专题01 第5章 导数及其应用（考点串讲，12大考点&29大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

沪教版（2020）高二数学下学期·期中大串讲 专题01 第5章 导数及其应用 （12考点&29题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 函数的平均变化率  考点透视 清单03 导数的几何意义  考点透视 清单04 曲线的切线问题  考点透视 考点透视 清单06 含参问题单调性讨论  考点透视 清单07 函数的极值  考点透视 清单08 函数的最大（小）值  考点透视 清单09 函数的最值与极值的关系  考点透视 清单10 分离参数法 考点透视 清单11 等价转化法  考点透视 清单12 最值定位法  考点透视 【考点题型一】求平均变化率 【答案】4.1 考点透视 【考点题型二】求瞬时变化率 考点透视 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算 【答案】2 考点透视 考点透视 【考点题型五】求过某一点处切线 考点透视 【考点题型六】已知切线求参数 考点透视 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 题型剖析 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（ 题型剖析 【考点题型九】已知切线的条数求参数 【答案】A 题型剖析 【考点题型十】公切线问题 【答案】2 题型剖析 【考点题型十一】求已知函数（不含参）的单调区间 题型剖析 题型剖析 【答案】C 题型剖析 题型剖析 【考点题型十五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 题型剖析 【考点题型十六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 题型剖析 【考点题型十七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 题型剖析 【考点题型十八】求已知函数（不含参）极值（点）最值 题型剖析 【考点题型十九】根据函数的极值（点）求参数 题型剖析 【考点题型二十】根据函数的最值求参数 题型剖析 【考点题型二十一】借助分离变量法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型二十二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型二十三】借助分类讨论法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型二十三】借助分类讨论法解决恒成立问题 题型剖析 【考点题型二十四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型二十四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型二十四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 题型剖析 【考点题型二十五】最值定位法解决双参不等式问题 题型剖析 【考点题型二十六】讨论函数零点（方程的根）的个数 题型剖析 【考点题型二十七】证明函数零点（方程的根）的唯一性 题型剖析 【考点题型二十八】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十八】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 题型剖析 【考点题型二十九】导数中新定义题 题型剖析 【考点题型二十九】导数中新定义题 题型剖析 【考点题型二十九】导数中新定义题 题型剖析 【考点题型二十九】导数中新定义题 题型剖析 【考点题型二十九】导数中新定义题 题型剖析 易错易混 【答案】D 易错易混 【答案】A 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）一物体的运动方程是，则在内的平均速度为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知：在内的平均速度为. 故答案为：4.1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为质点在时， ， 则当d趋近于0时，趋近于， 所以质点在时的瞬时速度为． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】. 故答案为：2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题可得，当时，， 即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（22-23高三下·山东·开学考试）写出曲线过点的一条切线方程 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】或（写出其中的一个答案即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 因为当或时，；当时，， 所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意． 故答案为：或（写出其中的一个答案即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得， 所以，， 所以，所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，由于，所以，所以， 故答案为：3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：因为， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：因为， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设切点为，其中由求导得， 则 ，依题意，方程有三个不同的解. 设，则该函数有三个不同零点. 因，由，则或， 令，则或，令，则， 则函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 则函数在时取得极大值，在时取得极小值，如图所示： 由图知，函数有三个不同零点等价于， 解得. 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值： (2)求的单调增区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与平行，得 即，解得，此时，点不在直线上， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，其定义域为，， 由，即，解得， 所以的单调增区间是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得， 因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 即的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知：， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得， 所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是. 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的定义域为， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故若函数在子区间上不单调，则， 解得， 故k的取值范围为 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高二下·天津宁河·阶段练习）已知函数 (1)若在点处取得极值.求a的值； (2)求的单调区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意有函数的定义域为， 所以，因为在点处取得极值， 所以有， 所以，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以为的极小值点，有. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由已知有：， 当时，，所以函数在为增函数， 当时，由有，有， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以当时，函数单调递增区间为， 当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （ii）当时，对恒成立， 所以在上单调递增． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （iii）当时，， 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】 （23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，定义域为 ， 令，即， （舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取到极小值为,无极大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）的定义域为， ． ①当时， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的极大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数 ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的极大值为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处有极值0，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以，依题意可得 .解得， 经检验适合题意，所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）根据（1）的结果，得到如下表， 4 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 如表可知，的最小值为，得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（2025·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题，可得， 当时，，，单调递减， ，，单调递增， 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）解法一：， ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合. 综上所述，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立. 当时，，所以. 当时，，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（2025·江西·一模）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，其中， 则， 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，即当时， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，即当时， 由可得或，由可得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 设，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，合乎题意； （ii）若，即当时，函数在上单调递减， 所以，，解得， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26】（23-24高三上·上海虹口·期中）函数， (1)求函数在点的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若，请讨论关于x的方程解的个数情况． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题设，则，而， 所以，切线方为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题设，则，且， 当时，恒成立，故在上递增，无极值； 当时，时，时， 则在上递减，在上递增； 此时有极小值点为，无极大值点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由题意，只需讨论在上根的情况， 令，则，而， 当时，递增；当时，递减； 且趋向0或时趋向，极大值为， 综上，当，原方程有无解；当，原方程有一个解；当，原方程有两个解； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例27】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 且，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点，使， 又当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，， 若，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点； 若，则，，则， 即在上没有零点； 若，因为，，所以， 即在上没有零点； 综上，函数在只有一个零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例28】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间，若与在区间上都单调递增或都单调递减，则称为区间上的自律函数若是上的自律函数． (1)求的取值范围 (2)若取得最小值时，只有一个实根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由， 得， ， 因为是上的自律函数，且在上不可能恒小于零， 所以与在区间上都单调递增， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若取得最小值时，只有一个实根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，， 令， 则， 由，得，得， ，解得或， 由，得，得， ，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 即在和上单调递增，在上单调递减， 因为只有一个实根， 所以的图象与直线只有一个交点， 因为，，， 所以或， 即实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29】（2025·江苏·一模）我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，． (1)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； (2)若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为恒成立，则在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即方程，即至少有两个不同实数解． 则的解集为，所以区间的选择共有种． 若，共有6种选择， 所以区间的长度的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）①因为在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若要存在两个零点，则，即． 此时，使得． 因为当时，，即函数单调递减， 所以，又， 所以，则，使得． 所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②因为，所以， 下证：．记， 则， 则在上单调递增，则，即， 即，所以． 所以，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 记，则， 时，单调递减；时，单调递增； 所以，即， 则，即，同理 因为函数的，且对称轴为， 则方程存在两根，且， 又，且，所以， 则， 所以区间的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减． (1)若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 因为函数是定义在上的凹函数， 所以在上单调递减， 设，则恒成立， 所以，，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）要证， 即证， 因为函数是凹函数， 所以，且， 有， 令，则， 所以， 因此上述不等式得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）对于，都有， 因为，所以， 设，则． ①当时，因为，则，则 ，则单调递减，所以， 因此满足题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②当时，令，所以， 所以当时，单调递增， 所以，从而，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（22-23高二下·陕西汉中·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的定义域为， ， 因为，可得，解得，可得， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高二下·上海·期末）设表示在处的导数值， 已知，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得 ， 令，则，解得， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（25-26高三上·上海·期末）函数的极大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由求导得，， 则当时，；时，；时,. 即函数在和上单调递减，在上单调递增. 故函数在处取得极大值，为 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（22-23高二下·上海闵行·期末）方程在上至多有两个不同的实根，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由可得，设， 依题意函数与在上至多有两个不同的交点. 由可得， 当时，，则在上单调递增； 当或时，，则在和上单调递减. 故时，取得极小值为，时，取得极大值为， 且当时，，当时，，故可作出函数的图象. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由图可得，函数与在上至多有两个不同的交点等价于或. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数的定义域为，则. 因为曲线在点处的切线为过点， 所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）依题知，恒成立， 即恒成立， 化简为. 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以在上单调递增，在上单调递减， 则恒成立， 整理得. 设， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，且， 故整数的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$