山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2025届高三下学期3月月考数学试卷

2025届高三年级3月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 1、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 2．命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．已知复数，则“”是“复数的实部大于0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 7．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．设定义在R上的偶函数满足：，且当时.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的图像可由的图象向左平移个单位得到 C．的对称轴为 D．在区间上的最大值为 10．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率 为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（   ） A．若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B．若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C．若，则的渐近线方程为 D．若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知幂函数的图象经过点，则 ． 13．在中，内角的对边分别为，且满足．若， 则的最大值为 ． 14．四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为 ；直线l与平面所成夹角的范围为 ． 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，求数列的前项和. 16．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17．中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）； (2)从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率. 18．已知椭圆的焦距为2，点在上． (1)求的标准方程； (2)若点与关于坐标原点对称，点在上，求面积的最大值及此时的坐标． 19．已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A解析：由题意或，所以.故选：A 点睛：本题考查集合的交集，解一元二次不等式，属于基础题型. 2．A解析：命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A 3．B分析：先求出的实部大于0的充要条件，再结合集合关系进行判断即可. 解析：因为， 若其实部大于0，则，即，易知， 则是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件， 则“”是“复数的实部大于0”的必要不充分条件， 故选：B. 4．B解析：由，得，而， 所以. 故选：B 5．B解析：因为，所以， 所以，故选：B. 6．D分析：先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可. 解析：数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以， 所以数列的前5项之和为 .故选：D. 7．B分析：根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式. 解析：观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为.故选：B 8．B分析：由已知得出函数是周期函数且4是一个周期，然后利用周期性，奇偶性得出，，，利用导数确定时函数的单调性，从而可比较大小． 解析：∵，是偶函数， ∴，即，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，， 时，，，是减函数，∴，∴，故选：B． 9．ABD分析：由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解析：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴.的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确，故选：ABD． 10．ACD分析：根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 解析：设，则，所以在上单调递减， 对于A，由，即，即，故A正确； 对于B，由，即，又，则，故B错误； 对于C，由，即，即，故C正确； 对于D，由，即，即，故D正确.故选：ACD. 11．ACD分析：由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围. 解析：如图，连接， 由题意知直线的方程为，即， 直线与双曲线的渐近线平行，所以， 则，， 联立方程，解得，即， 对于A，因为以为直径的圆经过点，则， 因为，，所以， 解得，则的离心率，所以A正确； 对于B，因为以为直径的圆经过点， 则，则，， 所以由双曲线的定义知，可得， 所以的离心率，所以B不正确； 对于C，若，则为线段的中点，所以， 于是由在双曲线上，得，即， 解得，所以，则的渐近线方程为，所以C正确； 对于D，因为，所以， 由余弦定理的推论得，即， 解得，因为点不在圆外， 所以，即，解得， 所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确．故选：ACD． 点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： （1）求出，代入公式； （2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围） 12．/解析：设，则，故，则，故答案为： 13．分析：利用正弦定理将边化成角，化简计算得到角B，再根据正弦定理结合辅助角公式将化成关于的三角函数，根据函数性质可求解. 另还有一解法，可设，利用余弦定理得到关于的一元二次方程，根据根的判别式可得到关于的不等式，解不等式即可. 解析：由正弦定理可得，即． 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以． 解法①：由，结合正弦定理知，所以， 所以 ， 其中，当时取等号，所以的最大值为． 解法②：设，则， 根据余弦定理得，即， 因为关于的方程有正实数解，所以，解得， 所以的最大值为．故答案为：. 14． 1 、分析：由题可证平面，若平面，则l与平面所成的角为0，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，可得为在平面内的射影，为直线l与平面所成的角，求出的范围，得解. 解析：因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 将四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 可得四棱锥的外接球的球心O为的中点，∴， 连接，，交点为Q，因为底面为正方形，所以， 又平面，且平面，所以， 又，平面，平面，所以平面，即平面， 若平面，则l与平面所成的角为0． 如图，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S， 因为平面，且平面，所以， 又，，且，，平面，所以平面， 故过B且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，又平面，所以， 又，且，所以平面，又平面， 所以，又平面，所以为在平面内的射影， 即为直线l与平面所成的角，且， 在中，，，由射影定理求得 ， 而，当且仅当重合时，等号成立， 故，∴． 综上，直线l与平面所成夹角的取值范围为. 故答案为：1；. 15．分析：（1）根据等差数列的定义即可证明. （2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果. （3）利用分组求和与等差等比前n项和公式即可求得结果. 解析：（1）证明：因为，所以， 所以. 因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2）解：由（1）可得， 则，故. （3）解：由（2）可得， 则 16．分析：（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 解析：（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．分析：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再根据中位数计算规则求出中位数；（2）利用分层抽样各层抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 解析：（1）解：由频率分布直方图可得，解得， 因为，，所以中位数位于之间， 设中位数为，则，解得， 即中位数约为. （2）解：由题意中抽取人， 中抽取人，中抽取人， 分别记作、、、、、， 从中选取人，则可能结果有、、、、、、、、 、、、、、、共个结果， 其中满足这人考核成绩来自同一分数段有、、、共个结果， 所以这人考核成绩来自同一分数段的概率. 18．分析：（1）依题意可建立关于的方程，即可求解； （2）利用参数思想设点，再求点到直线的距离，即可得到关于的函数，求函数的最大值即可. 解析：（1）由题意可知，，得，则的标准方程为. （2）点与关于坐标原点对称，则直线的方程为，且， 设点，则点到直线的距离， 因，则，， 则， 因，则当时， 或，此时点或. 故面积的最大值为，此时的坐标为或. 19．分析：（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 解析：（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，，所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又，，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$