指针落在“D”所示区域内的概率是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键． 6．芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“A”．已知1A＝0.0000000001m，即纳米的十分之一．若某芯片薄膜的厚度为“15A”，则将“15A”用科学记数法表示为（　　） A．1.5×109 B．1.5×10﹣10 C．0.15×10﹣9 D．1.5×10﹣9 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：15×0.0000000001＝1.5×10﹣9， 将“15A”用科学记数法表示为1.5×10﹣9， 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 7．如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE． 结论Ⅰ：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形AOCE为菱形． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】连接BC，OE，由作图过程可知，直线MN为线段OB的垂直平分线，CO＝CE，可得△BOC为等边三角形，△COE为等边三角形，则∠BOC＝60°，∠COE＝∠ECO＝60°，∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝60°，可得∠COE＝∠AOE，则，即点E为的中点；结合菱形的判定可得四边形AOCE为菱形． 【详解】解：连接BC，OE， 由作图过程可知，直线MN为线段OB的垂直平分线， ∴CO＝CB． ∵OC＝OB， ∴CO＝CB＝OB， 即△BOC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°． 由作图过程可知，CO＝CE， ∵CO＝OE， ∴CO＝CE＝OE， 即△COE为等边三角形， ∴∠COE＝∠ECO＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝60°， ∴∠COE＝∠AOE， ∴， 即点E为的中点． 故结论Ⅰ正确，符合题意； ∵∠ECO＝∠BOC＝60°， ∴CE∥AB． ∵CE＝CO＝OB＝OA， ∴四边形AOCE为平行四边形． ∵CO＝CE， ∴四边形AOCE为菱形． 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H．连接FD，交AC的延长线于点M．下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG＝1，DE＝2，则CN；③；④FM＝DM；⑤若AG，tan∠ABC，则△FCM的面积为4．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由“AAS”可证△ABC≌△HDC，由锐角三角函数可求∠ABC＝30°，由三角形可求CN的长，通过证明CM为△DFH的中位线，可得FM＝DM，CM：DH＝1：2，可求；先求出△ABC的面积，通过证明△FCM∽△FHD，可求△FCM的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形BCDE是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵四边形ACFG是正方形， ∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°， ∴∠ACB＝∠HCD， ∵DH⊥CF， ∴∠H＝90°＝∠BAC， 在△ABC和△HDC中， ， ∴△ABC≌△HDC（AAS），故①正确； ∵FG＝1，DE＝2， ∴AC＝1，BC＝2， ∴sin∠ABC， ∴∠ABC＝30°， ∴∠BCN＝30°， ∴CN，故②正确； ∵△ABC≌△HDC， ∴AC＝HC， 又∵AC＝FC， ∴HC＝FC， 又∵CM∥DH， ∴CM为△DFH的中位线， ∴FM＝DM，CM：DH＝1：2， ∴；故③④正确； ∵AG， ∴AC， 在Rt△ABC中，tan∠ABC， ∴ABAC， ∴S△ABCAB×AC， ∵△ABC≌△HDC， ∴S△HDC＝S△ABC，AC＝CH， ∴CH＝CF， ∴S△DHF＝2S△CDH， ∵∠FCM＝∠H＝90°， ∴CM∥HD， ∴△FCM∽△FHD， ∴（）2， ∴S△FCMS△FHD，故⑤错误， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二．填空题（共16分，每题2分） 9．若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 　 　 ． 【答案】 ±5． 【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x的方程，解方程即可求出x，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵5x+19的立方根是4， ∴5x+19＝64， 解得x＝9 则2x+7＝2×9+7＝25， ∴25的平方根是±5 故答案±5． 【点睛】此题主要考查了利用立方根的概念解题．牢牢掌握灵活运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数． 10．分解因式：4x2+12xy+9y2﹣9＝ 　 　 ． 【答案】（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）． 【分析】利用分组分解法，先对4x2+12xy+9y2因式分解得（2x+3y）2，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：4x2+12xy+9y2﹣9 ＝（2x+3y）2﹣32 ＝（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）， 故答案为：（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．关于x的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 　 　 ． 【答案】m＜3且m≠1． 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：2， 去分母得：x﹣1＝m+2（x﹣2）， 去括号得：x﹣1＝m+2x﹣4， 移项，合并同类项得：x＝3﹣m， ∵分式方程的解为正实数， ∴x＞0且x﹣2≠0， ∴3﹣m＞0且3﹣m﹣2≠0， 解得：m＜3且m≠1． 故答案为：m＜3且m≠1． 【点睛】此题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是关键． 12．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为 　 　 ． 【答案】4． 【分析】根据题意，设出点B的坐标，据此分别表示出点A和点C的坐标，再结合梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令点B坐标为（）， 因为AB∥x轴， 则， 所以， 则点A坐标为（）． 又因为BC⊥x轴， 所以点C坐标为（m，0）， 所以四边形ABCO的面积可表示为：4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 13．小明同学用手机软件记录了5月份每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，中位数是　 　 万步． 【答案】 ±5． 【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此判断即可． 【详解】解：∵共有2+8+7+10+3＝30个数据， ∴其中位数是第15、16个数据的平均数，而第15、16个数据均为1.3万步， 则中位数是1.3万步， 故答案为：±5． 【点睛】此题主要考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值是 　 　 ． 【答案】2． 【分析】连接OE、OF，过A作AM⊥BC于M，过O作OH⊥EF于H，判定△ACM是等腰直角三角形，求出AMAC＝4，由圆周角定理得到∠EOF＝2∠BAC＝120°，由等腰三角形的性质得到∠EOH∠EOF＝60°，EF＝2EH，由sin∠EOH，求出EHOE，得到EFOE，因此EFAD，由垂线段最短得到EFAM，即可求出线段EF长度的最小值． 【详解】解：连接OE、OF，过A作AM⊥BC于M，过O作OH⊥EF于H， ∵∠ACB＝45°， ∴△ACM是等腰直角三角形， ∴AMAC8＝4， ∵∠BAC＝60°， ∴∠EOF＝2∠BAC＝120°， ∵OE＝OF，OH⊥EF， ∴∠EOH∠EOF＝60°，EF＝2EH， ∵sin∠EOH＝sin60°， ∴EHOE， ∴EFOE， ∵AD圆的直径， ∴EFAD， ∵AD≥AM， ∴EFAM42， ∴线段EF长度的最小值是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形，主要是进行的性质，关键是由垂线段最短得到EFAM． 15．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，点P是线段AB上的一个动点（点P可与点A重合），过点P作PR⊥BC于点R，作∠BRP的平分线交AB于点G，在线段GR上截取GD＝AP，过点D作DE⊥DP交BC于点E，过点P作PF⊥PD交AC于点F，此时四边形DEFP恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形DEFP面积的最小值为　 　 ． 【答案】． 【分析】设AP＝x，则GD＝x，BP＝1﹣x，根据等腰直角三角形的性质和三线合一的性质可得出，然后再根据勾股定理将正方形DEFP表示为，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设AP＝x， ∴GD＝AP＝x， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝45°， ∵PR⊥BC， ∴△PBR是等腰直角三角形， ∵RG平分∠BRP，G为PB的中点， ∴， ∵PD2＝DG2+GP2， ∴ ∴正方形DEFP的面积为， ∴当时，正方形DEFP面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、方形的性质，勾股定理以及二次函数的性质，灵活应用上述知识是解题的关键． 16．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 　 　 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30． 【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30． 【详解】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等知识，解题的关键是分类讨论． 三．解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）计算：． 【答案】﹣6． 【分析】根据，（﹣1）2n+1＝﹣1，及|a|＝﹣a（a＜0）直接逐步求解即可得到答案． 【详解】解：原式 ＝﹣6． 【点睛】本题考查特殊三角函数值，绝对值，幂的运算，立方根，熟练掌握以上知识点是关键． 18．（本小题满分5分）解不等式组：． 【答案】﹣2＜x≤﹣1． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤﹣1． ∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 19．（本小题满分5分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos45°+3． 【答案】． 【分析】根据分式的基本性质，对所给分式进行化简，并求值即可． 【详解】解：原式 ． 又因为x＝2cos45°+3＝2， 所以． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式的基本性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 20．（本小题满分6分）如图所示，四边形ABCD的边AB长为5，AB∥CD，连接对角线BC，AD交于点F，，点F为AD中点，延长CB至点E，构造△CED，∠E+∠ABD＝180°，则BE的长为多少？ 【答案】． 【分析】先证明△BAF≌△CDF（ASA），得出AB＝CD＝5，则四边形ABDC是平行四边形，得出BC，再证明△BCD∽△DCE，得出，求出CE＝10，即可得出结果． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠CDF，∠BDC+∠ABD＝180°， ∵点F为AD中点， ∴AF＝DF， 在△BAF和△CDF中， ， ∴△BAF≌△CDF（ASA）， ∴AB＝CD＝5， ∵AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴BC＝2BF＝2， ∵∠E+∠ABD＝180°， ∴∠BDC＝∠E， ∵∠BCD＝∠DCE， ∴△BCD∽△DCE， ∴， 即， 解得：CE＝10， ∴BE＝CE﹣BC＝10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（本小题满分6分）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元，根据此次加购小区预备支出不超过25000元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得， 解得x＝1000， 经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意， 1.5x＝1.5×1000＝1500（元/个）， 所以单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个， 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； （2）单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，则现在单枪新能源充电桩的单价为1000×（1+10%）＝1100（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，则现在双枪新能源充电桩的单价为1500×（1﹣10%）＝1350（元/个）， 设再次购进单枪新能源允电社a个，则购进双枪新能源允电社（20﹣a）个，总花费为[1100a+1350（20﹣a）]元， ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ∴1100a+1350（20﹣a）≤25000， 解得 a≥8， ∴a的最小值为8， 即小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． 22．（本小题满分5分）如图，直线y＝﹣2x﹣7分别与x轴、y轴交于点C、B，与直线y＝kx交于点A，且A在第三象限． （1）若△OAC的面积为，求k的值； （2）在（1）的条件下，在直线y＝﹣2x﹣7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（，）或（，）． 【分析】（1）由一次函数y＝﹣2x﹣7求得B、C的坐标，利用三角形面积求得A点的坐标，把A点的坐标代入y＝kx即可求得k的值； （2）设点Q的坐标是（m，﹣2m+7），分两种情况：当Q在线段AB上和AC上，根据三角形的面积公式列出关于m的方程解方程求得即可． 【详解】解：（1）在直线y＝﹣2x﹣7中，令x＝0，则求得y＝﹣7，令y＝0，则求得x＝﹣3.5， ∴B（0，﹣7），C（﹣3.5，0）， ∴OB＝7，OC＝3.5， ∵△OAC的面积为， ∴，即， ∴|yA|＝3， ∵A在第三象限， ∴yA＝﹣3， ∴﹣3＝﹣2x﹣7，解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，﹣3）， ∵直线y＝kx过点A， ∴﹣3＝﹣2k， ∴k； （2）∵A（﹣2，﹣3），B（0，﹣7），C（﹣3.5，0）， ∴S△AOB7，S△AOC， 设点Q的坐标是（m，﹣2m﹣7）， 当Q点在线段AB上时，如图， 则S△AOQ＝S△OAB﹣S△OBQ＝77×（﹣m）＝6， 解得m， ∴Q点的坐标为（，）， 当Q点在线段AC延长线上时， 则S△AOQ＝S△OAC+S△OCQ6， 解得m， ∴Q点的坐标为（，）； 综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题为两条直线相交问题，涉及函数图象的交点、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识，确定出Q点所在的位置是解题的关键． 23．（本小题满分5分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． （1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数； （2）请确定下表中a，b，c的值（写出求a的计算过程）； （3）从下表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀． 统计量 平均数 众数 中位数 方差 （1）班 8 8 c 1.16 （2）班 a b 8 1.56 【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为（10分）的人数是6人 （2）a＝8，b＝9，c＝8 （3）（1）班成绩更均匀，见解析． 【分析】（1）根据条形统计图求出两班的总人数，结合扇形统计图占比即可得到答案； （2）根据条形统计图人数找到最中间的项及扇形统计图占比最大的即可得到b，c，利用加权平均数计算公式即可得到a，即可得到答案； （3）根据方差的意义判断即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等， 为：5+10+19+12+4＝50（人）， ∴（2）班学生中测试成绩为（10分）的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人）， 答：（2）班学生中测试成绩为（10分）的人数是6人； （2）由题意知，a（6×10+50×28%×9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×6）＝8， 由题意可得扇形统计图中（9分）的人数占28%最大，条形统计图中5+10＜25＜26＜5+10+19， ∴b＝9；c＝8； 答：a，b，c的值分别为8，9，8； （3）由题意可得， ∵1.16＜1.56， ∴（1）班成绩更均匀． 【点睛】本题考查直方图与扇形统计图共存求解问题，求平均数，求众数，求中位数及根据方差判断稳定性，解题的关键是看懂两个图及熟练在掌握方差越小，数据分布越均匀． 24．（本小题满分6分）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明． （3）若PB＝3，，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析； （2）PD2＝PB•PA．理由见解析； （3）⊙O的半径的长为4.5． 【分析】（1）连接OD，OC，如图，根据切线的性质得∠PCO＝90°，再根据垂径定理得弧BD＝弧BC，则∠DOP＝∠COP，于是可判断△DOP≌△COP，得到∠PDO＝∠PCO＝90°，则根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线； （2）先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用同角的余角相等得到∠ADO＝∠PDB，加上∠A＝∠ADO，则∠A＝∠PDB，于是可判断△PDB∽△PAD，利用相似比得PD：PA＝PB：PD，根据比例的性质得PD2＝PA•PB； （3）由弧BD＝弧BC，根据圆周角定理得到∠A＝∠BDC，则tanA，再利用△PDB∽△PAD得到，于是可分别计算出PA和PB，然后利用AB＝PA﹣PB求解． 【详解】（1）证明：连接OD，OC，如图， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO＝90°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴弧BD＝弧BC， ∴∠DOP＝∠COP， 在△DOP和△COP中， ， ∴△DOP≌△COP（SAS）， ∴∠PDO＝∠PCO＝90°， ∴OD⊥PD， ∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：PD2＝PB•PA．理由如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠PDO＝90°， ∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠A＝∠PDB， ∵∠BPD＝∠DPA， ∴△PDB∽△PAD， ∴PD：PA＝PB：PD， ∴PD2＝PA•PB； （3）解：∵弧BD＝弧BC， ∴∠A＝∠BDC， ∵tan∠BDC， ∴tanA， ∵△PDB∽△PAD， ∴， ∵PB＝3， ∴PD＝6， ∴PA＝12， ∴AB＝PA﹣PB＝9． ∴⊙O的半径的长为4.5． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性在，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（本小题满分5分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲18分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）第30分钟注意力更集中； （2）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能． 【详解】解：（1）学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律中，AB为线段，设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，把B（10，40）代入得： 10k1+20＝40， 解得k1＝2， ∴y1＝2x+20； CD为双曲线的一部分，设CD所在双曲线的解析式为，把C（25，40）代入得： k2＝25×40＝1000， ∴， 当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30， 当x2＝30时，， ∵， ∴y1＜y2， 答：第30分钟注意力更集中； （2）令y1＝36， ∴36＝2x+20， ∴x1＝8， 令y2＝36， ∴36＝1000÷x， ∴x2＝1000÷36≈27.8， ∵27.8﹣8＝19.8＞18， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出反比例函数解析式． 26．（本小题满分6分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球每次出手后的运动路径都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米．已知OB＝m米，排球场的边界点A到O点的水平距离OA＝18米，球网高度EF＝2.4米，且OEOA． （1）当m＝2时，求排球运动路径的抛物线解析式； （2）当m＝2时，排球能否越过球网？是否出界？请说明理由； （3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框MNPQ（∠QMN＝∠PNM＝90°），其中MQ＝0.5米，MN＝2米，NP米．若排球经过向右反弹后沿L2的路径落入回收框MNPQ内（球下落过程中碰到点P，Q均视为落入框内）．设点M的横坐标为t，则t的取值范围是 　 　 （直接写出结果）． 【答案】（1）y（x﹣6）2+3； （2）球能越过球网，球不会出界，理由见解析； （3）24≤t≤24+3． 【分析】（1）根据“抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知OB＝m米，”则顶点C（6，m+1），当m＝2时可得C（6，3），B（0，2），于是可设抛物线的表达式为y＝a（a﹣6）2+3再将点B的坐标代入表达式中求出a的值即可求解； （2）根据题意易得F（9，2.4），将 x＝9代入抛物线表达式中求出对应y值，和2.4比较即可判断球能否越过球网，令y＝0，求出点D的横坐标，再和18比较即可判断球会不会出界； （3）根据题意可设L2的表达式为y（x﹣h）2+1，将点A坐标代入求得L2y（x﹣24）2+1，设点M的横坐标为t，则Q（t，0.5），P（t+2，），将点Q、P坐标代入抛物线表达式中求解，结合题意计算即可得到． 【详解】解：（1）∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米OB＝m米， ∴C（6，m+1）， 当m＝2时 则C（6，3），B（0，2） ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+3， ∴将点B（0，2）代入，得2＝a（0﹣6）2+3， 解得：a， ∴抛物线的表达式为y（x﹣6）2+3； （2）球能越过球网，球不会出界，理由如下： 由 （1）知，当m＝2时，抛物线的表达式为y（x﹣6）2+3； ∵OA＝18米，OEOA， ∴OE＝9（米）， ∵球网EF高度为2.4米， ∴F（9，2.4）， 当x＝9时，y（9﹣6）2+3＝2.75， ∵2.75＞2.4， ∴球能越过球网， 当y＝0时，0（x﹣6）2+3； 解得：x1＝6+6，x2＝6﹣6， ∴D（6+6，0）， ∵6+618， ∴球不会出界； （3）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离， 又∵L2是与L1形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米， 设L2的表达式为y（x﹣h）2+1， 将点A（18，0）代入得：0（18﹣h）2+1 解得：h1＝12（舍去），h2＝24， ∴L2的表达式为y（x﹣24）2+1， 设点M的横坐标为t（t+2≥24，即t≥22），则Q（t，0.5），P（t+2，）， 当y＝0.5时，0.5（x﹣24）2+1， 解得：t1＝24+3，t2＝24﹣3（舍去）， 当y时，（x﹣24）2+1， 解得：t1＝26，t2＝22， ∴24≤t≤24+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，读懂题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27．（本小题满分7分）【问题提出】 （1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，若AB＝10，则DE的长为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ABC的顶点A在边DE上，那么DE与BD+AD是否相等，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形ABCD是某校的实践基地示意图，其中DF和CF是两条小路（点F在AB边上），在CF的中点M处有一口灌溉水井（大小忽略不计），现要在BC边上与点C相距100m的点E处修建一个蓄水池E（大小忽略不计），再沿EM铺设地下水管．已知AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝300m，BC＝400m，且DF⊥DC，求铺设地下水管EM的长． 【答案】（1）5； （2）相等， 理由见解析； （3）100m． 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，求得∠ACE＝∠BCD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）连接DE，根据平行四边形 的判定定理得到四边形ABED是平行四边形，根据正方形的判定定理得到四边形ABED是正方形，求得DE＝AD＝300m，∠ADE＝∠DEB＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝CE＝100m，求得BF＝200m，过M作MH⊥BC于H，根据三角形中位线定理得到CH＝BHBC＝200m，于是得到MHBF＝100m，EH＝CH﹣CE＝100m． 【详解】解：（1）∵点D、E分别是AC、BC的中点， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵AB＝10， ∴DE＝5； 故答案为：5； （2）相等， 理由：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+DB＝AD+AE＝DE； （3）连接DE， ∵AD∥BC，AB＝AD＝300m，BC＝400m，CE＝100m， ∴BE＝BC﹣CE＝300（m）， ∴AD＝BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABED是正方形， ∴DE＝AD＝300m，∠ADE＝∠DEB＝90°， ∴∠A＝∠DEC＝90°， ∵DF⊥DC， ∴∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝∠CDE， ∴△ADF≌△EDC（ASA）， ∴AF＝CE＝100m， ∴BF＝200m， 过M作MH⊥BC于H， ∴∠MHC＝∠B＝90°， ∴MH∥BF， ∵点M是CF的中点， ∴CM＝FM， ∴CH＝BHBC＝200m， ∴MHBF＝100m，EH＝CH﹣CE＝100m， ∴ME100（m）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．（本小题满分7分）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，正方形OCDE的顶点E（﹣2，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． （Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ； （Ⅱ）将正方形OCDE沿x轴向右平移，得到正方形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'．设OO'＝t，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形时，D'E'与OB相交于点F，C'O'与AB相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）（2，2）；（﹣2，2）；（Ⅱ）①S＝﹣t2+6t﹣6；t的取值范围为2＜t＜4；②当时，S的取值范围为：S≤3． 【分析】（Ⅰ）过点B作BF⊥x轴于F，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可； （Ⅱ）①利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质表示出线段D'F＝D'B＝4﹣t，CG＝C′B＝t﹣2，再利用S＝S正方形O′ED′C′﹣S△D′BF﹣S△BC′G解答即可； ②利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，并求得极值，综合上述情形即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）过点B作BF⊥x轴于F，如图， ∵点A（4，0）， ∴OA＝4， ∵∠OBA＝90°，BO＝BA， ∴OF＝BF＝AFOA＝2， ∴点B的坐标为（2，2）． ∵点E（﹣2，0）， ∴OE＝2， ∵四边形OEDC为正方形， ∴DE＝DC＝OE＝2，DE⊥OE，DC⊥OC， ∴点D坐标为（﹣2，2）； 故答案为：（2，2）；（﹣2，2）； （Ⅱ）①由平移知：OO'＝t，正方形O′E′D′C′的边长为2， ∵△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA， ∴∠BOA＝∠BAO＝45°， ∵四边形O′E′D′C′为正方形， ∴∠E′FO＝∠D′FB＝∠O′GA＝∠BGC′＝45°， ∵正方形O′E′D′C′的边长为2，OA＝4， ∴OE′＝E′F＝t﹣2，O′A＝O′G＝4﹣t， ∴D'F＝D'B＝4﹣t，CG＝C′B＝t﹣2， ∴，， ∴S＝S正方形O′ED′C′﹣S△D′BF﹣S△BC′G ＝4 ＝﹣t2+6t﹣6． 其中t的取值范围是2＜t＜4； ②∵当0＜t≤2时，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：O′F＝OO'＝t， ∴S， ∴当t时，S，当t＝2时，S＝2； 当2＜t＜4时，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形，如图， ∴S＝﹣t2+6t﹣6＝﹣（t﹣3）2+3， ∴当t＝3时，S有最大值为3； 当4≤t≤5时，正方形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：O′A＝t﹣4， ∴E′A＝E′G＝6﹣t， ∴S， ∴当t＝4时，S有最大值为2，当t＝5时，S有最小值为． 综上，当时，S的取值范围为：S≤3． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，点的坐标的特征，熟练掌握正方形与等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$