专题02 第6章 计数原理（考点串讲，5大考点&15大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

沪教版（2020）高二数学下学期·期中大串讲 专题02 第6章 计数原理 （5考点&15题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 两个计数原理综合  考点透视 清单02 排列数计算  清单03 组合数的计算和性质  考点透视 清单04 二项式定理  清单05 二项式系数（和）  【考点题型一】两个计数原理综合 【答案】120 题型剖析 【考点题型二】排列数，组合数（组合数性质）计算 题型剖析 【考点题型三】相邻与不相邻问题 【答案】3600 题型剖析 【考点题型三】相邻与不相邻问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型四】分组与分配问题 【答案】150 题型剖析 【考点题型四】分组与分配问题 【答案】36 题型剖析 【考点题型五】数字排列问题 【答案】D 题型剖析 【考点题型五】数字排列问题 题型剖析 【考点题型六】涂色问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】涂色问题 【答案】D 题型剖析 题型剖析 【考点题型七】隔板法 题型剖析 【考点题型七】隔板法 【答案】15 题型剖析 【考点题型八】二项式定理展开及其逆应用 题型剖析 题型剖析 题型剖析 【考点题型十】二项式系数（和） 题型剖析 【考点题型十】二项式系数（和） 题型剖析 【考点题型十一】指定项系数（有理项） 题型剖析 【考点题型十一】指定项系数（有理项） 【答案】5 题型剖析 【考点题型十二】系数和 题型剖析 【考点题型十二】系数和 题型剖析 【考点题型十三】系数最大（小）项 题型剖析 【考点题型十三】系数最大（小）项 题型剖析 【考点题型十四】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题 题型剖析 【考点题型十四】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题 题型剖析 【考点题型十五】二项式定理应用 易错易混 【答案】B 易错易混 押题预测 【答案】511 押题预测 押题预测 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 二项展开式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】要得到一个这样的数，可以分为3个步骤： 第一步，从1、2、3、4、5、6中任选一个放在首位，有6种方法； 第二步，从余下5个数中任选一个放在万位，有5种方法； 第三步，从余下4个数中任选一个放在千位，有4种方法； 而其余数字定序，从小到大依次排在个、十、百位. 故由分步乘法计数原理可得，这样的六位数共有个. 故答案为：120. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题2】.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）原方程等价于， 整理得，解得或， 又，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）原不等式等价于， 即，解得， 又且， 所以原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的节目演出单，要求任意两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先安排6个歌唱节目，共有4个空，再将4个舞蹈节目进行插空，故有种排法. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（23-24高二上·上海·阶段练习）某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有 种. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①有一种灯谜印在3个灯笼上，有种方法， ②3款灯谜分别印在2个，2个和1个灯笼上，有， 共有种方案. 故答案为：150. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为 种． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】4位学生分管三项不同的工作，故只能为， 故共有这4位学生干部不同的分管方案种数为种方案数. 故答案为：36 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】.（25-26高三上·上海·单元测试）从1、2、3、4、5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面（不一定相邻），这样的三位数有（    ） A．9个 B．15个 C．42个 D．51个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数共有个， 当三个数字中有2和3时，3在2的前面（不一定相邻）有个， 所以这样的三位数有个. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个符合下列要求的无重复数字？ (1)五位奇数； (2)能被5整除的五位数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）根据题意，末位数字可以为1、3、5，有种取法，首位数字不能为0，有种取法，再选3个数字，排在中间，有种排法，则五位奇数共有（个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）被5整除即末尾是0或5，当末尾数字是0时，有种， 当末尾数字是5时，首位数字不能为0，有种取法，再选3个数字，排在中间，有种排法，共可组成种符合题意的五位数， 根据分类计数原理个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】分4步进行分析： ①对于区域A，有5种颜色可选， ②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;     ③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选; ④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择, 则不同的涂色方案有种; 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）． A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）把20个相同的小球放到三个编号为1､2､3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 种放法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：根据题意，20个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的14个球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，有种不同的放法， 即有个不同的符合题意的放法； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 种不同的分配方法（用数字作答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额， 采用隔板法可知，即从6个空中插入2个隔板， 共有种不同分法， 故答案为：15. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（25-26高三上·上海·单元测试）设， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为展开式的通项为： （且）， 所以 ． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）如果展开式中各项系数的和等于，则展开式中第项是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为展开式中各项系数的和为，解得， 所以，展开式中第三项为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】二项式的展开式的常数项为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（2023·上海浦东新·三模）已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得，，则. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意知，.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大. ，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160. 故答案为：-160. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的展开式的通项为， 令为整数，则，共项. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为展开式的通项为， 要使系数为有理数的项，需为整数，所以，共5项． 故答案为：5. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高三·上海·随堂练习）已知对任何给定的实数x，都有，求值： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）记，令，得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，得， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，得各项的系数之和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】.（24-25高三·上海·随堂练习）在以下三个条件中任选一个，补充在问题中（横线处）． ①只有第5项的二项式系数最大； ②第3项与第7项的二项式系数相等； ③所有二项式系数的和为． 已知的二项展开式中，________，求： (1)中间项的系数； (2)各项的系数之和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若选填①，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中有9项，即； 中间项是第5项，系数为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若选填②，第3项与第7项的二项式系数相等，则，即； 中间项是第5项，系数为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若选填③，所有二项式系数的和为，则，即． 中间项是第5项，系数为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若在的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的4倍，求展开式中的常数项； （2）求的二项展开式中系数最大的项. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意知 所以 设为常数项， 则， 则展开式中的常数项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设为系数最大项， 则 ， 则的二项展开式中系数最大的项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】.（23-24高二下·上海青浦）已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是． (1)求展开式中含的项 (2)求系数最大的项 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由已知可得，二项式展开式的通项为 ，. 所以，， 即， 整理可得，，解得，或（舍去负值）， 所以，. 由可得， ， 所以，展开式中含的项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知，该二项式展开的第项的系数为. 设第项系数最大，则应有， 即， 即，解得. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，系数最大的项为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高二上·上海·假期作业）求的展开式中的系数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】展开式的通项公式为， 又， 令，得， 令，得， 令，得， 所以展开式含的项的系数为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】.（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高二上·上海·课后作业）利用的二项展开式，证明：是7的倍数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由二项式定理，得 ， 令，得， 从而， 而当时，是整数，14是7的倍数，因此是7的倍数， 所以也一定是7的倍数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二·全国·课堂例题）（1）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项． （2）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）令，可得各项系数和为，展开式各项的二项式系数之和为． 由已知得，即，解得或（舍去）， 的展开式中二项式系数最大的项为中间两项， 它们分别是，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可知，解得，故展开式的通项为． 设第项的系数最大，则，解得． 展开式中的系数最大的项为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（23-24高二下·上海·期末）若，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，， 再令，， 故答案为：511． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知实数，在的二项展开式中. (1)求项的系数； (2)若第三项不大于第五项，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，解得， 所以项的系数为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可得：，， 由题意可知：，且，解得， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（22-23高二下·上海闵行·期末）有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：从这7本书中随机取出2本书，共有种取法， 从4本科技类书中任取2本书，共有种取法， 所以至少取到1本文艺类书的取法，共有种不同的取法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：把7本书进行全排列，共有种排法， 其中同一种类的书互不相邻，共有种排法， 所以同一种类的书都互不相邻的概率是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$