四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 蜀光中学高二下 3月月考 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19.（17分） 试卷第 1页，共 4页 2024-2025 学年度蜀光中学高 2023 级高二下期 3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第 I卷（选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1、如果函数  y f x 在 2x  处的导数为 1，那么     0Δ Δ 2 l Δ m 2 i x f x f x   （ ） A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 2、.在等比数列｛an｝中，a1，a99是方程 x2-10x+16=0的两个根，则 a50的值为（ ） A.10 B.16 C.±4 D.4 3、函数  f x 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A．      1 2 3 0f f f    B．      1 2 3 0f f f    C．      0 1 2 3f f f     D．      1 2 0 3f f f     4、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八 阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该 问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( ) A.1 7 (87－8)人 B.1 7 (89－8)人 C.      )88( 7 18 7 人 D.      )88( 7 18 49 人 5、函数   2lnf x x x  的单调递增区间是（ ） A.  ,0 和  0,2 B.  2, C.  , 2 D.  0,2 试卷第 2页，共 4页 6、函数   e 3 1xf x x   的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7、若已知等差数列 na 的公差为2, 前n项和为 nS ,且 1S , 2S , 4S 成等比数列. 令 1 1 n n n b a a   ,则数列 nb 的前 50 项和 50T  ( ) A. 50 51 B. 49 50 C. 100 101 D. 50 101 8、设 0.1 10.1e , ln 0.9 9 a b c   ， ，则（ ） A．a b c  B． c b a  C． c<a<b D． a c b  二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错得 0分. 9、下列求导运算正确的是( ) A.  tan 2 2 tan 2x x  B.  2 1log ln 2 x x   C.   55 5 logx x x  D.  2 2cos 2 cos sinx x x x x x   10、设 na 是等差数列， nS 是其前 n项的和.且 5 6S S ， 6 7 8S S S  ，则下面结论正确的是（ ） A． 0d  B． 7 0a  C． 6S 与 7S 均为 nS 的最大值 D．满足 0nS  的 n的最小值为 14 11、已知函数    21e 2 xf x a x a  R 有两个极值点 1x ,  2 1 2x x x 则( ) A. 10 e a  B.  1 1 2 f x  C.  2 1 2 f x  D. 1 2 2x x  第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分. 12、已知函数 ln 1y a x x   的图象在 1x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直，则实数 a的值为 . 13、数列     na 满足 1  1a   ， 1 1 1n n a a   （ n +N ），则 100 a  _________. 试卷第 3页，共 4页 14、已知   3 23 2, 0, ln , 0, x x x f x x x x        若函数    g x f x m  有两个零点，则m的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15、（本小题满分 13分） 等差数列 na 满足 4 11a  ， 7 2a  ，前 n项和为 nS . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求 nS 的最大值. 16（本小题满分 15分） 已知函数 f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x＋y－4＝0. (1)求实数 a，b的值； (2)若曲线 C：y＝－ a 12 x3－4b，求曲线 C过点(2,4)的切线方程． 17、（本小题满分 15 分） 已知等比数列{ }na 的公比 1q  ， 1 2 3 14  a a a ， 2 1a  是 1a ， 3a 的等差中项.等差数列{ }nb 满足 1 22b a ， 4 3b a . (1)求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； (2)  *Nnn n bc n a   ，求数列{ }nc 的前 n项和. 试卷第 4页，共 4页 18、（本小题满分 17分） 已知函数     21 3ln 0 4 af x ax a x x     ． (1)讨论函数  f x 的单调性； (2)设   2 2 e 12 e 12 4 xg x x m    ，当 e 6 a   时，对任意的  1 1,4x  ，总存在  2 1,ex  ，使    1 2g x f x ， 求实数 m的取值范围． 19、（本小题满分 17 分） 已知函数   2e 6e 2x xf x ax     ． (1)当 4a  时，求  f x 的单调递增区间； (2)若  f x 有两个极值点 1 2,x x ． （ⅰ）求 a的取值范围； （ⅱ）证明：    1 2 1 2 22 3 f x f x x x    ． 试卷第 1页，共 4页 蜀光中学高 2023 级高二下期 3 月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第 I卷（选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．在等差数列 na 中, 2 5 12a a  , 6 11a  ,则 4a  ( ) A.5 B.7 C.8 D.10 2.设函数 f(x)＝ax3＋b，若 f′(－1)＝3，则 a的值为( ) A．－1 B.1 2 C．1 D.1 3 3.设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4.在等比数列{an}中，a1，a13是方程 x2－13x＋9＝0的两根，则 a2a12 a7 的值为( ) A. 13 B．3 C．± 13 D．±3 5.函数  y f x 的图象如图所示，  y f x 为函数  y f x 的导函数，则不等式   0f x x   的解集为 （ ） A. ( 3, 1)  B. (0,1) C. ( 3, 1) (0,1)   D. ( , 3) (1, )   6．点 P是曲线 2 lny x x  上任意一点，则点 P到直线 2y x  的最小距离为（ ）． A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 试卷第 2页，共 4页 7、在数列{ }na 中,若 1 1 2 a  ,且对任意的 *nN 有 1 1 2 n n a n a n   ,则数列{ }na 前 10项的和为( ) A. 509 256 B. 511 256 C. 756 512 D. 755 512 8、若 1 20 x x a   都有 2 1 1 2 1 2ln lnx x x x x x   成立，则 a的最大值为（ ） A． 12 B．1 C． e D． 2e 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错得 0分。 9、定义在  1,3 上的函数  f x 的导函数  f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数  f x 在  1,3 上单调递减 B．函数  f x 在  1,1 上单调递减 C．函数  f x 在 1x  处取得极小值 D．函数  f x 在 0x  处取得极大值 10、若函数   e e sin 2x xf x x   ，则满足    22 1 0f x f x   的 x的取值范围可能为（ ） A． 11, 2      B．  , 1  C． 1 ,1 2      D． 1 , 2      11、已知数列 na , nb 均为递增数列, 它们的前 n项和分别为 nS , nT , 且满足 1 2n na a n  , 1 2 n n nb b   ,则下列结论正确的是( ) A. 10 1a  B. 22 3 2nS n n   C. 11 2b  D. 2 2n nS T 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12、已知数列 na 是单调递增的等比数列， nS 是其前 n项和.若 2 6 2a a  ， 3 5 3a a  ，则 4 6 S S  . 13、已知函数     2 13 1 ln 2 f x f x x x     ，则  1f   . 14、已知函数   2lnf x x x ax   有两个极值点 ,m n，且 1 ,1 2 m      ，则    f m f n 的取值范围是 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15、数列 na 满足 1 1a  ，  * 1 1 1 1 2 2n n n a a    N ． (1)求证：数列 1 na       是等差数列； (2)求数列 na 的通项公式． 16（15分）已知函数 f(x)＝1 2 x2＋aln x. (1)若 a＝－1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若 a＝1，求函数 f(x)在[1，e]上的最大值和最小值． 17、（15 分）已知数列  na 的前 n 项和 nS 满足   *1 Nn nS na n n n    ，且 2 3a  . (1)证明数列  na 为等差数列，并求  na 的通项公式; (2)设 1 1 1 ,n n n n n n b T a a a a    为数列  nb 的前 n 项和，求使 2 5n T  成立的最小正整数 n 的值; 试卷第 4页，共 4页 18、（17 分）已知函数 2( ) ln 3 ( )f x x ax x a R    . （1）若函数 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 = 2y  ，求函数 ( )f x 的极值； （2）若 1a  ，对于任意 1 2, [1,10]x x  ，当 1 2x x 时，不等式      2 1 1 2 1 2 m x x f x f x x x    恒成立， 求实数m的取值范围. 19、（17分）已知 aR，函数 1( ) ex xf x a   ． (1)若 2a  ，求 ( )y f x 的单调区间； (2)是否存在实数 a，使得 ( )y f x 与 ln( ) a xg x x   有相同的最大值？若存在，求出 a的值；若不存在，请 说明理由； (3)已知 1a  ，直线 y b 与两条曲线 ( )y f x 和 1 ln xy x   共有四个不同的交点，其横坐标分别为  1 2 3 4 1 2 3 4x x x x x x x x  、 、 、 ，证明： 1 4 2 3x x x x ． 试卷第 1页，共 10页 蜀光中学高 2023 级高二下期 3 月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第 I卷（选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．在等差数列 na 中, 2 5 12a a  , 6 11a  ,则 4a  ( ) A.5 B.7 C.8 D.10 答案：B 解：设等差数列 na 的公差为 d,则 2 5 1 6 1 2 5 12 5 11 a a a d a a d         ,解得 1 1a  , 2d  ,因此, 4 1 3 7a a d   . 故选：B. 2.设函数 f(x)＝ax3＋b，若 f′(－1)＝3，则 a的值为( ) A．－1 B.1 2 C．1 D.1 3 答案 C 解 ∵f′(x)＝3ax2 ，∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1. 3.设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解 令 f(x)＝ax－ln(x＋1)，则 f′(x)＝a－ 1 x＋1 . 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为 f′(0)＝a－1.又切线方程为 y＝2x， 则有 a－1＝2，所以 a＝3. 4.在等比数列{an}中，a1，a13是方程 x2－13x＋9＝0的两根，则a2a12 a7 的值为( ) 试卷第 2页，共 10页 A. 13 B．3 C．± 13 D．±3 答案 B 解 因为 a1，a13是方程 x2－13x＋9＝0的两根，所以 a1a13＝9，a1＋a13＝13，所以 a1>0，a13>0， 又{an}为等比数列，则 a7＝a1q6>0，又 a1a13＝a2a12＝a27＝9，所以 a7＝3或 a7＝－3(舍去)，所以a2a12 a7 ＝a7 ＝3. 5.函数  y f x 的图象如图所示，  y f x 为函数  y f x 的导函数，则不等式   0f x x   的解集 为（ ） A. ( 3, 1)  B. (0,1) C. ( 3, 1) (0,1)   D. ( , 3) (1, )   【解析】C 由图象可知，在区间    , 3 , 1,1   上   0f x  ， 在区间    3, 1 , 1,   上 ( ) 0f x¢ > ，所以不等式   0f x x   的解集为 ( 3, 1) (0,1)   . 6．点 P是曲线 2 lny x x  上任意一点，则点 P到直线 2y x  的最小距离为（ ）． A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【解】A∵ 12y x x    ，设  0 0,P x y 为所求的点，则 2 0 0 0 0 0 ln , 12 1. y x x x x         得 0 1x  ， 0 1y  ，则点 P到直线 2y x  的最小距离为 1 1 2 2 2    ． 7、在数列{ }na 中,若 1 1 2 a  ,且对任意的 *nN 有 1 1 2 n n a n a n   ,则数列{ }na 前 10项的和为( ) A. 509 256 B. 511 256 C. 756 512 D. 755 512 答案：A 解析： 1 1 2 n n a n a n   ,则   32 4 1 1 2 3 1 2 3 4 2 1 2 2 2 3 2 1 2 n n n a aa a n n a a a a n              . 试卷第 3页，共 10页 1 1 2 n n a n a    , 2n n na  . 2 3 1 2 3 2 2 2 2n n nS      , 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n n n n nS        . 2 1 1 1 1 1.. 2 2 2 2 2n n n nS       , 22 2n n nS    ,则 10 12 3 5092 2 1024 256 256 S     .故选：A. 8、若 1 20 x x a   都有 2 1 1 2 1 2ln lnx x x x x x   成立，则 a的最大值为（ ） A． 12 B．1 C． e D． 2e 【答案】B 【解】根据题意，若 1 20 x x a   ，则 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ln ln ln 1 ln 11 1ln ln x x x xx x x x x x x x x x x x            . 设    ln 1 0xf x x x    .所以可得    ln 1 0xf x x x    在  0,a ，函数  f x 为增函数. 对于   ln 1xf x x   ，其导数    2 2 1 ln 1 lnx xf x x x       . 若   0f x  ，解得0 1x  ，即函数   ln 1xf x x   的递增区间为  0,1 ； 若 1 20 x x a   都有 2 1 1 2 1 2ln lnx x x x x x   成立，即在  0,a ，函数  f x 为增函数，则 a的最大值为 1. 故选：B. 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6分，选对但不全得部分分，有选错得 0分。 9、定义在  1,3 上的函数  f x 的导函数  f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数  f x 在  1,3 上单调递减 B．函数  f x 在  1,1 上单调递减 C．函数  f x 在 1x  处取得极小值 D．函数  f x 在 0x  处取得极大值 【答案】AD 【解】由函数  y f x 的导函数  y f x 的图象可知， 当 1 0x   时，   0f x  ，所以  y f x 在  1,0 上单调递增，故 B 错误； 试卷第 4页，共 10页 当0 3x  时，   0f x  ，所以  y f x 在  0,3 上单调递减，故 A 正确； 所以函数  f x 在 0x  处取得极大值， 1x  不是极小值点，故 C 错误，D 正确.故选：AD. 10、若函数   e e sin 2x xf x x   ，则满足    22 1 0f x f x   的 x的取值范围可能为（ ） A． 11, 2      B．  , 1  C． 1 ,1 2      D． 1 , 2      【答案】BD 【解】∵   e e sin 2x xf x x   ，定义域为R， ∴        e e sin 2 e e sin 2x x x xf x x x f x            ，∴  f x 为R上的奇函数. ∵   e e 2cos2 2 e e 2cos2 2 2cos2x x x xf x x x x         ，当且仅当 e ex x ，即 0x  时，等号成立. ∵ 0x  时， 2 2cos2 4 0x   ， ∴   0f x  恒成立，即  f x 为R上的增函数. 由    22 1 0f x f x   得      22 1f x f x f x     ， ∴ 22 1x x   ，解得 1x   或 1 2 x  ，即 x的取值范围为   1, 1 , 2          .故选：BD. 11、已知数列 na , nb 均为递增数列, 它们的前 n项和分别为 nS , nT , 且满足 1 2n na a n  , 1 2 n n nb b   ,则下列结论正确的是( ) A. 10 1a  B. 22 3 2nS n n   C. 11 2b  D. 2 2n nS T 答案：ACD 解析：由{ }na 是递增数列,得 1 2 3a a a  ; 又 1 2n na a n  ,所以 1 2 2 3 2 4 a a a a      ,所以 1 2 1 2 3 2 1 2 2 4 4 a a a a a a a        ,所以 10 1a  ,故选项 A正确; 2 2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 6 10 2(2 1) 2n n nS a a a a a a n n                ,故 B不正确; 由{ }nb 是递增数列,得 1 2 3b b b  ,又 1 2 n n nb b   ,所以 1 2 2 3 2 4 b b b b    , 所以 2 1 3 2 b b b b    ,所以 11 2b  ,故选项 C正确; 试卷第 5页，共 10页 所以 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 2 (1 2 ) (1 2 )( ) ( ) ( )(2 1) 1 2 1 2 n n n n n n b bT b b b b b b b b                    , 所以 2 1 22 (2 1) 2 2(2 1) n n nT bb    ,又 1 2b b ,所以 2 2 2(2 1) n nT   , 而 2 22 2(2 1) 2 2( 2 2 2)n nn n      , 当 5n  时, 22( 2 2 2) 0n n    ;当1 4n  时,可验证 22( 2 2 2) 0n n    , 所以对于任意的 *nN , 2 2n nS T ,故选项 D正确.故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12、已知数列 na 是单调递增的等比数列， nS 是其前 n项和.若 2 6 2a a  ， 3 5 3a a  ，则 4 6 S S  . 【答案】 3 7 【解】：数列 na 为等比数列， 2 6 2a a  ，所以由等比数列性质可得 3 5 2a a  ， 又 3 5 3a a  ，所以 3a ， 5a 是一元二次方程 2 3 2 0x x   的两根，即 3 5 1 2 a a    ， 令等比数列 na 的公比为 q，由 3a ， 5a 的值，易求 2 2q  . 故     4 1 4 4 66 6 1 1 11 11 1 a q S qq S qa q q      ，所以 4 6 3 7 S S  .故答案为： 3 7 . 13、已知函数     2 13 1 ln 2 f x f x x x     ，则  1f   . 【答案】 1 2 /0.5 【解】     13 1 2f x f x x     ，故    1 3 1 2 1f f   ，故   11 2 f   ，故答案为： 12 14、已知函数   2lnf x x x ax   有两个极值点 ,m n，且 1 ,1 2 m      ，则    f m f n 的取值范围是 【答案】 3 3ln 2 ,0 0, ln 2 4 4            【解】∵   2lnf x x x ax   ，∴   21 2 12 x axf x x a x x       ， ∴ ,m n为方程 22 1 0x ax   的两个根， ∴ 1 , , 2 2 amn m n m n    ，∴ 1 2, 2 2 n m m   ，   12 2a m n m m    ， 试卷第 6页，共 10页 ∴      2 2 2 2ln ln ln mf m f n m m am n n an m n a m n n                  2 2 2 2ln 2 lnm mm n m n m n m nn n         代入 1 2 n m  可得：      2 2 21ln 2 4f m f n m m m    ， 设 2t m ，∵ 1 2 2, ,1 2 2 2 m              ，∴ 1 1 1, ,1 4 2 2 t           ， 设   1ln 2 4 g t t t t    ，则     2 2 2 2 11 11 0 4 4 t g t t t t        ， ∴  g t 在 1 1 1, , ,1 4 2 2           上单调递减， ∵  1 3 3 1ln 2, 1 ln 2 , 0 4 4 4 2 g g g               ， ∴   3 3ln 2 ,0 0, ln 2 4 4 g t             ，即    f m f n 的取值范围是 3 3ln 2 ,0 0, ln 2 4 4            . 故答案为： 3 3ln 2 ,0 0, ln 2 4 4            . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15、数列 na 满足 1 1a  ，  * 1 1 1 1 2 2n n n a a    N ． (1)求证：数列 1 na       是等差数列； (2)求数列 na 的通项公式． 【解】（1）由 1 1 1 1 2 2n na a   ，可得 1 1 1 2 n na a   ， 数列 1 na       是以 1 1 1 a = 为首项，2 为公差的等差数列； （2）由（1）知   1 1 1 2 2 1 n n n a       ， 1 2 1n a n    ． 16（15分）已知函数 f(x)＝1 2 x2＋aln x. (1)若 a＝－1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若 a＝1，求函数 f(x)在[1，e]上的最大值和最小值． 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1时，f′(x)＝x－1 x ＝ x＋1x－1 x ， 试卷第 7页，共 10页 令 f′(x)＝0，得 x＝1或 x＝－1(舍去)， 当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增， 所以 f(x)在 x＝1处取得极小值，极小值为1 2 ，无极大值． (2)当 a＝1时，易知函数 f(x)在[1，e]上单调递增， 所以 f(x)min＝f(1)＝1 2 ，f(x)max＝f(e)＝1 2 e2＋1. 17、（15 分）已知数列  na 的前 n 项和 nS 满足   *1 Nn nS na n n n    ，且 2 3a  . (1)证明数列  na 为等差数列，并求  na 的通项公式; (2)设 1 1 1 ,n n n n n n b T a a a a    为数列  nb 的前 n 项和，求使 2 5n T  成立的最小正整数 n 的值; 【解】（1）因为   *1 Nn nS na n n n    ①， 当 2n  时，     1 11 1 2n nS n a n n      ②， 由①②可得：     2 11 1 2n n na na n n n a n n        ， 化简可得      11 1 2 1n nn a n a n n     ， 2n  ，即 1 2n na a   ， 2n  ， 又 2 3a  ，当 2n  时， 2 1 2 22 2S a a a    ，解得 1 1a  ， 所以数列 na 是以1为首项， 2为公差的等差数列，且  1 1 2 2 1na n n      . （2）  1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n b a a a a a a a a                   1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a                        1 1 2 1 2 1 1 1 1 22 2 1 2 12 2 1 2 1 n n n n a a a na n n nn n                  ， 则 1 2 3n nT b b b b     1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 3 5 5 7 2 1 2 1n n                1 11 2 2 1n       ， 由 2 5n T  可得 1 1 21 2 52 1n       ，化简可得 2 1 5n   ，解得 12n  ， 试卷第 8页，共 10页 所以使 2 5n T  成立的最小正整数 n的值为12 . 18、（17 分）已知函数 2( ) ln 3 ( )f x x ax x a R    . （1）若函数 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 = 2y  ，求函数 ( )f x 的极值； （2）若 1a  ，对于任意 1 2, [1,10]x x  ，当 1 2x x 时，不等式      2 1 1 2 1 2 m x x f x f x x x    恒成立， 求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意得函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1( ) 2 3f x ax x     由函数 ( )f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 = 2y  ，得 (1) 1 2 3 0f a     ，解得 1a  此时 2( ) ln 3f x x x x   ， 21 2 3 1( ) 2 3 x xf x x x x       . 令 ( ) 0f x  ，得 1x  或 1 2 x  . 当 10, 2 x      和 (1, )x  时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增， 当 1 ,1 2 x      时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减， 则当 1x  时，函数 ( )f x 取得极小值，为 (1) ln1 1 3 2f      ， 当 1 2 x  时，函数 ( )f x 取得极大值，为 1 1 1 3 5ln ln 2 2 2 4 2 4 f            . （2）由 1a  得 2( ) ln 3f x x x x   . 不等式      2 11 2 1 2 m x x f x f x x x    可变形为    1 2 1 2 m mf x f x x x    ， 即    1 2 1 2 m mf x f x x x    因为 1 2, [1,10]x x  ，且 1 2x x ，所以函数 ( ) my f x x   在 [1,10]上单 调递减. 令 2( ) ( ) ln 3 , [1,10]m mh x f x x x x x x x        ，则 2 1( ) 2 3 0mh x x x x       在 [1,10]x 上 恒成立，即 3 22 3m x x x   在 [1,10]x 上恒成立 试卷第 9页，共 10页 设 3 2( ) 2 3F x x x x    ，则 2 2 1 1( ) 6 6 1 6 2 2 F x x x x             . 因为当 [1,10]x 时， ( ) 0F x  ，所以函数 ( )F x 在[1,10]上单调递减，所以 3 2 min( ) (10) 2 10 3 10 10 1710F x F         ，所以 1710m  ，即实数m的取值范围为 ( , 1710]  . 19、（17分）已知 aR，函数 1( ) ex xf x a   ． (1)若 2a  ，求 ( )y f x 的单调区间； (2)是否存在实数 a，使得 ( )y f x 与 ln( ) a xg x x   有相同的最大值？若存在，求出 a的值；若不存在， 请说明理由； (3)已知 1a  ，直线 y b 与两条曲线 ( )y f x 和 1 ln xy x   共有四个不同的交点，其横坐标分别为  1 2 3 4 1 2 3 4x x x x x x x x  、 、 、 ，证明： 1 4 2 3x x x x ． 【解】（1） 2a  ，则函数 1( ) 2ex xf x  ，   1 1 2 11 1 e e 1 1( ) 2 2 ee x x xx x xf x           ，令 ( ) 0f x  ，则 1x  ； 当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (1, ) 上单调递减， 当 ( ,1)x   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( ,1) 上单调递增. 所以函数  f x 的单调增区间： ( ,1) ；单调减区间： (1, ) ； （2）函数 1( ) ex xf x a   ，则   1 1 2 11 1 e e 1 1( ) ee x x xx x xf x a a           ， 由（1）可知， 1 1 ex x   的单调性为：在 (1, ) 上单调递减，在 ( ,1) 上单调递增. 要使 ( )f x 有最大值，则 0a  ， 所以 max 1( ) (1)f x f a   ． 2 (ln 1)( ) x ag x x     ，当  10,e ax  时， ( ) 0, ( )g x g x 单调递增， 当  1e ,ax   时， ( ) 0, ( )g x g x 单调递减， 所以  1max 11( ) e e a ag x g    ．所以 1 1 1 e aa   ，则 1e 0a a   ． 试卷第 10页，共 10页 令  1( ) e , 0aF a a a   ， 1 0( ) e aF a     ， 此函数在 (0, )a  上单调递减，且 (1) 0F  ，所以 1a  ． （3）证明：由 ( ), ( )f x g x 的单调性，可知 1 2 3 41xx x x    ． 又当 1x  时， ( ), ( ) (0,1)f x g x  知 (0,1)b ，从而 1 2 3 40 1x x x x     ． 1 ln 1 1 ln 1 ln( ) (1 ln ) e x x xg x f x x         ． 设 ( ) (1 ln )m x x x   ， 0x  ，则 1 1( ) 1 xm x x x     ， 所以当 (1, )x  时， ( ) 0, ( )m x m x  单调递增； 当 (0,1)x 时， ( ) 0, ( )m x m x  单调递减， 所以    1 0m x m  ，即当 1x  时， 1 lnx x  ， 所以当 (0,1)x 时， ( ) (1 ln ) ( )(*)f x f x g x   ， 当 (1, )x  时，  ( ) (1 ln ) ( ) **f x f x g x   ． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断 1 2,x x 是 y b 与哪个函数图象交点的横坐标． 如果    2 1f x g x ，那么由（*）知    1 1g x f x ，从而    2 1f x f x ． 根据 ( )f x 的单调性，得 2 1x x ，矛盾， 所以应有    1 2f x g x ，即    1 21 lnf x f x  ． 由 1 21,1 ln 1x x   ，得 1 21 lnx x  ． 如果    4 3f x g x ，那么由（**）知    3 3g x f x ，从而    4 3f x f x ． 根据 ( )f x 的单调性，得 4 3x x ，矛盾， 所以应有    3 4f x g x ，即    3 41 lnf x f x  ． 由 43 1,1 ln 1x x   ，得 3 41 lnx x  ． 由上可知        1 2 3 4f x g x f x g x b    ，要证 1 4 2 3x x x x ，即证 31 2 4 xx x x ， 则 2 4 2 4 1 ln 1 lnx x x x    ，又    2 4g x g x ，成立，证毕． 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 蜀光中学高二下3月月考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. D. 2、.在等比数列｛an｝中，a1，a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a50的值为（　　） A.10 B.16 C.±4 D.4 3、函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 4、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　) A.(87－8)人 B.(89－8)人 C.人 D.人 5、函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 6、函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7、若已知等差数列的公差为2, 前n项和为,且,,成等比数列. 令,则数列的前50项和( ) A. B. C. D. 8、设，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9、下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 10、设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 11、已知函数有两个极值点,则( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为 . 13、数列满足，（），则_________. 14、已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15、（本小题满分13分） 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 16（本小题满分15分） 已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0. (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程． 17、（本小题满分15分） 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 18、（本小题满分17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 19、（本小题满分17分） 已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等差数列中,,,则( ) A.5 B.7 C.8 D.10 2.设函数f(x)＝ax3＋b，若f′(－1)＝3，则a的值为(　　) A．－1 B. C．1 D. 3.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4.在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A. B．3 C．± D．±3 5.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6．点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）． A. B. C. 2 D. 7、在数列中,若,且对任意的有,则数列前10项的和为( ) A. B. C. D. 8、若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分。 9、定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 10、若函数，则满足的的取值范围可能为（　　） A．    B． C． D． 11、已知数列,均为递增数列, 它们的前n项和分别为, , 且满足, ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知数列是单调递增的等比数列，是其前项和.若，，则 . 13、已知函数，则 . 14、已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15、数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 16（15分）已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值． 17、（15分）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式; (2)设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值; 18、（17分）已知函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19、（17分）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蜀光中学高2023级高二下学期3月考试 数 学 试 题 双向细目表 考试范围：选择性必修二全部 难度系数预估：0.53左右 双向细目表： 题号 题型 分值 考查要点 难易程度 易 中 难 1 单选题 5 导数的定义 √ 2 单选题 5 等比数列性质 √ 3 单选题 5 导数的几何意义 √ 4 单选题 5 等比数列的和 √ 5 单选题 5 函数的单调性 √ 6 单选题 5 函数图像 √ 7 单选题 5 数列求和 √ 8 单选题 5 比较数的大小 √ 9 多选题 6 导数运算 √ 10 多选题 6 等差数列综合 √ 11 多选题 6 函数的极值 √ 12 填空题 5 函数的切线 √ 13 填空题 5 数列的周期性规律应用 √ 14 填空题 5 函数零点 √ 15 解答题 13 等差数列通项公式和和 √ 16 解答题 15 函数的切线 √ 17 解答题 15 数列综合应用 √ 18 解答题 17 函数中的双变量及恒成立问题 √ 19 解答题 17 函数综合应用 √ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. D. 【解】A 因为函数在处的导数为1，根据导数的定义可知. 2、.在等比数列｛an｝中，a1，a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a50的值为（　　） A.10 B.16 C.±4 D.4 【解析】C 3、函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【解】由函数的图像可知，当时，单调递增，，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， .故选：A. 4、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　) A.(87－8)人 B.(89－8)人 C.人 D.人 答案　D解:由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝人． 5、函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 【解】B ，的定义域为，由，得， ∴的单调递增区间为． 6、函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【解】C 由函数的定义域为，且，所以函数偶函数，当时，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 7、若已知等差数列的公差为2, 前n项和为,且,,成等比数列. 令,则数列的前50项和( ) A. B. C. D. 答案：D解析：因为,,, 由题意得, 解得, 所以, 则, 则 .故选：D. 8、设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】方法一：构造法设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，又， 所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C. 方法二：比较法解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分。 9、下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 答案：BD 解析：,故A不正确; ,故B正确; ,故C不正确; ,故D正确.故选:BD. 10、设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【解】A：因为，所以，所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，，故D正确；故选：BCD. 11、已知函数有两个极值点,则( ) A. B. C. D. 答案：ACD解析：A选项,定义为R,且, 由题意得有两个变号零点,令,即有两个不同的根, 令,则,当时,,当时,, 故在上单调递增,在上单调递减, 所以在处取得极大值,也是最大值,且, 又当时,,当时,,画出的图象,如下, 故,A正确; B选项,由A选项可知,,且,故,B错误; C选项,由A选项可知,,且, ,C正确; D选项,设,,则 , 因为,所以,,则,故, 故在上单调递增, 又,而,故,即, 又,所以,其中,, 而由A选项可知,在上单调递减,所以,即,D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为 .【答案】3 【解】函数的导函数为，故函数在处的切线的斜率为.∵直线的斜率为，切线与直线垂直，所以，解得.故答案为：3. 13、数列满足，（），则_________. 答案：解：，，，，……， 由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，所以. 14、已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】【解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.所以时，. 画出函数的图象，如图所示：函数有两个零点等价于的图象有两个交点，，由图可知或.所以m的取值范围为.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15、（13分）等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 【解】（1）设首项为，公差为， 因为等差数列满足，，所以，解得， 所以； （2）因为当时，，当时，，所以的最大值为， 因为，所以. 16（15分）已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0. (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程． 解　(1)f′(x)＝＋2x， 因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)， 所以即解得 (2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝＝x， 故切线方程为y－－＝x(x－x0)． 由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，∴切点为(2,4)或(－1,1)， 则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 17、（15分）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【解】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，，解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为，所以，， 两式相减有， 所以. 18、（17分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【解】（1）由题意得． 当时，由，得，所以当时，；当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得，所以当时，；当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立，即，恒成立． 令，则． 令，得，所以当时，； 当时，，即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，因此． 故实数m的取值范围是． 19、（17分）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【解】（1）当时，， 由，所以.故单调递增区间为. （2）（ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即，有，，即.所以的取值范围为：. （ⅱ） 令则． 令，则，则在上单调递减， 又 故存在，使，即，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故，即. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$20242025学年度蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤审题：岳雄林 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效， 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1、如果函数y=f(x)在x=2处的导数为1，那么li f(△x+2-f(2-（) Ar-0 △x 1 A1 8 2 3 D. 【解】A因为函数y=f(x)在x=2处的导数为1，根据导数的定义可知i fAx+2)-f2）=1. △x+0 △x+2-2 2、,在等比数列{a}中，a1,a是方程x2-10r+16-0的两个根，则ao的值为() A10 B.16 C.+4 D.4 【解析】C =x) 3、函数f()的图像如图所示，下列数值排序正确的是() A.f'(1)>f"(2)>f(3)>0B.f(1)<f(2)<f'(3)<0 可23方 C.0<f'I)<f(2)<f(3)D.f')>f"(2)>0>f'(3) 【答案】A【解】由函数f(x)的图像可知，当x≥0时，f(x)单调递增，·f(1)>0,∫(2)>0，f(3)>0 :随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， f'(1)>'(2)>f'(3)>0.故选：A 4、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八 阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则该 试卷第1页，共9页 问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( A18-8人 Bg-8人c8+8-8人 D 答案D解：由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8， 公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8十8+8+g+8+g=8+81-8的 1-8 8+8-8)人 5、函数f(x)=x-2nr的单调递增区间是() A.（-0,0)和(0,2)B.(2,+m) C.(-0,2)】 D.(0,2) 【解1Bf的=1-2=二2，f(x)的定义域为(0，m),由f(x)>0,得x>2, ∴.x)的单调递增区间为(2，+∞) 6、函数f(x)=e州-3-1的图象大致为() 【解】c由函数f(x)=e-3x-1的定义域为R,且f(-x)=e-3x-1=e-3x1=f(x) 所以函数f(x)为偶函数，当x∈(0，+o)时，f(x)=e-3x-1,则f'(x)=e-3, 当x∈(0，n3)时，f'(x)<0;当xe(n3,+o)时，"(x)>0, 所以f(x)在(0，ln3)上单调递减，在(n3,+o)上单调递增. 7若已知等差数列{a,}的公差为2，前n项和为S,且S,S,S,成等比数列.令b,= 一，则数列 ad {也.}的前50项和T0=() 50 49 0 A5) B.- c100 D. 50 101 101 答案0解折：因为8=4.8=24+2x2=24+2,3= 4×3 ×2=4a+12, 2 由题意得(24+2=4(4a+12),解得4=1，所以a.=21-1, 试卷第2页，共9页 -am以2西点） 1 99101101 故选：D. 8设a=01e,b=gc=-ha9,则（) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【答案】C 【解1方法：将造法设/阳=0+->0，因为fo)=1=产 1+x 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,当x∈(0，+o)时f'(x)<0, 所以函数f(x)=ln1+x)-x在(0，+n)单调递减，在(-1,0)上单调递增， gg<0,故；>n 所以f分<f0)=0,所以n”1 10 0=-n0.9,即b>c, 9 9 所以心启<0-0，所以h品0，故品<e立，所以<分故a<b, 1010 10 设)=xc+h0-90<<),则g国=(e+号-任-e+1 x-1x-1 令h(x)=e(x2-1)+1,i(x)=e(x2+2r-1), 当0<x<√2-1时，x)<0,函数(x)=e(x2-1)1单调递减， 当√互-1<x<1时，h(x)>0,函数h(x)=e(x2-1)+1单调递增，又h(o)=0, 所以当0<x<√2-1时，h(x)<0,所以当0<x<√2-1时，g'()>0,函数gx)=xe+n0-)单调递 增，所以g(01)>g(0)=0,即0.1e1>-n0.9,所以a>c故选：C 方法二：比较法解：a=06,6。c=0-0, ①血a-lhb=0.1+血0-0.1)，令fx)=x+ln1-x),x∈(0,0.1， 则心=1产0，故在Q0上单调遮减， 可得f0.)<f(o)=0,即na-lnb<0,所以a<b: ②a-c=0.1e+m0-0.1)，令g(x)=xe+h0-x).xe(0,0.. 则8'(y)=e+e-1=1+0-e-1 1-x1-x 令(x)=1+x1-x)e-1,所以'()=0-x2-2xe>0, 试卷第3页，共9页 所以k(x)在(00.刂上单调递增，可得()>k(0)>0,即g(x)>0, 所以g(x)在(0,0.刂上单调递增，可得g(0,1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.故c<a<b. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分。 9、下列求导运算正确的是() A(am2刘j-2m2xaog:j=2csj=5bg,x(rcasj=2ros-fimx 答案：BD 解析：(tan2x= sin2x 2cos22x+21n22x-2,故A不正确； cos2x cos2x cos22x og:=放B正确， (5)=5h5,故c不正确， xln 2 (x2cosx=2 xCOS.X-x2sinx,故D正确故选：BD, 10、设{a}是等差数列，S,是其前n项的和且S,<S,S。=S,>S,则下面结论正确的是() A.d≤0 B.a=0 C.S与S均为Sn的最大值 D.满足S,<0的n的最小值为14 【答案】BCD 【解】A:因为S=S,>S,所以S,-S。=a=0,Sg-S,=a<0,所以d=a-a<0,故A错误： B:由A的解析可得B正确： C:因为S,<S。,S。=S,>S,所以S。与S,均为S的最大值，故C正确： 0:因为2a,=4+4,由S,-1B6,+al-0,S.4*al=7a,+a)<0,故D正确；故选：BcD. 2 2 1、已知函数f(x)=ae-】(a∈R)有两个极值点x(任<5)则) A0<a日 B.f(x)> cs水月 D.x+x2>2 答案：AC心解折：A选项=ae-式定义为我且f(=E- 由题意得f(x)=ae-x有两个变号零点，令ae'-x=0,即a=X有两个不同的根。 令g言则g)=号当x<1时g>0,当x>1时.g(<0, 故g(y)=二在(-o,1)上单调递增，在(L+o)上单调递减 试卷第4页，共9页 所以g()-。二在x=1处取得极大值，也是最大位，且g) 又当x<0时，g(x)=言<0，当x>0时8(x)=>0画出g()=芒的图象，如下。 e 故0<a<LA正确： e B选项由A选项可知ae=且(0)故f儿6)=ae-方式=式=片-+片分8 错误 C选项，由A选项可知，ae=X2,且x,∈(1，+o), f)）=号式=x式=x-1+片正施 D选项，设G(x)=g(x)-g(2-x),x∈(0，川，则 G(=g(x)+g(2-x)=1-+x-1_(x-1e-e) e2- e 因为x∈(0,1)所以x-1≤0，x<2-x,则e-e2<0故G(x)=(x-1)(e-2-e)>0, 故G(x)=g(x)-g(2-x)在x∈(0,1】上单调递增， 又G(1)=g(1)-g(2-1)=0,而x∈(0,1)故G(x)=g(x)g(2-x)<0,即g(:)<g(2-x) 又g(x)=g(x),所以g(x)<g(2-x),其中x∈(1，+∞)，2-x∈(1,2)， 而由A选项可知，g)=。二在(L+0)上单调递减所以x>2-x即飞十5>2，D正确 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知函数y=anx-x+1的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则实数a的值为 【答案】3 【解】函数y=alhx-x+1的导函数为y=a-1,故函数y=alnx-x+1在x=1处的切线的斜率为 儿=a-1:直线x+2-1=0的斜率为分切线与直线x+2y-1=0垂直，所以a-习-1，解 得a=3.故答案为：3. 试卷第5页，共9页 3.数别}满起4=-1.aa(meN,则a。 11 1 答案：-1解：4=-1,44方614 1=-1,… =2,a=1-4 由以上可知，数列{a}是一个循环数列，每三个一循环，所以4=4=-1. [x3+3x2-2,x≤0， 14、已知f(x)= 若函数g(x)=∫()-m有两个零点，则m的取值范围为 【答案1(m,-2小很2【解1当s0时.=+3r-2,则/倒=3x2+6r=3x(42. 当xe(-m,-2)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增： 当x∈(-2,0)时，f(x)<0,函数f(x)单调递减 所以x≤0时，f(x)=f(2)=(-2}'+3×(2°-2=2 当0时，).则/()-，当e0e)时，了0，函数单调递棉： 当xe(e,+时，∫"（水0，函数f)单调递减所以x>0时，了）=f@)=血e= e 画出函数f(x)的图象，如图所示：函数g(x)=∫()-m有两个零点等价于 y=m y=∫(x),y=m的图象有两个交点，由图可知m<-2或二<m<2.所以m的取值范 =x) 国为(-m-22故答案为：(m-2怎2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15、(13分)等差数列{a}满足a,=11,a,=2,前n项和为Sn (1)求数列{a}的通项公式： (2)求S的最大值 【解】(1)设首项为4，公差为d, a+3d=11 a=20 因为等差数列{a}满足4，=11，a=2,所以 (9+6d=2'解得 d=-31 所以4.=20-3(1-1)=23-3n: 试卷第6页，共9页 (2)因为当n≤7时，an=23-31>0,当n≥8时，a=23-3n<0,所以Sn的最大值为S, 因为4=23-3x7=2,所以3，=20+2 7=77. 2 16(15分)已知函数x)=dnx十x2一3b,曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程为2x+y一4=0. (1)求实数a,b的值： (②诺曲线C:)=一分-40，求曲线c过点亿的切线方程， 解1f)=a+2x, 因为直线2x十y-4=0的斜率为一2，且过点(1,2)， a=-4, 1)=2, 1-3b=2, 所以 即 f1)=-2, a+2=-2, 解得b=-1 3 ②0加y一十号则y=设切点为，对则切线率=儿，=8 故切线方程为y一用_4=（一。 33 由切线过点(2,4)，代入可解得xo=2或x0=一1，∴.切点为(2,4)或(-1,1)， 则切线方程为4x一y一4=0或x一y十2=0 17、(15分)已知等比数列{a}的公比g>1,4+4+4=14,4+1是a,4的等差中项.等差数列{亿}满 足2b=a,b,=4 (1)求数列{a},b}的通项公式： (2)ca= (neN'),求数列c,}的前n项和， a 4+a,+a=14 a+ag+ag =14 【解】(1)依影有 12(a+)=a+a2(a9+1)=a+ad' 因为9>1，解得：4=2,9=2，a=2" [2b=4 6+3d=8°解得： 6=2 数列{b}是等差数列，设其公差为d, d=26=2n (2)数列{Cn}的前项和记为S,则S=G,+C+cn, 因为=么= 1.2 a2了·所以S=2。+++名， 229= 1.2 n 试卷第7页，共9页 1 11 1 n 11 两式相减有二S,=1+ 2++ 22=1+ 2+2+…+ 2-2 -2、0+2 20 所以8=4-”+2 21, 3a2 18、(17分)己知函数f(x)=alnx+x+ 4 r(ax0). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)设g(x)=2x2-e +5+子当a=时，对任意的5eL利，总存在5lg,使g6)sf化， e2,1 求实数m的取值范围. 【解11)由愿意得f付=+3女-+6@x-2四(x>0). x 4 x 4r2 当a>0时，由f(x)=0,得x=2a,所以当0<x<2a时，f(x)<0:当x>2a时，f'(r)>0, 因此，当a>0时，函数f(x)在(0,2a）上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增. 当a<0时，由f"(x)=0,得x=-6a,所以当0<x<-6a时，f"(x)<0:当x>-6a时，f'(x)>0, 因此，当a<0时，函数f(x)在(0，-6a上单调递减，在(-6a,+o)上单调递增. (2)当a=-时，由知，函数f()在d上单调递减，所以当xeL,d时，f(=f0=2+年' e I 6 对任盒的气单小鱼存在气印小，使8代)s)等价于际小g)号+度立。 则%e,4,2x-me≤0恒成立，即se[L,4,m≥2￡恒成立. e 令=20≤≤则)-2.2-2 e e 令(x)=0,得x=2,所以当1≤x≤2时，H(x)≥0： 当2≤x≤4时，1(x)≤0，即(x)在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减， 所以当x时，)=2)-号，因先m 8 ex. 故实数m的取值范围是 19、(17分)已知函数f(x)=-e2+6e--2. (1)当a=4时，求f()的单调递增区间； (2)若f()有两个极值点，x2· (1)求a的取值范围： 试卷第8页，共9页 （i)证明：f)+f)++<2 3 【解】(1)当a=4时，f'(x)=-2e2“+6e-4=-2(e-1)(e-2), 由f"(x)>0→1<e<2,所以0<x<h2.故f(x)单调递增区间为(0，ln2). (2)(i)f(x)=-2e+6e-a,令t=e,即f'(t)=-2r+t-a 令4=e,12=e,则，42是方程-22+6t-a=0的两个正根， 则△=36-8a>0,即a<号有+=3，华=号0，即0<a<号所以a的取值范围为： (i)f(x)+f(x)+x+x=-e+6e-a匹-2+(-e+6e-a匹-2)+x+x =-(G+)+66+4)+0-a(+,)4=-[G+)'-24,]+66+)+(1-ah(4,)-4 -[-2号63-}-4a+5+0-aobg 令gt=+5+a-9h0<到则ge)=1-+0-xh好 xx 2 令士吃则)-子士0，则ge在到 上单调递减， 又g2)-0geh0 故存在e2)使g=0,即-h字则当eQx)时，g0,当（别时，g)0, 故)在Qx)上单调莲增，8)在)上单调递减 则g创sx+5+0-加子+5-片+4， 又e(2到，故8)=+长片4=号，即64)+ 2 x。 3 试卷第9页，共9页 蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等差数列中,,,则( ) A.5 B.7 C.8 D.10 答案：B 解：设等差数列的公差为d,则,解得,,因此,. 故选：B. 2.设函数f(x)＝ax3＋b，若f′(－1)＝3，则a的值为(　　) A．－1 B. C．1 D. 答案　C 解　∵f′(x)＝3ax2 ，∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1. 3.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－ . 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x， 则有a－1＝2，所以a＝3. 4.在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A. B．3 C．± D．±3 答案　B 解　因为a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，所以a1a13＝9，a1＋a13＝13，所以a1>0，a13>0， 又{an}为等比数列，则a7＝a1q6>0，又a1a13＝a2a12＝a＝9，所以a7＝3或a7＝－3(舍去)，所以＝a7＝3. 5.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由图象可知，在区间上， 在区间上，所以不等式的解集为. 6．点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）． A. B. C. 2 D. 【解】A ∵，设为所求的点，则 得，，则点P到直线的最小距离为． 7、在数列中,若,且对任意的有,则数列前10项的和为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析： ,则. ,., . , ,则.故选：A. 8、若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解】根据题意，若，则. 设.所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分。 9、定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD. 10、若函数，则满足的的取值范围可能为（　　） A．    B． C． D． 【答案】BD 【解】∵，定义域为， ∴，∴为上的奇函数. ∵，当且仅当，即时，等号成立. ∵时，， ∴恒成立，即为上的增函数. 由得， ∴，解得或，即的取值范围为.故选：BD. 11、已知数列,均为递增数列, 它们的前n项和分别为, , 且满足, ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 答案：ACD 解析：由是递增数列,得; 又,所以,所以,所以,故选项A正确; ,故B不正确; 由是递增数列,得,又,所以, 所以,所以,故选项C正确; 所以, 所以,又,所以, 而, 当时,;当时,可验证, 所以对于任意的,,故选项D正确.故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知数列是单调递增的等比数列，是其前项和.若，，则 . 【答案】 【解】：数列为等比数列，，所以由等比数列性质可得， 又，所以，是一元二次方程的两根，即， 令等比数列的公比为，由，的值，易求. 故，所以.故答案为：. 13、已知函数，则 . 【答案】/0.5 【解】，故，故，故答案为： 14、已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是 【答案】 【解】∵，∴， ∴为方程的两个根， ∴，∴，， ∴ 代入可得：， 设，∵，∴， 设，则， ∴在上单调递减， ∵， ∴ ，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15、数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 16（15分）已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值． 解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时，f′(x)＝x－＝， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为，无极大值． (2)当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1. 17、（15分）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式; (2)设 为数列 的前 项和，求使 成立的最小正整数 的值; 【解】（1）因为①， 当时，②， 由①②可得：， 化简可得，，即，， 又，当时，，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且. （2） ， 则， 由可得，化简可得，解得， 所以使成立的最小正整数的值为. 18、（17分）已知函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得函数的定义域为， 由函数在点处的切线方程为，得，解得 此时，. 令，得或. 当和时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，， 当时，函数取得极大值，为. （2）由得. 不等式可变形， 即因为，且，所以函数在上单调递减. 令，则在上恒成立，即在上恒成立 设，则. 因为当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为. 19、（17分）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【解】（1），则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 所以函数的单调增区间：；单调减区间：； （2）函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． （3）证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$