精品解析：广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试题

2025年春季高一3月质量检测卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第七章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 2， B. 2，－5 C. －2， D. －2，5 2. 若向量，且，则（ ） A 28 B. C. D. 3. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则的面积是（ ） A B. 7 C. D. 5. 已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，且，，，则与夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 8. 已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（ ） A. B. 9 C. D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若z是纯虚数，则 B. 若z是实数，则 C. 若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D. 若，则或 10. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D 11. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且，，则（ ） A. A取值范围为 B. a的取值范围为 C. ac的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则______． 13. 已知向量，且，，则的最小值是______． 14. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，． （1）证明：A，C，D三点共线． （2）若，求． 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）证明：是等腰三角形． （2）若，，求的周长． 17. 已知向量，满足，． （1）若向量，的夹角为，求的值； （2）若向量，的夹角为，求的值； （3）若，求向量的坐标． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，求外接圆的面积； （3）若，求面积的最大值． 19. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，点E满足，AE与BD相交于点F，G是线段CD上的动点． （1）用与表示； （2）求； （3）设，求xy的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季高一3月质量检测卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第七章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 2， B. 2，－5 C. －2， D. －2，5 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的实部与虚部的定义，即可得到结果. 【详解】复数的实部是，虚部是. 故选：B 2. 若向量，且，则（ ） A. 28 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 故选：D. 3. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合投影向量的定义运算求解即可. 【详解】因，且， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则的面积是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出的值，再结合同角三角函数的基本关系求出的值，最后根据三角形面积公式求解的面积. 【详解】在中，根据余弦定理，可得：， 又因为，且，所以. 将代入得：，解得.  因为是三角形内角，即，所以. 已知，则.  可得： . 故选：C. 5. 已知E，F分别是平行四边形ABCD边BC和CD的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为一组基底，根据向量的线性运算求，即可得. 【详解】由题意可得： ， 又因为，即， 所以. 故选：B. 6. 已知平面上三个力，，作用于一点，处于平衡状态，且，，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平衡状态得出，再根据模长及数量积公式计算求解. 【详解】因为平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，所以， 所以，且，，， 设与夹角为， 由， 所以. 故选：A. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理求解判断. 【详解】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且， 由正弦定理得，设， 由余弦定理得， 所以为钝角，所以的形状是钝角三角形. 故选：A. 8. 已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先将进行转化为模长和投影乘积，再结合几何图形的性质求出其最大值. 【详解】设与的夹角为，根据向量数量积的定义可得.要使最大，只需要，也就是在方向的投影最大，如图所示，D为圆O上一动点(如等位置)， 过点作于点，则，所以. 已知，则. 最大即可.此时,且切于圆. 过点作于点，此时的最大值为（为圆的半径）. 将的最大值代入，可得的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若z是纯虚数，则 B. 若z是实数，则 C. 若，则z在复平面内所对应的点位于第四象限 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：根据复数的定义运算求解；对于C：根据复数的几何意义分析判断；对于D：分析可知z是实数，结合选项B分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若z是纯虚数，则，解得，故A正确； 对于选项B：若z是实数，则，解得或，故B错误； 对于选项C：若，则， 所以复数z在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于选项D：若，可知z实数， 由选项B可知或，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 11. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且，，则（ ） A. A的取值范围为 B. a的取值范围为 C. ac的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据锐角三角形分析求解即可；对于B：利用正弦定理可得，即可得取值范围；对于C：利用三角恒等变换可得，即可得取值范围；对于D：利用三角恒等变换可得，即可得取值范围. 【详解】对于选项A：因为为锐角三角形，， 则，解得， 所以A的取值范围为，故A正确； 对于选项B：由正弦定理， 可得， 因为，则，可得， 所以a的取值范围为，故B正确； 对于选项C：由选项B可得 ， 因为，则， 可得，， 所以ac的取值范围为，故C错误； 对于选项D：由选项B可知， 因为，则， 可得，， 所以的取值范围为，故D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数，则. 故答案为： 13. 已知向量，且，，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】先设出向量、的坐标，再根据已知条件得出向量坐标之间的关系，最后根据向量模的计算公式求解的最小值. 【详解】设，. 已知，，. 可得，. 所以，. 可得.  根据模长公式，可得. 因为，当且仅当时，. 所以，即的最小值是. 故答案为：5. 14. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，） 【答案】5 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理解得，进而在中运算求解即可. 【详解】在中，因为， 由余弦定理可得， 即， 在中，可得， 所以卧牛雕像的高度m. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，． （1）证明：A，C，D三点共线． （2）若，求． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示可知，即可得结果； （2）根据题意结合向量的坐标运算求，即可得模长. 【小问1详解】 因为，，，， 则， 可知，即共线， 所以A，C，D三点共线. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 所以. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）证明：是等腰三角形． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，正弦二倍角公式，以及余弦函数的单调性可得； （2）由诱导公式和同角的三角函数关系可得，再由正弦定理和两角和的正弦公式可得，最后求周长即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理边化角可得， 由二倍角公式展开式可得， 因为中，，， 所以， 所以， 又在上是单调函数， 所以，即是等腰三角形. 【小问2详解】 ， 所以，由同角的三角函数可得， 又，所以， 由正弦定理可得， 又， 所以，即， 所以的周长为. 17. 已知向量，满足，． （1）若向量，的夹角为，求的值； （2）若向量，的夹角为，求的值； （3）若，求向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合数量积的运算量运算求解； （2）根据模长的平方关系结合数量积的运算量运算求解； （3）设，结合模长的坐标运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：，， 若向量，的夹角为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：，，， 可得， 所以. 【小问3详解】 若，且，可设， 又因为，可得， 所以向量的坐标为或. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，求外接圆的面积； （3）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式可得，结合正、余弦定理运算求解； （2）利用正弦定理求外接圆半径，进而可得面积； （3）利用余弦定理整理可得，结合基本不等式可得，即可得面积最值. 【小问1详解】 因为， 整理可得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知的外接圆半径， 所以外接圆的面积为. 【小问3详解】 因为， 由余弦定理可得， 可得， 由（1）可得，即， 整理可得， 且，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 则 所以面积的最大值为. 19. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，点E满足，AE与BD相交于点F，G是线段CD上的动点． （1）用与表示； （2）求； （3）设，求xy的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合向量的基底表示，即可得到结果； （2）根据题意，由共线以及共线，设出向量共线，代入计算，即可得到结果； （3）先将用表示，然后根据向量相等列出方程，从而得到的表达式，再由换元法结合二次函数的性质代入计算，即可得到结果. 小问1详解】 因为，则， 又，又，且， 所以， 则， 则， 所以. 【小问2详解】 因为共线，则存在实数，使得， 又因为共线，则存在实数，使得 ， 所以，解得，所以. 【小问3详解】 因为，， 设，则， 因为， 即， 所以，解得， 所以， 令，，则，， ， 令，则，其中， 其对称轴为，开口向下， 当时，，当时，， 所以xy的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$