专题02 第5章 导数在研究函数中的作用（5考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

清单02 第5章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题单调性讨论 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求得的值. （2）由（1）求出导函数大于0的不等式的解集即可得解. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与平行，得 即，解得，此时，点不在直线上， 所以. （2）由（1）知，其定义域为，， 由，即，解得， 所以的单调增区间是. 【变式1-1】.（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式1-2】.（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 【变式1-3】.（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点（即导数的零点）． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，由题设可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式； （2）求出函数的导数，根据导数的符号可判断函数的单调性. 【详解】（1），故， 因为为函数的一个驻点，故， 故，故. 而，故， 所以. （2）由（1）可得，故， 当或时，，当时，， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式1-4】.（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调递减区间为. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【详解】（1），则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为． 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意可得在上恒成立，从而可求出的取值范围 【详解】由，得， 因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式2-1】.（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题. 【详解】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】.（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 【变式2-3】.（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】； 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0,再利用分离参变量来研究不等式恒成立，就可解得结果. 【详解】由可得：， 由在上为减函数，可得在上恒有， 即，整理得：， 因为，所以，则. 故答案为：. 【变式2-4】.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上单调递增得到当时，恒成立，然后求的范围即可. 【详解】， 因为在上单调递增，所以当时，恒成立，整理得，即，所以. 故答案为：. 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意可知在上有解，整理可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得， 所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是. 故选：C． 【变式3-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 【变式3-2】.（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调递减区间. （2）求出函数的导数，再将问题转化为在上有解即可. 【详解】（1）当时，的定义域为， 求导得，由，得， 所以的单减区间为. （2）函数，求导得， 由函数在上存在减区间，得，使得成立， 即，使得成立，函数在上单调递增， ，则，解得， 所以的取值范围为. 【变式3-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将题意转化为当时，有解，即有解，求出即可得出答案. 【详解】因为，所以， 若在上存在单调递增区间， 则当时，有解，即有解， ，即， 故的取值范围是． 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求对数函数的定义域、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，从而得到不等式，求出. 【详解】的定义域为， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故若函数在子区间上不单调，则， 解得， 故k的取值范围为 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先确定函数的定义域，求出导数，判断出函数的单调性；再根据题目信息列出不等式组求解即可. 【详解】由函数可知函数定义域为，且. 令，可得；令，可得， 即函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 因为函数在定义域内的区间上不是单调函数， 所以，解得：. 故选：B 【变式4-2】.（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象. 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 【变式5-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）    A．在处取极小值 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在上为增函数 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据图象可得的符号，进而可得的单调性和极值，逐项分析判断即可. 【详解】由导函数的图像可知：当或时，；当或时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故C、D正确； 函数在处取到极大值，在处取到极小值， 故A不正确，B正确； 故选：A. 【变式5-2】.（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解． 【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内， 导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减， 所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭， 在区间,内越来越平缓，故选项符合题意． 故选：B． 【变式5-3】.（25-26高三上·上海·单元测试）函数在其定义域内的导数存在，其图像如题图所示，记的导数为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由图像可知的单调递减区间即为不等式的解集. 【详解】由图像可知在区间和[2，3]上单调递减， 所以的解集为． 故答案为：． 【变式5-4】.（22-23高二下·上海松江·期中）函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题： ①是函数的极小值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上严格增； ④在处切线的斜率小于零. 以上所有正确命题的序号是 . 【答案】①③ 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数最值与极值的关系辨析、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】观察的图像在左右的符号即可判断①；观察的图像，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系可判断②③；利用导数的几何意义即可判断④. 【详解】有图像可知，的左侧导数值为负，右侧为正，故是函数的极小值点； 的左右两侧导数值均为正，故不是函数的最值点； 在区间导数值为正，故在区间上严格增； ，故在处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③. 故答案为：①③. 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例6】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数 (1)若在点处取得极值.求a的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)当时，函数单调递增区间为， 当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为 【知识点】根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】(1)由题意有即可求解，最后验证一下为极值点即可； (2)求导得，根据的情况分类讨论即可. 【详解】（1）由题意有函数的定义域为， 所以，因为在点处取得极值， 所以有， 所以，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以为的极小值点，有. （2）由已知有：， 当时，，所以函数在为增函数， 当时，由有，有， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以当时，函数单调递增区间为， 当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为. 【变式6-1】.（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【详解】（1）当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【变式6-2】.（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案； 【详解】（1）由，已知其定义域为， 求导可得， 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得，可得下表： 极大值 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式6-3】.（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值求参数 【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. 【详解】（1）当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. （2）因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例7】 （23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2)见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先利用导数求时的解，利用极值的概念进行判断及计算； （2）求出，对分类讨论，解不等式即可得到的单调性与极值点． 【详解】（1）当时，，定义域为 ， 令，即， （舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取到极小值为,无极大值. （2）的定义域为， ． ①当时， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． （ii）当时，对恒成立， 所以在上单调递增． （iii）当时，， 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【点睛】解题的关键点是掌握导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 【变式7-1】.（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，分，，三种情况分别讨论可得函数的单调区间； （2）由已知可得对任意的恒成立，令，求导，分类讨论，可求的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 当时，若，则，函数在上单调递增， 若时，则，函数在上单调递减， 当时，，若，则，函数在上单调递增， 若时，则，函数在上单调递减， 若时，则，函数在上单调递增， 当时，对恒成立，所以函数在上单调递增， 综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增； （2）对任意的，都有恒成立， 可得对任意的恒成立， 令， 求导得， 因为，若，即时，对恒成立， 所以，所以对任意的恒成立， 若，当，则，函数在上单调递减， 所以，故不成立， 综上所述：的取值范围为. 【变式7-2】.（24-25高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在处切线方程； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【知识点】求过一点的切线方程、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线斜率，再根据点斜式写出直线方程； （2）先求出函数的导数，通过讨论的取值范围求出函数的单调区间． 【详解】（1）， 当时，，， 所以在处切线方程为， 化简得：， 即． （2）， 函数的定义域为， 当时，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数增区间为，减区间为； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 所以函数增区间为，，减区间为； 当时，，函数单调递增区间为，无减区间； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数增区间为，，减区间为． 综上，当时，函数增区间为，减区间为； 当时，函数增区间为，，减区间为； 当时，函数单调递增区间为，无减区间； 当时，函数增区间为，，减区间为． 【变式7-3】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，，，四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 则，又， 所以在点处的切线方程为. （2）由，， 则， 当时，， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或， 当时，，由，得或； 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增； 当时，，由，得或； 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【变式7-4】.（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调增区间 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出导函数，按的不同取值分类讨论的符号即可； （2）利用导数的符号判断单调区间即可. 【详解】（1）由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. （2）当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 所以的单调增区间为. 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例8】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； 【详解】（1）， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【变式8-1】.（23-24高三下·上海·开学考试）已知函数的表达式为． (1)当时，证明； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】 （1）易知，由导函数求出函数的最值即可得出证明； （2）对函数求导并化简，结合二次函数性质对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）易知函数的定义域为； 当时，，则； 显然当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 因此函数在处取得极大值，也是最大值； 所以， 即当时，； （2）由可得， 令， 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为； 易知，， 当时，，此时在上恒成立，在上单调递增； 当时，， 令，可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上可得当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 【变式8-2】.（2024高二·上海·专题练习）已知，． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)0； (2)答案见解析； 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性得最大值； （2）求出导函数，利用二次方程的根确定与的解得单调性； 【详解】（1）函数的定义域是，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值，即． （2）当时，的定义域是， 又， 对于关于的方程，则， 若，则，恒成立，即恒成立，所以在上单调递减； 当时， 由，解得，， 所以或时，，时，， 所以在和上是减函数，在上是增函数； 当时，，在上是增函数，在上是减函数． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上是减函数，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． 【考点题型九】根据图象判断函数极值，最值（） 【例9】（2024高二·上海·专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【答案】②③④ 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】由导函数的图象判断出函数的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案. 【详解】由图象可知，当时，；当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有两个极值点，当时函数取得极大值，当时函数取得极小值， 故①错误，②③④正确. 故答案为：②③④ 【变式9-1】.（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项. 【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误； 对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确； 对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误； 对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性. 【变式9-2】.（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数极值点的辨析 【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否. 【详解】， 作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为， 在处的导数都等于， 在上，,单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线平行的函数的所有的切线，由此观察图象即可顺利得解. 【变式9-3】.（23-24高二上·上海·课后作业）已知的图象如图所示，求函数在上的单调区间和极值点．    【答案】单调递增区间为，单调递减区间为，极大值点为，无极小值点. 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据的正负直接确定单调区间，结合极值点定义可得极值点. 【详解】由图象可知：当时，；当时，； 在上的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值点为，无极小值点. 【考点题型十】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例10】（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的极大值为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求函数的极大值. 【详解】函数 ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的极大值为． 故答案为： 【变式10-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【知识点】已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为3求出，进而根据单调性可得其最小值. 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 【变式10-2】.（23-24高三上·上海·期中）函数的极小值是 . 【答案】0 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出导函数，由其确定单调性得极小值． 【详解】由已知，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在递减， 所以的极小值为． 故答案为：0. 【变式10-3】.（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 【变式10-4】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是1. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出，即可得出答案； （2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值. 【详解】（1）由已知可得，所以， 则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为. 又，所以函数在点处的切线的方程为. （2）当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 又，， 所以，函数在区间上的最大值是，最小值是1. 【考点题型十一】根据函数的极值（点）求参数（） 【例11】（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处有极值0，则 . 【答案】 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由题可得，即可得答案. 【详解】因为，所以，依题意可得 .解得， 经检验适合题意，所以. 故答案为： 【变式11-1】.（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数、根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 【变式11-2】.（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导函数，确定函数的单调性和极值点，利用函数在区间上有极值点，即可求实数的取值范围． 【详解】函数的定义域为R，且． 当时，恒成立，故在R上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值． 当时，令，得， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 从而时有极小值，函数没有极大值． 依题意有，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式11-3】.（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若是函数的驻点，则实数 【答案】5 【知识点】根据极值点求参数、导数的运算法则、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可. 【详解】函数，求导得， 由是函数的驻点，得， 所以. 故答案为：5 【变式11-4】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数在处取得极值，则实数 . 【答案】/ 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题有，可得的可能值，再代入题中验证可确定答案. 【详解】由题，有.则. 又时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 则在处取得极值. 故答案为： 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的单调性，计算端点值和极值，根据最小值求实数的值. 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， 4 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 如表可知，的最小值为，得. 【变式12-1】.（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式12-2】.（22-23高二下·上海虹口·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为28，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】利用导函数求函数的极值，再结合条件即求. 【详解】∵， ∴ ， 令＝0，得＝-3，＝1， 当x变化时及的变化情况如下表． x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) + 0 - 0 + ↗ 28 ↘ -4 ↗ 当x＝-3时，取极大值28； 当x＝1时，取极小值-4. 而f(2)＝3<f(-3)＝28， 如果在区间[k，2]上的最大值为28， 则k≤-3. 故答案为：k≤-3 【变式12-3】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式12-4】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在,. 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、已知函数最值求参数 【分析】（1）利用导函数与函数的单调性的关系求解； （2）利用导函数与函数单调性的关系，讨论含参数的函数的单调性，并根据单调性与最值的关系求解. 【详解】（1）, , 因为在上单调递减， 所以在恒成立， 即在恒成立， 因为函数在单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. （2）， 若，则在恒成立， 则函数在区间单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若，由解得， 由解得， （i）若，即， 则函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； （ii）若，即， 则函数在单调递减， 所以，解得，不满足题意； 综上，. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数图象的应用 【分析】首先判断，，再求出函数的导函数，分析函数的极值点，即可判断、，从而得解. 【详解】因为， 由图可知当时，当时，所以，， 又， 由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点小于极小值点， 所以有两个零点，不妨设为，则，，且， 所以导函数的图象如下图所示：    所以，，则，所以，，，. 故选：A 2．（24-25高三上·上海·开学考试）设，有下列命题：①当时，函数有三个零点； ②当时，是函数的极大值点； ③存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1； ④存在实数，使得点为曲线的对称中心.其中是真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断或证明函数的对称性、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】利用导数和函数单调性和极值点的关系即可判断命题①②;利用即可找出实数，，使得函数在区间上存在最大值1，从而判断命题③；利用即可判断命题④. 【详解】， 对于①：当时，在和上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减，且，， 若，则，此时函数只有一个零点，故①错误； 对于②：当时，在和上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减，故是函数的极小值点，故②错误； 对于③：当时，由①知，函数在区间上单调递减，故， 故存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1，故③正确； 对于④：当时，， 故点为曲线的对称中心，故④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若的对称中心为，则；若的对称轴为，则； 二、填空题 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）若函数在定义域R上是可导函数，导函数为，则下列命题正确的有 ． ①若对任意成立，则是R上的严格增函数； ②若是R上的严格增函数，则对任意成立； ③若对任意成立，则是R上的增函数． 【答案】①③ 【知识点】判断命题的真假、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意结合导数与原函数单调性之间的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于①：若对任意成立，可知是R上的严格增函数，故①正确； 对于②：若是R上的严格增函数，则对任意成立，故②错误； 对于③：若对任意成立，则是R上的增函数，故③正确； 故答案为：①③. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 5．（24-25高三·上海·随堂练习）在区间上，“”是“函数在上严格递减”的 条件． 【答案】充分非必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数与单调性之间的关系结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】在区间上，当时，函数在上严格递减， 当函数在上严格递减时，，如在R上严格递减，但是在R上， 所以在区间上，“”是“函数在上严格递减”的充分不必要条件， 故答案为：充分非必要 6．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用函数单调性求最值或值域 【分析】通过求导得到，令得到单调递增区间，令得到单调递减区间，从而得到，分别计算、并比较大小即可. 【详解】因为，令得，， 令得，所以在上单调递减， 令得或，所以在和上单调递增， 所以， 故答案为：. 7．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】求导得到，令得到的单调递减区间，令得到的单调递增区间，从而得到最小值. 【详解】因为，令得， 令得，所以在上单调递减， 令得，所以在上单调递增， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数在处有极值，则 ． 【答案】4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据题意对函数求导可得，即可解得. 【详解】由可得， 又因为函数在处有极值，所以， 解得； 经检验可得时，在处取得极小值符合题意. 故答案为：4 9．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 10．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】转化为导数恒成立，然后参变分离，利用导数求函数的值域即可得解. 【详解】， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以的最大值为. 故答案为： 11．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 12．（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】根据题意求出参数的值，再利用导数判断函数在上的单调性，进而可以求出最大值. 【详解】，依题意，解得 此时， 令得；令得或 所以在单调递减，在和单调递增； 所以是的极小值点. 因为，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增 因为 且 所以在的最大值为 故答案为: 三、解答题 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)求的严格增区间 (2)若，求a； 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求过一点的切线方程 【分析】（1）求出的导数，令，即可解得的严格增区间； （2）由，求出曲线在点处的切线方程，设该切线与切于点，则由求出，由，解得． 【详解】（1）因为，则， 令，解得或， 所以的严格增区间为. （2）由题意得，， 则在点处的切线方程为，即， 设该切线与切于点，则， 解得，则，解得． 14．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中．求在区间上的单调区间和极值． 【答案】的递减区间为，递增区间为，极小值. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，解不等式求得单调区间，进而求出极值. 【详解】函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，在 处取得极小值， 所以函数的递减区间为，递增区间为，极小值为. 15．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，，其中， (1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性； (2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）选择①：利用导数判断可得答案；选择②：利用导数判断可得答案； （2）在上严格递减，转化为在上恒成立可得答案. 【详解】（1）选择①：，则， 当时，，在上严格递减， 当时，，在上严格递增； 选择②：，则， 当时，，在上严格递减； （2），， 所以在上严格递减， 由题意设，得在上严格递减， 由在上恒成立， 即在上恒成立， 因为单调递减，所以， 得. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第5章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题单调性讨论 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 【变式1-1】.（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【变式1-2】.（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【变式1-3】.（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点（即导数的零点）． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； 【变式1-4】.（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 . 【变式2-2】.（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【变式2-3】.（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2-4】.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 . 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 【变式3-2】.（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 【变式3-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 【变式4-1】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）    A．在处取极小值 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在上为增函数 【变式5-2】.（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【变式5-3】.（25-26高三上·上海·单元测试）函数在其定义域内的导数存在，其图像如题图所示，记的导数为，则不等式的解集是 ． 【变式5-4】.（22-23高二下·上海松江·期中）函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题： ①是函数的极小值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上严格增； ④在处切线的斜率小于零. 以上所有正确命题的序号是 . 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例6】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数 (1)若在点处取得极值.求a的值； (2)求的单调区间. 【变式6-1】.（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【变式6-2】.（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； 【变式6-3】.（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例7】 （23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式7-1】.（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【变式7-2】.（24-25高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在处切线方程； (2)讨论的单调区间． 【变式7-3】.（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式7-4】.（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例8】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； 【变式8-1】.（23-24高三下·上海·开学考试）已知函数的表达式为． (1)当时，证明； (2)当时，讨论函数的单调性； 【变式8-2】.（2024高二·上海·专题练习）已知，． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【考点题型九】根据图象判断函数极值，最值（） 【例9】（2024高二·上海·专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【变式9-1】.（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 【变式9-2】.（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【变式9-3】.（23-24高二上·上海·课后作业）已知的图象如图所示，求函数在上的单调区间和极值点．    【考点题型十】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例10】（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的极大值为 ． 【变式10-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【变式10-2】.（23-24高三上·上海·期中）函数的极小值是 . 【变式10-3】.（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 【变式10-4】（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，. (1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【考点题型十一】根据函数的极值（点）求参数（） 【例11】（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处有极值0，则 . 【变式11-1】.（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【变式11-2】.（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 【变式11-3】.（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若是函数的驻点，则实数 【变式11-4】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数在处取得极值，则实数 . 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【变式12-1】.（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【变式12-2】.（22-23高二下·上海虹口·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为28，则实数的取值范围为 ． 【变式12-3】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【变式12-4】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·开学考试）设，有下列命题：①当时，函数有三个零点； ②当时，是函数的极大值点； ③存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1； ④存在实数，使得点为曲线的对称中心.其中是真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）若函数在定义域R上是可导函数，导函数为，则下列命题正确的有 ． ①若对任意成立，则是R上的严格增函数； ②若是R上的严格增函数，则对任意成立； ③若对任意成立，则是R上的增函数． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 5．（24-25高三·上海·随堂练习）在区间上，“”是“函数在上严格递减”的 条件． 6．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的最小值为 ． 7．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的最小值为 ． 8．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数在处有极值，则 ． 9．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 10．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为 ． 11．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 12．（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是 ． 三、解答题 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)求的严格增区间 (2)若，求a； 14．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中．求在区间上的单调区间和极值． 15．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，，其中， (1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性； (2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$