专题04 第5章 导数与函数的零点（方程的根）（2考点清单，知识导图+5个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

清单04 第5章 导数与函数的零点（方程的根） （2个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（23-24高三上·上海虹口·期中）函数， (1)求函数在点的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若，请讨论关于x的方程解的个数情况． 【变式1-1】.（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）设函数在区间D上的导函数为，且在D上存在导函数（其中）．定义：若区间D上恒成立，则称函数在区间D上为凸函数． (1)若函数，判断在区间上是否为凸函数，说明理由； (2)若函数． （ⅰ）若在上为“凸函数”，求a的取值范围； （ⅱ）若，判断在区间上的零点个数． 【变式1-2】.（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【变式1-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)求函数的零点个数． 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 【变式2-1】.（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 【变式2-2】.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 【变式3-1】.（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知. (1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围； (2)时，若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围. (3)若有两个极值点，，且，证明：. 【变式3-2】.（北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期2月六校联考数学试题）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【变式3-3】.（22-23高二下·上海黄浦·期末）设，若关于x的方程有3个不同的实根，则的取值范围是 . 【变式3-4】.（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有极值点，判断的零点个数． 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间，若与在区间上都单调递增或都单调递减，则称为区间上的自律函数若是上的自律函数． (1)求的取值范围 (2)若取得最小值时，只有一个实根，求实数的取值范围. 【变式4-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，若函数恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）已知函数，为实数. (1)当时，求与的极值； (2)是否存在，使与均有2个零点.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【考点题型五】导数中新定义题（） 【例5】（2025·江苏·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，． (1)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； (2)若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 【变式5-1】.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． (1)若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； (2)已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； (3)已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围． 【变式5-2】.（2025·云南·模拟预测）牛顿迭代法（Newton＇smethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，选取作为的初始近似值，在点处作的切线的方程为，若，则与轴交点的横坐标满足：又在点处作的切线的方程为，若，则与轴交点的横坐标满足；重复以上过程，得到一个零点近似值序列：.已知函数，现选取作为的零点初始近似值，运用牛顿迭代法得到方程的一个零点近似值序列：，满足. (1)当时，求的值； (2)设. （i）当时，若且，求证：；（参考不等式：） （ii）若有两个不相等的零点，求实数的取值范围. 【变式5-3】.（24-25高三上·河南周口·期中）定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系． (1)判断函数与是否具有“关于的”关系； (2)若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围； (3)若函数与在区间上具有“关于的”关系，求实数的取值范围． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数有四个零点，则实数的取值范围是 . 2．（2024·江西·一模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 . 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数仅有一个零点，则的取值范围是 ． 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是 . 7．（2025高三下·全国·专题练习）若函数有两个零点，则的取值范围是 ． 8．（2025高三下·全国·专题练习）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 9．（23-24高二下·天津西青·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 10．（24-25高三下·全国·开学考试）已知函数恰有一个零点，则 . 二、单选题 11．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）若函数有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 13．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 14．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 15．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知 (1)当 时，求函数 的极值； (2)若关于x的方程 有两个不等实根，求a的取值范围； 16．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第5章 导数与函数的零点（方程的根） （2个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（23-24高三上·上海虹口·期中）函数， (1)求函数在点的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若，请讨论关于x的方程解的个数情况． 【答案】(1)； (2)时无极值点；时有极小值点，无极大值点. (3)答案见解析. 【知识点】利用导数研究方程的根、函数极值点的辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、判断导数符号确定函数单调性，即可判断极值点情况； （3）问题化为讨论在上根的情况，构造求导，根据导数符号判断单调性，进而确定函数最值，讨论m与最值大小确定解个数. 【详解】（1）由题设，则，而， 所以，切线方为，即. （2）由题设，则，且， 当时，恒成立，故在上递增，无极值； 当时，时，时， 则在上递减，在上递增； 此时有极小值点为，无极大值点. （3）由题意，只需讨论在上根的情况， 令，则，而， 当时，递增；当时，递减； 且趋向0或时趋向，极大值为， 综上，当，原方程有无解；当，原方程有一个解；当，原方程有两个解； 【变式1-1】.（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）设函数在区间D上的导函数为，且在D上存在导函数（其中）．定义：若区间D上恒成立，则称函数在区间D上为凸函数． (1)若函数，判断在区间上是否为凸函数，说明理由； (2)若函数． （ⅰ）若在上为“凸函数”，求a的取值范围； （ⅱ）若，判断在区间上的零点个数． 【答案】(1)为凸函数，理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】（1）利用凸函数的定义即可判断， （2）（ⅰ）利用凸函数的定义将问题转化为在上的恒成立问题， （ⅱ）利用导数先求出函数的二阶导数，得到在区间上先增后减，再根据零点存在定理即可得到零点个数. 【详解】（1）∴，， ∴，因为，∴， ∴在区间上为凸函数． （2）（ⅰ）由可得其定义域为R，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得， 综上可得a的取值范围为； （ⅱ）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然， 根据零点存在定理可得存在使得， 当时，，即在上为单调递减， 当时，，即在上为单调递增； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点． 【变式1-2】.（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过求导并代入已知条件可求出的值. （2）先根据零点概念计算得到或．再构造函数， 对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 【变式1-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)求函数的零点个数． 【答案】(1) (2)极小值，极大值 (3)一个 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】（1）求出，从而可得曲线在点处的切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极值； （3）证明极大值．极小值，可得时，没有零点，再证明，可得时，有一个零点，从而可得出函数的零点个数. 【详解】（1） ， ， 因此切线方程为． （2）解得或， 解得， 因此在上递增，在上递减，在上递增． 因此在处取得极小值． 在时，取得极大值． （3）因为在上递增，在上递减，在上递增． 极大值． 又极小值，所以时，恒成立， 即时，没有零点， 又，即， 所以时，有一个零点， 综上，只有一个零点． 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】()由，得到，当时，通过，得出在上单调性，再根据零点存在定理得出的正负，进而得出在的单调性，从而求出在上的最小值； ()分别讨论在，，三个区间上的正负，再结合零点存在定理，可知在上存在唯一的零点，即函数在只有一个零点. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 且，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点，使， 又当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. （2）因为，， 若，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点； 若，则，，则， 即在上没有零点； 若，因为，，所以， 即在上没有零点； 综上，函数在只有一个零点. 【变式2-1】.（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根、具体函数的定义域、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导后，根据导数几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程； （2）令，求导后可求得的单调性和零点，由此可确定的定义域； （3）令，求导后可确定的正负，进而得到单调性；通过分析的图象可证得结论. 【详解】（1），， 又，在点处的切线方程为：，即. （2）令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，有唯一零点， 的定义域为. （3）由（1）知：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，在上恒成立， 在，上单调递减， 当时，，由（2）知：，； 当时，，由（2）知：，， 又，，当从正方向无限趋近于时，； 当时，， 当时，，，， 即当时，；又在上单调递减， 与有唯一交点，即方程有唯一解. 【点睛】关键点点睛：本题第三问考查利用导数求解方程根的个数问题，解题关键是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线的交点个数问题，从而利用导数分析函数的单调性和图象，进而确定方程根的个数. 【变式2-2】.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数求得切线斜率，由点斜式得直线方程并整理即可； （2）（i）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点； （ii）在（i）的基础上，先证明是唯一零点，然后证明：求出，利用是极值点，化简消去，得的函数，然后利用导数证明，最后由的单调性得证结论成立． 【详解】（1）当时，， ，即切点为， 故曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数， ①当时，当时，， 则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； ②当时，设， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又在区间上有唯一零点， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知，当时，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 时，，则， 又在区间上有唯一零点， 即在区间上有唯一零点. ， 由①知， 则， 设， 则， ， 在区间上单调递增，又， 又. . 由前面讨论知在区间上单调递增， . 【点睛】方法点睛：本题考查用导数确定函数的极值点与零点问题，属于难题．证明，考虑到的来源，因此联想用的单调性，只要证明，这是关键，为此计算，并由是极值点得出与的关系，从而消去参数，只剩下一个未知数，引入新函数，利用导数证明出结论． 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值点，极小值点 (2) (3)或. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值点即可； （2）利用导数求切线斜率即可得切线方程； （3）函数零点问题可分离参变量，构造数形结合即可求解参数取值. 【详解】（1）由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 检验：此时， 显然是的变号零点，即是极值点， 因此，令得或 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 即函数的极大值点是，极小值点是； （2）由（1）知，函数， 则有， 所以在点处得切线是， 即整理得为所求切线； （3）因为 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为 端点值为，作出函数的图象： 由有两个零点得， 直线与函数的图像有两个交点， 即：或. 【变式3-1】.（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知. (1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围； (2)时，若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围. (3)若有两个极值点，，且，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）由题知在上恒成立，分离参数得，构造函数，利用导数求得其最小值即可求解； （2）求导，再分和两种情况讨论，求出其单调区间，再结合零点存在性定理即可求解； （3）由题意可得，是的两根，进而可得，，进而可得，令，求得其最大值即可. 【详解】（1）由题知在上恒成立， 所以，令，则， 由，解得，所以在单调递增， 由，解得，所以在单调递减， 所以当时，取得最小值，所以， 所以的取值范围. （2）由题知，， 所以，由，得， 当时，存在，使得， 因为在上单调递减， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 当，即时，在上无零点， 当，即时，在上有一个零点， 当时，，所以在上单调递减， 又，故在上无零点， 综上所述：的取值范围为； （3）由有两个极值点，，且， 得有两个极值点，，且， 求导得，所以，是的两根， 令，所以，解得， 因为，所以， ， 由题意可知，可得，代入得， 令， 求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 又，，可得， 所以，所以，所以. 【变式3-2】.（北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期2月六校联考数学试题）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 【变式3-3】.（22-23高二下·上海黄浦·期末）设，若关于x的方程有3个不同的实根，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】先令，用导数的方法判断函数的单调性，得到的极值，得到函数有三个不同零点，由极大值大于0，极小值小于0，即可得出结果. 【详解】记， 令， 得或， 由得或，此时为增函数， 由得，此时为减函数， 即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，即， 因为关于的方程有三个不同的实根， 所以函数有三个不同零点， 因此，只需 ，即 ，解得， 即关于的方程有三个不同的实根的范围是 ． 故答案为：. 【变式3-4】.（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有极值点，判断的零点个数． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. （2）先确定函数的极值点，结合函数的单调性及特殊点的函数值符号，确定函数零点的个数. 【详解】（1）因为，（） 所以，（）. 当时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当时，由； 由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，当时，有极大值点， . 若，此时函数无零点； 若，此时，函数有个零点； 若， 当时，，所以函数在上有个零点； 当时，，所以函数在上有个零点. 所以时，函数有个零点. 综上：当时，函数无零点； 当时，函数有个零点； 当时，函数有个零点. 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间，若与在区间上都单调递增或都单调递减，则称为区间上的自律函数若是上的自律函数． (1)求的取值范围 (2)若取得最小值时，只有一个实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数新定义、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）先求出，，然后根据自律函数的定义可知与在区间上都单调递增，则且，再根据二次函数的性质列不等式组可求得结果； （2）令，求导后利用导数求出的单调区间，求出其极值，再将问题转化为的图象与直线只有一个交点，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由， 得， ， 因为是上的自律函数，且在上不可能恒小于零， 所以与在区间上都单调递增， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为； （2）当时，， 令， 则， 由，得，得， ，解得或， 由，得，得， ，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 即在和上单调递增，在上单调递减， 因为只有一个实根， 所以的图象与直线只有一个交点， 因为，，， 所以或， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决函数单调性问题，考查函数与方程的综合问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为的图象与直线只有一个交点，再根据的单调性求解，考查计算能力和数学转化思想，属于中档题. 【变式4-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，若函数恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】分析函数的单调性与极值，作出图象，令，可得关于的方程要有两个根、，且，或，由参变分离得出，令，其中，分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为减函数， 令，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 令，由可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，要使得函数恰有个零点， 则关于的方程要有两个根、，且，或， 当时，方程无解； 当时，由可得，令，其中， 则，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 且当时，；当时，，,如下图所示： 由图可知，当,即时，直线与函数图象的两个交点的横坐标、满足，或， 因此，实数的取值范围是即. 故选：C. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 【变式4-2】.（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、函数图象的应用 【分析】当时，，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，由，，进而利用单调性可得，进而可得. 【详解】由题意，可知： ①当时，，故为的1个零点． ②当时，由题意，可得， 即与有4个交点， 当时，， 设，，则，令得， 则函数在单调递增，在上单调递减，又， 如图 则必有，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：由，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，根据分段函数的特点，分别考虑和与的交点个数，考虑到两个函数的单调性和最值，进而可得. 【变式4-3】.（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）已知函数，为实数. (1)当时，求与的极值； (2)是否存在，使与均有2个零点.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)的极小值为1，无极大值，的极小值为1，无极大值 (2)不存在，理由见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解函数的单调性，即可根据极值点的定义求解， （2）根据方程的根，分离参数，构造函数，，求导，得函数的单调性，即可结合函数图形求解. 【详解】（1）当时， ， ， ， 当时，，此时与均单调递减， 当时，，此时与均单调递增， 所以当时，，均各自取到相应的极小值，无极大值； （2），故， ，可得（且） 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当， 当时，有极大值， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 所以当且仅当时，方程有两个根. 令（且）， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷， 当时，单调递增， 令，则，当时，， 所以当时，有极小值，， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 当且仅当时，方程()有两个根. 综上所述，不存在，使与均有2个零点. 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【考点题型五】导数中新定义题（） 【例5】（2025·江苏·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，． (1)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； (2)若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】（1）根据题意，由自映射区间定义结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）①由自映射区间定义，结合函数的单调性，将问题转化为函数至少存在两个零点问题，然后结合导数，代入计算，即可得到结果；②构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明不等式. 【详解】（1）因为恒成立，则在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即方程，即至少有两个不同实数解． 则的解集为，所以区间的选择共有种． 若，共有6种选择， 所以区间的长度的概率为． （2）①因为在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 若要存在两个零点，则，即． 此时，使得． 因为当时，，即函数单调递减， 所以，又， 所以，则，使得． 所以的取值范围为． ②因为，所以， 下证：．记， 则， 则在上单调递增，则，即， 即，所以． 所以，所以． 记，则， 时，单调递减；时，单调递增； 所以，即， 则，即，同理 因为函数的，且对称轴为， 则方程存在两根，且， 又，且，所以， 则， 所以区间的长度． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题与导数的综合应用，难度较大，解答本题的关键在于理解所给的定义，然后结合导数的知识解答. 【变式5-1】.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． (1)若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； (2)已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； (3)已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、导数新定义、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）通过二次求导再分离参数即可得到答案； （2）转化为证明，再设，代入即可； （3）设，分和讨论即可. 【详解】（1）， 因为函数是定义在上的凹函数， 所以在上单调递减， 设，则恒成立， 所以，，所以． （2）要证， 即证， 因为函数是凹函数， 所以，且， 有， 令，则， 所以， 因此上述不等式得证． （3）对于，都有， 因为，所以， 设，则． ①当时，因为，则，则 ，则单调递减，所以， 因此满足题意． ②当时，令，所以， 所以当时，单调递增， 所以，从而，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行合理地分类讨论. 【变式5-2】.（2025·云南·模拟预测）牛顿迭代法（Newton＇smethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，选取作为的初始近似值，在点处作的切线的方程为，若，则与轴交点的横坐标满足：又在点处作的切线的方程为，若，则与轴交点的横坐标满足；重复以上过程，得到一个零点近似值序列：.已知函数，现选取作为的零点初始近似值，运用牛顿迭代法得到方程的一个零点近似值序列：，满足. (1)当时，求的值； (2)设. （i）当时，若且，求证：；（参考不等式：） （ii）若有两个不相等的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据即可代入求解， （2）（i）根据题意可得，即可利用所给不等式求解， （ii）根据，求导，对分类讨论，求解函数的单调性，根据单调性求解函数的最值即可求解.. 【详解】（1）当时，由解得 故； （2）（i）由题意得，则， 所以， 因为，所以， 由且得， 移项可得，则有， 又因为， 所以，可得， 又由，故.得证. （ii）由（i）得，则， 当时，在上恒成立，即在上单调递增，故在上不存在两个零点，此时不满足题意； 当时，令，解得， 令解得，故在单调递增， 令解得，故在单调递减， 所以在处取最大值； 因为有两个零点，且当趋近于0时，趋近于时，，所以，解得，即. 综上可得，实数的取值范围是. 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式5-3】.（24-25高三上·河南周口·期中）定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系． (1)判断函数与是否具有“关于的”关系； (2)若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围； (3)若函数与在区间上具有“关于的”关系，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、零点存在性定理的应用 【分析】（1）令，利用零点存在定理可得出结论； （2）由题意可知，对任意的，可得，令，其中，则直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （3）分析可知，则存在，使得，构造函数，其中，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数与的定义域均为， 若函数与具有“关于的”关系， 则存在，使得，即，即， 令，其中，则该函数在连续， 因为，，所以， 由零点存在定理可知存在，使得，即， 所以函数与具有“关于的”关系. （2）因为函数的定义域为，函数与不具有“关于的”关系， 则对任意的，，可得， 令，其中，则， 令可得，当x变化时变化情况如下表所示： 增 极大值 减 所以函数的最大值为，如下图所示：    要使得直线与函数的图象没有公共点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）若函数与在区间上具有“关于的”关系， 则存在，使得，即，即， 令，其中，则， 令，其中， ①当时，对任意的，恒成立， 此时，函数在上为减函数，则，不合乎题意； ②当时，则， （i）若时，即当时， 对任意的，恒成立，此时，函数在上单调递增， 此时，，则函数在上单调递增， 当时，，不合乎题意； （ii）若时，即当时， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，即函数在上单调递减， 所以， 当时，，所以存在，使得， 故当时，函数与在区间上具有“关于的”关系. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数有四个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】首先求出在上的零点，再由，可得在上存在一个零点，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得到不等式组，进而得解. 【详解】因为， 当时，令，即，解得，， 所以在上存在两个零点，则在上存在两个零点， 当，令，则， 所以或； 当，解得，所以也是的一个零点， 则在上存在一个零点， 令，， 则，令，，则， 所以当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以，所以（）， 即，所以在上单调递增， 所以，， 要使在上存在一个零点， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 2．（2024·江西·一模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 【答案】2 【知识点】由对称性求函数的解析式、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、用柯西不等式求参数取值范围 【分析】设函数在区间上的零点为，带入函数变形得到，再利用柯西不等式得到，构造函数，求取最小值时的值即可. 【详解】设函数在区间上的零点为， 则，即， 两边平方得， 由柯西不等式可得，当且仅当时等号成立， 即，， 设，， 则， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以当时，在上取最小值，即取最小值. 证明柯西不等式：， 证明： ， 即 故答案为：. 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数仅有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】对，，三种情况分类讨论，即可得到答案. 【详解】设，则. ①当时，有，，所以在上必有一个零点. 从而，且，不满足条件. ②当时，有，，所以在上必有一个零点. 