精品解析：2025届湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学高三模拟预测数学试题

2024~2025学年高三核心模拟卷 数学（三） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A 24 B. 18 C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（ ） A. B. C. 12 D. 8 6 已知，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 被8整除的余数为1 D. 精确到的近似数为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则的图象关于点对称 B. 若的图象关于直线对称，则的值可能为 C. 若将图象向左平移个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为 D. 若在区间上恰有一个零点，则的取值范围为 11. 在平面直角坐标系中，已知点是曲线上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. C. 上有无数个整点（整点指横、纵坐标均为整数的点） D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在R上单调递增，则的取值范围是____________． 13. 如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为_______，此时三棱锥的外接球的表面积为________． 14. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点为的右支上的一点，直线被圆截得的弦长为，且，则的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的列联表： 青年 非青年 合计 喜欢 180 40 220 不喜欢 120 60 180 合计 300 100 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？ （2）从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量为这3人中喜欢该程序的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）若，求证：． 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点． （1）求的方程； （2）过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 19. 若数列共有项，且对任意的，都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． （1）若，求和的值； （2）已知数列是公差不为0的等差数列，且，若，，求和的值； （3）若数列是各项均为正整数的递增数列，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高三核心模拟卷 数学（三） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得集合，再求交集. 【详解】由得，解得或， ∴ 所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数运算公式及复数模公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 3. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质求解即可. 【详解】因为随机变量量，，， 所以. 故选：A. 4. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 24 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，读出向量的坐标，再利用坐标运算求数量积. 【详解】以三个向量的公共起点为原点建立如图所示的直角坐标系， 则，，， 则，， 则 故选：D 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（ ） A. B. C. 12 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，设准线l与轴交点为，求出，再由锐角三角函数求出，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 设准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D 6. 已知，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系和二倍角正弦公式求出，再由二倍角的余弦公式代入化简，结合同角三角函数的基本关系即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 又，解得：， 因为，所以,所以， 所以. 故选：C. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式结合指数幂和对数函数的运算以及指数与对数的互化可得. 【详解】，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 8. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 被8整除的余数为1 D. 精确到的近似数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若最小正周期为，则的图象关于点对称 B. 若的图象关于直线对称，则的值可能为 C. 若将的图象向左平移个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为 D. 若在区间上恰有一个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用降幂公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】依题意，函数， 对于A，，，则， 不是函数的最大值，也不是最小值，A错误； 对于B，，解得，取，B正确； 对于C，，由函数为偶函数， 得，解得，，C正确； 对于D，当时，，由，得， 由在上恰有一个零点，得，解得，D错误. 故选：BC 11. 在平面直角坐标系中，已知点是曲线上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. C. 上有无数个整点（整点指横、纵坐标均为整数的点） D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，取特殊点，验证即可判断；选项B，由，分，讨论，即可判断；选项C，分，讨论，分析即可判断；将问题转化为点到直线的距离的倍，当时，由参数方程可得；当，由特殊点验证可得D正确. 【详解】选项A，满足，故点曲线上，但不满足，故点不在曲线上，故曲线C不关于原点对称，故A错误； 选项B， 当时， 当时， 故曲线C上任意点P满足，故B正确； 选项C，当时，曲线C为 若为整点，则或 故有三个整点 当时，曲线C为 若为整点，则， 若，则，与矛盾 故曲线C上只有三个整点，故C错误； 对于D，问题可变为当时，点到直线的距离的倍， 当时，设， 则， 此时的最小值为； 当时，由B选项可得，此时时，取得最小值为，此时的最小值为， 综上，的最小值为，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在R上单调递增，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】在上单调递增，需要满足， 解得，所以. 故答案为：. 13. 如图1，在梯形中，，，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥体积的最大值为_______，此时三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面，可知以为顶点时，为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积. 【详解】图1中，延长、于点，如下图所示： 因为，且，所以，， 即，，所以，，， 所以，是边长为的等边三角形， 所以，、分别为、的中点，所以，， 所以，， 易知，所以，， 翻折后，当平面平面时，点到平面的距离取最大值， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以，平面， 所以，的体积的最大值为； 记为外接球球心，半径为， 因为平面，，所以，球心到平面的距离为， 又的外接圆半径，所以，， 所以，球的表面积为， 故答案为：；. 14. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点为的右支上的一点，直线被圆截得的弦长为，且，则的离心率为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】直线与圆的交点为，连接，过点作⊥轴，垂足为，设，由题意得，由条件得到，分在延长线上和在线段上两种情况求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线，即可求得双曲线的离心率. 【详解】直线与圆的交点为，连接、，令的中点为,连接. 过点作⊥轴，垂足为，则，， 圆，， 设，则， 因为为的中点，所以 因为，所以， 即，所以， ，， 若在延长线上，则， 因为在双曲线上， 所以，即， 所以，即 所以，整理得，解得.（负值舍去） 若在线段上，则， 因为在双曲线上， 所以，即， 所以，即 所以，整理得，解得. 故答案：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的列联表： 青年 非青年 合计 喜欢 180 40 220 不喜欢 120 60 180 合计 300 100 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？ （2）从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量为这3人中喜欢该程序的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为是否喜欢该程序与年龄有关联． （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的可能取值为，利用超几何分布，求得相应的概率，得出分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢该程序与年龄关联． 根据列联表中的数据，经计算得到 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢该程序与年龄有关联． 【小问2详解】 从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人， 喜欢该程序的人数为（人）， 不喜欢该程序的人数为（人）． 的所有可能取值为1，2，3， 所以， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三线合一得到出，再利用面面垂直的性质定义得到平面，进而利用线面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量求平面与平面的夹角余弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示， 因为，是的中点， 所以，且， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，得， 因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又在三棱柱中，， 所以四边形是菱形，所以， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，所以， 则， 设平面的法向量为，所以 令，解得，故， 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求证：． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，通过分类讨论，得到函数的单调性； （1）时，，令，证明即可. 【小问1详解】 由题意知， 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调增； 当时，令，解得，令，解得， 所以上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 证明：若，， 所以，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 设函数， 所以在上的最大值为． 故． 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点． （1）求的方程； （2）过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）为定值4；（ii）12. 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标、及点代入椭圆方程求解即可. （2）设直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程可得，， （i）设在点处的切线方程，联立切线方程与椭圆方程，令可得，进而可得在点处的切线方程，同理可得在点的切线方程，联立两条切线方程求其横坐标即可. （ii）将代入可得点坐标，进而可得直线的方程，求出直线和交点，进而可得为线段的中点，由弦长公式求得，进而可得，由到角公式及直角三角形中正切定义可得，进而结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 由得， 所以． （i）显然，在点处的切线的斜率存在，设在点处的切线方程为， 由得， 所以，整理得，解得， 所以在点的切线为，即，同理得在点的切线为， 由得， 所以点的横坐标为定值4． （ii）将代入，得， 直线的方程为， 设直线和交于点，由得， 又，所以为线段的中点． 因为， 所以， 又因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为12. 【点睛】求解定值问题的方法点睛： （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论. 19. 若数列共有项，且对任意的，都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． （1）若，求和的值； （2）已知数列是公差不为0的等差数列，且，若，，求和的值； （3）若数列是各项均为正整数的递增数列，求证：． 【答案】（1） （2）1；0； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，分别令，，代入求解即可. （2）由可得，再结合等差数列通项公式得到，再根据对应系数相等可得与.再结合等差数列求和公式求解即可. （3）依题意可知，再结合裂项相消求和即可. 【小问1详解】 由题意知，所以， 又， 所以． 【小问2详解】 设等差数列的公差为，由，知对任意的，都有， 即，所以， 所以， 所以， 因为，所以即 所以. 【小问3详解】 证明：因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 由已知， 所以， 所以 ， 即． 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到，再由裂项相消法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$