精品解析：山东省日照市新营中学2024-2025学年3月中考模拟测试数学试卷

2024-2025学年人教版中考数学模拟测 一、选择题（共10小题，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下表记录了四个地区的最低海拔． 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 米 米 918米 0米 以上四个地区海拔最低的地区是（ ） A. 死海 B. 吐鲁番 C. 乌鲁木齐 D. 青岛 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年春节假期浙江省累计旅游人数为35673000人次，其中数35673000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A. B. 1 C. D. 8. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（ ） A. 5800元 B. 5000元 C. 5300元 D. 5500元 二、填空题 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 已知a、b为常数，若的解集是 ，则bx-a<0的解集是_____________． 13. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 14. 有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是__________． 15. 中，，，．根据作图痕迹，点D是射线和直线的交点．连接，若的周长为18，则的面积为________． 16. 我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2015+i2016+i2017的值为 _______ 三、解答题 17. （1）计算：. （2）先化简，再从，2，3三个数中选一个合适的数求值. 18. 为了了解学生的计算能力，我区某中学举行了数学计算能力竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用表示，共分成4组：，，，）成绩达到分及以上为优秀．下面给出部分信息：七年级学生的数学成绩在组中的数据为：，，．八年级抽取的学生数学成绩：，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 （1）填空：___________，___________，m=_________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由； （写出一条理由即可） （3）该校七年级有人、八年级有人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生人数一共有多少人？ 19. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 20. 如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． （1）求的值； （2）如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，，交BC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求CF的长． 22. 如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年人教版中考数学模拟测 一、选择题（共10小题，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下表记录了四个地区的最低海拔． 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 米 米 918米 0米 以上四个地区海拔最低的地区是（ ） A. 死海 B. 吐鲁番 C. 乌鲁木齐 D. 青岛 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握负数小于零、正数大于零成为解题的关键． 直接根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的地区是死海． 故选A． 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 2025年春节假期浙江省累计旅游人数为35673000人次，其中数35673000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数35673000用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看，如图所示： 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方逐一判断各个选项即可 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，结合二次项系数不等于0，可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∵， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 8. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽取分式方程，理解题意是解题的关键．根据题中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵， 根据等量关系即可得到， 故选B． 9. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方形ABCD的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 【详解】∵，， ∴正方形ABCD的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 10. 一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（ ） A. 5800元 B. 5000元 C. 5300元 D. 5500元 【答案】D 【解析】 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故选：D． 二、填空题 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 12. 已知a、b为常数，若的解集是 ，则bx-a<0的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ax+b＞0的解集是x＜， 由于不等号的方向发生了变化， ∴a＜0，又 = ，即a=-3b， ∴b＞0， 不等式bx-a＜0即bx+3b＜0， 解得x＜-3． 点睛：本题考查了解不等式，解答这类题学生在解题时要注意移项要改变符号这一点．不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出a、b的取值范围及关系是解答此题的关键． 13. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 【答案】540 【解析】 【分析】连接DG、AC，在四边形EFGD中，根据四边形内角和为360°，三角形内角和为180°，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，进而即可求解． 【详解】解：连接DG、AC． 在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°， 又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°， ∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°． 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 14. 有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确理解题意是解题关键． 根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下． 钥匙锁 a b c d A ( A,a ) ( A,b ) ( A,c ) ( A,d) B ( B,a ) ( B,b ) ( B,c ) ( B,d ) 由上表可知，共有8种等可能的结果，一次就能打开锁的结果有2种． 所以一次就能打开锁的概率是． 故答案为： 15. 中，，，．根据作图痕迹，点D是射线和直线的交点．连接，若的周长为18，则的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了作图一复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点D作于点H，根据作法可得垂直平分，平分，从而得到，，再由的周长为18，可求出的长，再由勾股定理可得的长，然后根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H，过点D作于点E， 根据作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为． 故答案为：15． 16. 我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2015+i2016+i2017的值为 _______ 【答案】i 【解析】 【详解】试题解析： 可以发现它们4个一循环，一个循环的和为 故答案为 点睛： 可以发现4个数一个循环，而循环内的和为0.即可计算. 三、解答题 17. （1）计算：. （2）先化简，再从，2，3三个数中选一个合适的数求值. 【答案】（1）；（2）；只能取3，求值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，熟练计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，再加减即可； （2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件，把代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， ； 解：（2）原式 ， 且且， 只能取3， 当时，原式． 18. 为了了解学生的计算能力，我区某中学举行了数学计算能力竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用表示，共分成4组：，，，）成绩达到分及以上为优秀．下面给出部分信息：七年级学生的数学成绩在组中的数据为：，，．八年级抽取的学生数学成绩：，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 （1）填空：___________，___________，m=_________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由； （写出一条理由即可） （3）该校七年级有人、八年级有人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生人数一共有多少人？ 【答案】（1），，． （2）从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数和优秀率，八年级的数据均大于七年级的数据， 八年级学生计算能力较好． （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提． （1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数； （2）根据平均数和中位数的性质解答； （3）利用样本估计总体即可 【小问1详解】 解：七年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，即； 八年级的竞赛成绩出现次数最多的是，共出现3次，因此众数是，即； 八年级的竞赛成绩中分及以上的共有人，因此优秀率为，即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数和优秀率，八年级的数据均大于七年级的数据， 八年级学生计算能力较好． 【小问3详解】 （人） 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生人数一共有人． 19. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为 （2）慈氏塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 20. 如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． （1）求的值； （2）如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）1 （2） 如下图， ∵反比例函数的图像与分别交于点， ∴， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用、角平分线的性质定理、勾股定理、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先根据角平分线的性质定理以及点坐标，可得，进而可得，然后将其代入，即可求得的值； （2）根据题意作出图像，结合题意可得，进而可得，即可证明结论； （3）首先求得是面积，进而可得，结合，求得，进而解得，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵直线平分，轴于，轴于， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点代入， 可得，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，轴于，轴于， ∴， ∴， ∵四边形的面积是面积的， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即有，解得， ∴反比例函数的解析式为． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，，交BC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求CF的长． 【答案】（1） 证明：如答图1，（方法一） ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠DAC＋∠DCA＝90°， ∵CE是⊙O切线， ∴∠ACE＝∠DCE＋∠DCA＝90°， ∴∠DAC＝∠DCE， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DAB＋∠BCD＝180°， ∵∠DCF＋∠BCD＝180°， ∴∠DAB＝∠DCF， ∴∠BAC＝∠ECF． （方法二）如答图2，作EC的延长线EG， ∵AC为⊙O的直径 ∴∠ABC＝∠BAC＋∠BCA＝90°， ∵CE是⊙O切线， ∴∠ACG＝∠BCG＋∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝∠BCG， ∵∠ECF＝∠BCG， ∴∠BAC＝∠ECF． （2） 【解析】 【分析】（1）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆的内接四边形的在计算即可． （2）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如答图1，∵AC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝∠CDE＝90°， 由（1）知∠DAC＝∠DCE， ∴△ACD∽△CED， ∴ ∵AD＝4，CD＝2， ∴， ∴DE＝1， ∴CE＝＝ 由（1）知∠BAC＝∠ECF ∴， ∵EF⊥BC， ∴∠CFE＝90°， ∴在Rt△CEF中，， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数，圆的内接四边形性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数是解题的关键． 22. 如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）①； ②证明： ∵， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②略 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4）或或． 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程组或即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论： 第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点； 第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解． 【详解】（1）解点是一次函数第四象限图象的完美点， ， 解得：， 点的坐标为， 代入， 可得，； （2）解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点， 即完美点在直线或直线上， 或 解得：，或，， 二次函数图象的完美点分别是：，，，； （3）解：二次函数的图象上有且只有一个完美点， 在直线上， 有且只有一个完美点， ， 把点代入， 得， 解得：，， ； （4）或或； 解二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点， 即完美点在直线或直线上， 或 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， 或； 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， ， 综上所述，或或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $