精品解析：四川省成都市玉林中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度（下期）初2025届3·月定时练习 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式． 目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：，则这组数据的中位数是（ ） A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设长x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 10. 若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）． 11. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 三、解答题（共48分） 14 （1）计算：． （2）解不等式组： 15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数： （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数． 16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 17. 如图，在中，，以直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． （1）求和的值，及点坐标； （2）将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； （3）若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_________． 20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 21. 巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____． 22. 如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则___________． 23. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______． 二、解答题（共30分） 24. 一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？（纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资） 25. 抛物线：与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； （3）如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 26. 【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度（下期）初2025届3·月定时练习 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ， ∴最大的数是：3； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式． 目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：3000亿， 故选：D 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键． 4. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：，则这组数据的中位数是（ ） A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的含义．熟练掌握中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大依次排列为：，，，，， ∴中位数为第三个位置上的数即， 故选C． 5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 由题意知，共有6种等可能的结果，其中他恰好抽中水果类卡片的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中他恰好抽中水果类卡片的结果有2种， 他恰好抽中水果类卡片的概率是 故选：C． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设长x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设木长x尺，则绳子长为尺，再根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程即可． 【详解】解：设木长x尺，根据题意可得： ， 故选：A． 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】题中二项式中各项都含有公因式，利用提公因式法因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键． 10. 若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，，进而即可求解． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 11. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解； 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数： （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）人； 【解析】 【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图； （2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解； （3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，本次调查的师生共有人， ∴“文明宣传”的人数为（人） 补全统计图，如图所示， 故答案为：． 【小问2详解】 在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为， 【小问3详解】 估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17. 如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）见解析 （2）BF=5， 【解析】 【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF； （2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°， ∵， ∴∠B=∠BCF， ∴∠A=∠ACF； 【小问2详解】 ∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF ∴AF=CF，BF=CF， ∴AF=BF= AB， ∵，AC=8， ∴AB=10， ∴BF=5， ∵， ∴， 连接CD，∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴， ∴， ∴， ∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE， ∴∠FDE=∠B， ∴DE∥BC， ∴△FDE∽△FBC， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质． 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． （1）求和的值，及点坐标； （2）将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； （3）若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，相似三角形性质与判定； （1）先求点坐标，再求反比例函数的解析式，通过求点坐标即可； （2）由题可知平移后的函数解析式为，则，再由，列出方程，求出的值即可； （3）先判断是直角三角形，且，则，当时，过点作，则，先求出直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据对称的性质确定，再由，求出，直线与反比例函数的交点即为点． 【小问1详解】 解：将代入 ∴ 解得： ∴， 将代入，得 ∴反比例函数解析式为 联立 解得：或 ∴ 【小问2详解】 由题可知平移后的函数解析式为 当时，， 当时， ∴， 又， ∵，则 ∴ 解得： 【小问3详解】 ∵点在反比例函数图象上， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 当时，过点作， ， ， 直线的解析式为， 又， 设直线的解析式为，代入 解得： 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为，， 的中点为， 的中点在直线上， ， ， ， ， 解得（舍去）或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得 舍或 ． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】##3.5##3 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值； 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． ， 移项得， 左边提取公因式得， 两边同除以2得， ∴原式＝． 故答案：． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 21. 巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】图，设小正方形的边长为1， 根据等腰三角形和正方形的性质可求得AB=BE=，FG=DC=， 则空白的面积为：； 大正方形的面积是：， 阴影区域的面积为：8-5=3， 所以针尖落在阴影区域上的概率是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 22. 如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点F，根据折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一，可得，设，则，，进而可证，设，，求出，再用勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解： D为边上的中点， ， 由折叠知，， ， ， 如图，作于点F， ，， ，， 设，则，， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，涉及知识点较多，能够正确作出辅助线，并综合应用上述知识点是解题的关键． 23. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为 ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同， ∵， ∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值， 由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值， （I）当时， ①且， 解得， ②当且， 解得 （II）当时， ①且 无解； ②且， 无解， 故答案为：或． 二、解答题（共30分） 24. 一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？（纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资） 【答案】（1）y＝﹣10x+500（20≤x≤30）；（2）当x＝30时，每天门店的纯利润W最大，最大为1600元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式； （2）根据纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 把（21，290）、（29，210）代入， 得， 解得，， 则y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+500（20≤x≤30）； （2）每天门店的纯利润W＝（﹣10x+500）（x﹣20）﹣400 ＝﹣10x2+700x﹣10400 ＝﹣10（x﹣35）2+1850， ∵20≤x≤30， ∴当x＝30时，每天门店的纯利润W最大，最大为1600元． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 抛物线：与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； （3）如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用交点式求解即可； （2）讨论点在之间时，点与点重合时，点在之间时三种情况即可； （3）先利用构造相似得出，利用一次函数得出，联立一次函数与抛物线解析式得出，，判断出一次函数过定点，即可解决． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得：， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 代入和， 得， 解得， 所以直线的表达式为：， 由题意得，点，点，点， 则， ①当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则； ②当点与点重合时，不存在； ③当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则， 综上，或； 【小问3详解】 ∵抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，抛物线与正半轴交于点， ∴抛物线向左平移个单位即可得抛物线， ∴抛物线的表达式为， 设点和点，且点在点左侧， 根据，可知图形有两种情况： 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 化简得：； 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得； 综上，， 联立与， 得：， 化简得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴直线过定点， ∴原点到距离的最大值即点到点的距离， 即． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及二次函数性质，待定系数法求解析式，铅锤法表示线段，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，分类讨论及数形结合是关键． 26. 【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1！）见解析；（2）11；（3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再根据证明即可得出结论； （2）作交于点，交于点，证明得出再分别证明，是等边三角形，得到 由求出，从而得出结论； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，求出，证明求得，证明四边形是平行四边形，得出进一步得出 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点，交于点，如图， ∵， 又 ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$