从而，且，不满足条件. ③当时，对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而有. 如果，即等号成立，则一定有，且，从而. 这说明只要，就必有，故. 而显然，故有唯一零点，满足条件. 综合①②③可知，的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】先对求导，再对分类讨论，分析其有两个零点的情况，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，，则此时单调递增，得到不可能有两个零点， 当时，令，，令，， 得到在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点， 所以需有， 而，此时满足，解得，则实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】根据当时，函数有极值，求得的解析式，利用导数法，作出函数的图象求解. 【详解】由题意可知，， ∴，解得经检验，，符合题意. 故所求函数的解析式为. 则.令，得或， 当x变化时，，的变化情况如表， x 2 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ ∴当时，有极大值；当时，有极小值. 则函数的图象如图所示： 由图象知：要使关于的方程有三个不等实根， 则k应满足. 即实数k的取值范围是. 故答案为： 7．（2025高三下·全国·专题练习）若函数有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】条件函数有两个零点可转化为函数与函数的图象有两个交点，作两函数的图象，观察图象列不等式可求的范围. 【详解】因为函数有两个零点， 所以方程有两个实根， 所以函数与函数的图象有且仅有两个交点， 函数的定义域为， 函数的导函数为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，当时，， 当时，， 画出函数与函数的图象， 观察图象可得实数的取值范围是． 故答案为：. 8．（2025高三下·全国·专题练习）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】条件可转化为曲线与有且仅有一个交点，画出两曲线图象，观察图象可得结论. 【详解】因为函数有且只有一个零点， 所以方程有且仅有一个根， 所以曲线与有且仅有一个交点， 函数的定义域为， 函数的导函数为， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 当时，， 当时，， 当时，， 当，且时，， 画出函数，的图象如下， 观察图象可得或． 故答案为：. 9．（23-24高二下·天津西青·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】令，可得，构建，若函数有三个不同的零点，即与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示： 由函数图象可得. 故答案为：. 10．（24-25高三下·全国·开学考试）已知函数恰有一个零点，则 . 【答案】2 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】先通过，确定极值点得到，再验证的充分性即可； 【详解】解：易得，且当时，，当时，，所以要使恰有一个零点， 则在左侧附近单调递减，右侧附近单调递增， 即在处取到最小值，且又， 所以，解得 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即恒成立， 所以当且仅当时，恰有一个零点. 故答案为： 二、单选题 11．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 12．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）若函数有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由解析式得到函数定义域，求出函数的导数，讨论当时，导数恒大于零，函数单调，不合题意.当时，求得导数的零点，然后得到函数的最大值，且函数最大值大于0建立不等式，求得取值范围. 【详解】函数定义域为：， ∵，令，即，则， ∴当时，，此时函数单调递增，则函数至多存在1个零点，舍去； 当时，则函数在上单调递减， ∴当，，即函数递增；当，，即函数递减； ∴， 又∵时，；时，， ∴由题意可得：，即， 即，∴. 故选：B 三、解答题 13．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）先将问题转化为与的交点个数，再由（1）画出函数图象后可得. 【详解】（1），， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. （2）的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 14．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 15．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知 (1)当 时，求函数 的极值； (2)若关于x的方程 有两个不等实根，求a的取值范围； 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导，判断函数单调性，求出极值； （2）题意转化为，有两个不同的零点，求导判断单调性，结合零点存在性定理判断. 【详解】（1）当时，，， 则，令，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）方程有两个不等实根， 令，，则函数有两个不同的零点， 则， 当时，，即在R上单调递增，不合题意； 当时，令，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，即，得， 又，时，， 所以在和上各存在一个零点， 所以的取值范围为. 16．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)无极小值点；理由见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，确定单调性即可判断； （2）参编分类得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解； 【详解】（1）依题意可得， ，故， 设，则， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增，无极小值点； （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，；当时，， 的取值范围是 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$