精品解析：河南省林州市2024—2025学年下学期3月八年级第一次阶段自评（B）数学试卷

八年级下学期第一次阶段自评（B） 数学 2025.03 （考试范围：1~44页满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 等式＝成立的条件是( ) A. x＞0 B. x＜1 C. 0≤x＜1 D. x≥0且x≠1 3. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，把化成最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 7. 如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和，则为（　　） A. 7 B. 8 C. D. 25 8. 平行四边形一边的长是，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A. B. C. D. 9. 已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 10. 如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当式子取最小值时，_____________． 12. 最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为________． 13. 计算______． 14. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算． （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为16米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． （1）求此时风筝的垂直高度； （2）如果小明站在点不动，想把风筝沿方向从点的位置下降18米至点的位置，则他还需收回风筝线多少米？ 19. 如图，在中，于点． 请判断的形状，并说明理由． 20. 如图所示，在中，E，F为对角线上的两点，且，求证：． 21. 如图，将长方形边沿折痕折叠，使点落在上的点处，已知的面积是30，求的长． 22. 把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简． 例如：化简． 解：， ． 利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）： （1） ； （2） ； （3）中，，求的长． 23. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止，设运动时间为秒． （1）①当点在上时，用含的式子表示的长为 ； ②当点在上时，用含的式子表示的长为 ； （2）如图①，若点在上，且满足时，求出此时的值； （3）如图②，射线平分，若点恰好在的角平分线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第一次阶段自评（B） 数学 2025.03 （考试范围：1~44页满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 等式＝成立的条件是( ) A. x＞0 B. x＜1 C. 0≤x＜1 D. x≥0且x≠1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数必须是非负数，而且分母不能为0，可得x≥0，1-x＞0，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得， , 解得：0≤x＜1． 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据． 3. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．对二次根式进行化简，找到与为同类项的即是答案． 【详解】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意； ，不能与合并，故选项B不符合题意； ，能与合并，故选项C符合题意； ，不能与合并，故选项D不符合题意； 故选C． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A、计算正确，不符合题意； B、计算正确，不符合题意； C、计算正确，不符合题意； D、符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 若，把化成最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； B．∵1，1，中不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； C．∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D．∵， ∴8，15，16，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和，则为（　　） A. 7 B. 8 C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为， 则：， 由图可知：， ∴； 故选C． 8. 平行四边形一边的长是，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的三边关系进行判断即可，解题的关键是判断两条对角线长的一半的和与平行四边形的一边的大小关系． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 9. 已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 10. 如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键．设空白部分的面积分别为a、b、c，证明得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，设空白部分的面积分别为a、b、c， 则，，， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即等于12， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当式子取最小值时，_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，因为式子取最小值，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵式子取最小值， ∴， 解得， 故答案为：3． 12. 最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 13. 计算______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 将化为，再由积的乘方逆运算和平方差公式求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：作点关于的对称点交轴于点， ∴，， 过点作轴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光线从点到点经过的路线长是． 故答案为：． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数，二次根式的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算，二次根式的混合运算，进行解答，即可． （1）根据，，实数的混合运算，进行计算，即可； （2）先计算二次根式的乘除，然后根据二次根式的加减，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键．按照分式的加减乘除运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为16米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． （1）求此时风筝的垂直高度； （2）如果小明站在点不动，想把风筝沿方向从点的位置下降18米至点的位置，则他还需收回风筝线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为31.65米 （2）他还需收回风筝线14米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）勾股定理求出的长，用求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：米，，米，米； ∴米 米， 答：风筝的垂直高度为31.65米； 【小问2详解】 由题意得：米， 米， 米 米， 答：他还需收回风筝线14米． 19. 如图，在中，于点． 请判断的形状，并说明理由． 【答案】 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，，进而得到，则可得到，据此可得是直角三角形． 【详解】略 20. 如图所示，在中，E，F为对角线上的两点，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明． 【详解】略 21. 如图，将长方形边沿折痕折叠，使点落在上的点处，已知的面积是30，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折的性质， 先根据三角形的面积求出，再根据勾股定理求出，然后根据翻折的性质可知，进而求出，接下来设，可得，根据勾股定理列出方程，再求出解即可. 【详解】解：， ， 即． 解得：． 在中由勾股定理得： ． 由翻折的性质可知： ． ． 设，则． 在中，由勾股定理得： ． 解得：， ． 22. 把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简． 例如：化简． 解：， ． 利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）： （1） ； （2） ； （3）中，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，勾股定理，解题的关键是正确应用完全平方公式． （1）仿照题意进行求解即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先利用勾股定理求出，然后仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：在中，， ． 23. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止，设运动时间为秒． （1）①当点在上时，用含的式子表示的长为 ； ②当点在上时，用含的式子表示的长为 ； （2）如图①，若点在上，且满足时，求出此时的值； （3）如图②，射线平分，若点恰好在的角平分线上，求的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）的值为 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理，求得，再根据线段和差表示出的长即可； （2）连接，在中，由勾股定理求解即可； （3）先说明点为射线与边的交点，再过点P作于E，由角平分线性质得，然后证明，得出，从而得出，最后根据，，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ①∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止，设运动时间为秒． ∴当点在上时，， 故答案为：； ②∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止，设运动时间为秒． ∴当点的上时，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得 解得：． 【小问3详解】 解：∵点恰好在的角平分线上， ∴点为射线与边的交点， 过点P作于E，如图②， ∵射线平分，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由（1）知：， ∴ 在中，由勾股定理，得 解得：， 答：若点恰好在的角平分线上，的值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $