精品解析：湖北省黄石市部分学校2024--2025滨下学期3月联考九年级数学试卷

九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．考试时间为120分钟，满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得． 【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意； B、，是有理数，此项不符题意； C、是无理数，此项符合题意； D、是分数，属于有理数，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键． 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，，， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，， 所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是＝， 故选：B． 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 5. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【解析】 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A. 考点：二次函数图象的平移法则. 6. 某商品原售价250元，经过连续两次降价后售价为200元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每次降百分率为x，根据等量关系式：原售价×=连续两次降价后售价，列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降百分率为x，根据题意得： ， 故选：B． 7. 如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 8. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 9. 如图，在中，已知，，，现将绕点B顺时针旋转到，连接，则的面积为（　　） A. 6 B. 12 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，先根据勾股定理解求出，作于点E，证明，推出，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：中，，，， ，， 由旋转知，， ， ， 如图，作于点E， 在和中， ， ， ， ． 故选C． 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），根据顶点坐标公式可求得b=4a，c=－5a，从而可得抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，然后根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】∵抛物线的开口向上，∴a>0， ∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a）， ∴﹣=﹣2，=﹣9a， ∴b=4a，c=－5a， ∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a， ∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确， 5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误， ∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0）， ∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确， 若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂运算法则是解题的关键． 根据零指数幂与负整数指数幂运算法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：3． 12. 随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460000000人．将460000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数且比原数的整数位的个数少1，即可求解． 【详解】解：将数460000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 13. 已知非零实数x，y满足，则的值等于_________． 【答案】4 【解析】 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果． 【详解】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，AB⊥x轴， ∴AB∥y轴， 则△AOC和△APC面积相等， ∵A在上，C在上，AB⊥x轴， ∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=9-3=6， ∴△APC的面积为6， 故答案为：6． ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 15. 如图，在中，，，为内一点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形、相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，然后由三角形的判定定理得出∽，然后由相似三角形的性质得出，然后在含有度角的直角三角形中求出，在含有度角的直角三角形中得出，由求出，再由三角形的面积公式求出的面积． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得： 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 17. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 【答案】（1） 证明：， 故方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合得出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米． 【答案】12米 【解析】 【分析】设，根据锐角三角函数，将和用x表示出来，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：∵米， ∴米， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵米， ∴米， 答：旗杆的长约为12米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 19. 如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且． （1）求证：； （2）连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， 在与中，， ∴； （2）添加 【解析】 【分析】（）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加． 理由：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 20. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1），， （2） 解：由于八年级竞赛成绩的中位数为为大于七年级竞赛成绩的中位数， 八年级对“防灾减灾”的了解情况更好； （3）两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的概念，求得，，利用七年级、两类的人数和除以总人数求得，即可解答； （2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可； （3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第和个数为和， ， 八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为， ， 七年级学生的优秀率为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人． 21. 如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理： （1）连接，通过等边对等角和角平分线的定义证明，从而证明，利用平行线的性质即可得证； （2）根据锐角三角函数可得，在中，根据勾股定理可得 ，在中，根据勾股定理可得，从而得到，然后根据平行线分线段成比例可得，从而得到，进而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 22. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第x天的销售价格为y（元），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为_________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元，且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2）x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，y与x的关系式为：． （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元）与销售价x（元）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． （3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴，求得a即可． 【小问1详解】 解：依题意，当时，；时，， 当时，设y与x的关系式为，则有 ， 解得， ∴y与x的关系式为：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意， ∵， ∴， 整理得，， 当时， ∵W随x增大而增大， ∴时，取最大值， 当时，， ∵， ∴时，W取得最大值，此时， 综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元． 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，且， ∴对称轴，得， ∵， ∴a的取值范围为． 23. 在正方形，，分别是射线，上的点，于点．如图，若点是边上的点．延长交的延长线于点，连结 （1）求证：； （2）若，，直接写出的值________； （3）延长交射线于点，连结，，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：四边形是正方形，且， ，， ， ，， ， ， ； ， ， ， 即， 又， ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、正方形的性质、相似三角形的性质与判定； （1）根据等角的余角相等可得，然后证明，得出 ，证明，得出，进而得出即可得证； （2）过点作交于点，证明，根据相似三角形的性质求得，根据，求得，进而根据，即可求解； （3）分两种情况讨论，①点在线段上，，，设，则，勾股定理求得，证明，设，则，根据 即可求解，②点在点右侧，同①的方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 在中，， 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①点在线段上，如图， 由()得 ， ，则， ，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ②点在点右侧，如图， 同(1)可证得 ， ， ，则， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 综上所述，或． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点E作轴于F，过点D作轴于G，设点，由，得，列出关于m的方程即可求解； （3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出t的值，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，，将A，D两点坐标代入得： ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在第三象限内抛物线上找点E，使，如图1，过点E作轴于F，过点D作轴于G，则， ∵，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设， 设直线的解析式为：， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设，， 由，得，即：， ∴，， ∴ ， ∵线段的中点是M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即时，是定值， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，用参数表示一次函数的解析式和线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．考试时间为120分钟，满分120分． 2．考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 6. 某商品原售价250元，经过连续两次降价后售价为200元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 如图，在中，已知，，，现将绕点B顺时针旋转到，连接，则的面积为（　　） A. 6 B. 12 C. 8 D. 16 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460000000人．将460000000用科学记数法表示为________． 13. 已知非零实数x，y满足，则的值等于_________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为___． 15. 如图，在中，，，为内一点，连接，若，则的面积为___________． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程 （1） （2） 17. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值． 18. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米． 19. 如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且． （1）求证：； （2）连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 20. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级组同学的分数分别为：，，，； 八年级C组同学的分数分别为：，，，，，，，，． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 （1）填空： ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级名，八年级名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 21. 如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求图中阴影部分的面积． 22. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元．设第x天的销售价格为y（元），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为_________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元，且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 23. 在正方形，，分别是射线，上的点，于点．如图，若点是边上的点．延长交的延长线于点，连结 （1）求证：； （2）若，，直接写出的值________； （3）延长交射线于点，连结，，若，求的值（用含的代数式表示）． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； （3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $