专题01 第5章 导数及其应用（考点串讲，12大考点&23大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

沪教版（2020）高二数学下学期·期末大串讲 专题01 第5章 导数及其应用 （ 12考点&23 题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 函数的平均变化率  考点透视 清单03 导数的几何意义  考点透视 清单04 曲线的切线问题  考点透视 考点透视 清单06 含参问题单调性讨论  考点透视 清单07 函数的极值  考点透视 清单08 函数的最大（小）值  考点透视 清单09 函数的最值与极值的关系  考点透视 清单10 分离参数法 考点透视 清单11 等价转化法  考点透视 清单12 最值定位法  题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 . 【考点题型一】求平均变化率 【例1】（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 【答案】 【详解】函数 在 到 之间的平均变化率是 所以或（舍）， 因此时，液体上升高度的瞬时变化率为. 【考点题型二】求瞬时变化率 【例2】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 . 【答案】8 【详解】易知，依题意可得， 则. 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算 【例3】（24-25高二下·上海·期中）设，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以切点坐标为； 因此切线方程为，即. 【考点题型四】求在某一点出切线 【例4】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则曲线在处的切线方程是 . 【答案】 【详解】易知，可得； 所以，所以，所以切点为. 则所求切线方程为，即； （2）若斜率不存在，直线符合题意， 若斜率存在，设切点， 则切线方程为 【考点题型五】求过某一点处切线 又切线过点， 所以，即. 所以切线方程为，即. 综上，切线方程为即或 【例5】（24-25高三·上海·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上与直线平行的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 【详解】（1）设切点为，由得， 因为切线与平行，所以， 因为函数在点处切线的斜率是4， 所以，解得. 【考点题型六】已知切线求参数 【例6】（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，， 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误 对于D：，故D正确. 【考点题型七】导数的加减乘除，复合运算 【例7】（24-25高二下·上海浦东新·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，故A错误； 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 【考点题型八】已知切线的条数求参数 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 【例8】（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设切点为，则，所以， 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，且， 消去得，故或， 所以直线l的方程为：或． 【考点题型九】公切线问题 【例9】（22-23高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：，即； 【考点题型十】求已知函数（不含参）的单调区间 【例10】（24-25高二下·天津滨海新·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由题设，令，即的单调递增区间为. 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 【考点题型十一】已知函数在区间上单调，求参数 【例11】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而，当时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 【考点题型十二】已知函数在区间上存在单调区间，求参数 【例12】（24-25高二下·重庆荣昌·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，在区间上有解， 令，得 ∵，∴ 当时，；当时，; 所以在区间上是增函数，在上是减函数. 若在上不单调，则， 【考点题型十三】已知函数在区间上不单调，求参数 解得. 即a的取值范围为. 【例13】（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，得， 【考点题型十四】讨论函数的单调性 【例14-1】（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为. ②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为. 综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；当时，函数单调增区间为. （2）因为，定义域为， 所以. ①当时，与在上的变化情况如下： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在及内严格增，在内严格减； 【例14-2】.（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； （2）函数的定义域为， 又， ②当 ，即时，由解得，． 由解得，；由解得，或，此时，在和上单调递减，在上单调递增． ③当 ，即时， 由，解得或（舍）， 由，解得；由，解得， 此时，在上单调递增，在上单调递减． 【例14-3】（2023·安徽合肥·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）的定义域为 ， ，． ①当，即时，恒成立，此时，在上单调递减． 又因为， 所以曲线在处的切线方程：，化简可得：. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 【考点题型15】求函数的极值，最值 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【例15】 （24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 因为函数在处的切线与x轴平行， 所以，解得． 【考点题型十六】根据函数的极值（点），最值求参数 【例16】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令得或， 所以当，即时 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； (2)求的极值点； （2）函数的定义域为， ． 当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件； 当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件； 综上，a的取值范围是 (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． （3）由（2）知，当时，函数在区间上严格减， 在区间上严格增，故函数在上的最大值是， 与已知矛盾； 因切点为，则，则， 故 【考点题型十七】借助分离变量法解决恒成立问题 【例17】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． (2)设，比较与大小关系，并说明理由； （2） 则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数． (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． （3）， 因对任意的恒成立，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【考点题型十八】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 【例18】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 令，， 则 由（1）知时，即 2）当时恒成立，所以； 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. (2)若在上有解，求实数的取值范围． 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 当，，单调递增， ； 【考点题型十九】借助分类讨论法解决恒成立问题 【例19】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； 【详解】（1），     当，，单调递减， 由解析式易知在 ， 上单调递增， 因为 ， 所以函数在有唯一零点 ，且， 因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根. (2)证明方程 有且仅有一正一负根: （2）方程 可化简为， 方程的根就是函数 的零点， ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， .∴ ②当时，，这与矛盾， 综上，． (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. （3）设， 则当时恒成立， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 【考点题型二十】最值定位法解决双参不等式问题 【例20】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； 【详解】（1）因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. (2)若在单调递增， 求的取值范围; （2），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. (3)当时，若，对使得，求的取值范围. （3）当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． 【考点题型二十一】讨论函数零点（方程的根）的个数 【例21】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 【详解】（1）若，则， 所以，则， 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以的最大值为 (2)设，当时，求函数的最大值； （2）， 函数的定义域为 ． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． ②当，即或时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【考点题型二十二】证明函数零点（方程的根）的唯一性 【例22】（2025·重庆·三模）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； 【详解】（1）， ①当，即时，恒成立，在上单调递增． 则在上单调递增，则，得证． (2)已知函数 ． ①若 ，求证： 当 时， ； （2）(i)， ， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得． 当时，单调递减； 当时单调递增． ， 故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意． 当时，由（i）可知不合题意，故舍去． 综上所述，的取值范围为． ②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围． （ii）当时，，同理有在上单调递增， 而， 对称轴，所以， 可得，即的最大值为. 【考点题型二十三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 【例23】（23-24高二下·四川德阳·阶段练习）设函数. (1)对于任意实数x，恒成立，求m的最大值； 【详解】（1）解：已知函数，，则， 因为对于任意实数x，恒成立，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，取极大值；当时，取极小值， 故当或时，方程仅有一个实根， 解得或，所以a的取值范围为. (2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围. （2）令，即，解得或， 当时，；当时，；当时，. 若，则， 由或；由. 所以在上单调递减，则上单调递增. 所以是函数的极小值，不合题意. 若，则， 由或；由. 所以在上单调递增，则上单调递减. 所以是函数的极大值.满足题意. 1．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极大值，则c的值为（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．2或6 【答案】B 【详解】因为， 所以. 因为函数在处有极值，所以，且， 所以， 所以或. 令，可得 当时，可得；当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以时，恒成立，即，所以在上单调递减 1．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 又由，，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 【详解】当时，令，解得或，有2个零点； 当时，令，即，在有且仅有1解， 令，可得 2．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，满足. (1)求实数的值； 【详解】（1）因为， 所以，又，解得； 当时，，即在单调递增. 故在处有极小值，无极大值. 综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. (2)求的单调区间和极值. （2）由（1）定义域为，且为增函数. 令可得， 故当时，，即在单调递减； 因为方程无实数根， 所以与无交点， 所以，即，所以实数的取值范围为. (3)方程无实数根， 求实数的范围. （3）由（2）可得在单调递减，在单调递增， 在处有极小值，即， 且当时， 所以的单调递增区间为及； 3．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； 【详解】（1） 由题意可得，， 令，解得或， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，，可得， 所以为单调递减， (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为． （2），， 则当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； $$