精品解析：2025届湖南省郴州市高三三模数学试题

郴州市2025届高三第三次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则中所有元素和为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 1 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点 在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，角，，所对的边分别为，， ，若，，BC边上的高，则（ ） A. B. C. 8 D. 7. 已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中 、 、均为整数，若满足的点 的个数为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的表面积与体积的数值之比为3， ，分别是棱BC，的中点， 是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 多面体的体积为 C. 存在一点 ，使得 D. 若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 14. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点 在直线：上，过 向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为， ，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 16. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前 项和为，且，求数列的通项公式； （3）已知数列满足：，求数列的前 项和. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）若函数有两个不同极值点，证明：. 18. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点， 为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 19. 已知双曲线 ：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线 交于 ，两点，当直线垂直于 轴时，的周长为16. （1）求双曲线 的标准方程； （2）与 轴不重合的直线过点，双曲线 上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若，为双曲线 右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郴州市2025届高三第三次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则中所有元素和为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再求出，即可求出中所有元素之和. 【详解】因为集合，得， 又集合，所以， 所以中所有元素之和为. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，求出复数，得到共轭复数，最后根据模长公式计算即可. 【详解】满足，则，则.则. 故选：D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，可求出，，，再根据向量数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 又，得， 又，所以，即，解得. 故选A. 4. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点 在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、离心率等知识列方程，求得 ，进而求得椭圆的焦距. 【详解】依题意，解得， 所以焦距. 故选：B 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 6. 在中，角， ，所对的边分别为， ， ，若，，BC边上的高，则（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知BC边上的高，，根据三角形面积公式. 将，，代入可得：，，.  由余弦定理，可得：，即， 可得：，即，把代入上式可得： ，即.  因为 、 为三角形的边，可得：.  故选：A. 7. 已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可. 【详解】由， 不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且 若，则恒成立，不符合题意，可排除A项. 所以，此时在上单调递增， 依题意需使，解得. 故选：D 8. 定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、 、均为整数，若满足的点 的个数为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角不等式可得出当时，、 、，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】因为、、，则， 由三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 同理可得，，当且仅当 、时，等号成立， 又因为， 即，可得、 、， 又因为、 、都是整数，则、 、， 故满足条件的点 的个数为个. 故选：C. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据中位数、极差、上四分位数和方差的定义及计算公式，分别计算甲、乙得分的相应统计量，再对各选项进行判断. 【详解】将甲的得分从小到大排列为：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3. 因为数据个数为偶数，所以甲得分的中位数为. 将乙的得分从小到大排列为：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1. 同理，乙得分的中位数为. 由于，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，A选项正确. 甲得分的最大值是9.3，最小值是7.0，则甲得分的极差为. 乙得分的最大值是9.1，最小值是8.1，则乙得分的极差为. 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，B选项正确. ，，向上取整为 . 所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7， 由于，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，C选项错误. ，，向上取整为 . 所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7， 由于，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，C选项错误. 计算甲得分的平均数： , 甲得分的方差： . 计算乙得分的平均数： , 乙得分的方差： . 因为，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】因为当时，，可构造，进而可得，所以在上单调递增，结合的单调性，逐项判断即可. 【详解】因为当时，， 令，可得，所以在上单调递增. 因为，可得， 对于A，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故B错误； 对于C，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故D错误； 故选：AC. 11. 已知正方体的表面积与体积的数值之比为3， ， 分别是棱BC，的中点， 是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 多面体的体积为 C. 存在一点 ，使得 D. 若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是 【答案】BD 【解析】 【分析】由正方体的表面积、体积公式，棱锥的体积公式、异面直线的判断、及正方体截面的结构逐项判断即可. 【详解】 对于A，因为正方体的表面积与体积之比为3， 所以，解得，故A错误； 对于B，因为四面体的体积为， 所以多面体的体积为，正确； 对于C，设的中点为 ，连接，则，因为在平面内，而 是线段上一个动点，即点 在平面内，点在平面外，所以为异面直线，故C错误； 对于D，在正方体中，连接，易得， 又结合正方体的结构特点易证， 是平面内的两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，同理可证， 是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 又分别是棱BC，的中点， 所以平面截正方体的截面分别交棱的中点， 所以截面为正六边形，又，所以截面面积为，故D正确， 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得的单调递增区间，根据题目要求求得 的取值范围. 【详解】由解得，， 令，得， 依题意，在区间上单调递增， 则实数 的取值范围为. 故答案为： 14. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点 在直线：上，过 向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为 ， ，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得切线方程，进而得到直线的方程为，进而得到点的轨迹为以 为直径的圆，得到方程，过点与圆相切的直线的斜率为，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以，所以抛物线：； 设，不妨设， 由，可得，可得，则， 可得切线的方程为 因为点在直线上，可得， 同理可得：， 所以直线的方程为，可得直线过定点， 又因为在直线上的射影为，可得且， 所以点的轨迹为以 为直径的圆，其方程为， 当与相切时， 由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为， 可得切线方程为，则，解得或， 所以实数的范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （2）设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式圆求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. 【小问2详解】 记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 16. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前 项和为，且，求数列的通项公式； （3）已知数列满足：，求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质可求出，进而可求得数列的公差，进而可求得数列的通项公式； （2）当时，可求出的值，当时，由得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式； （3）利用错位相减法可求出. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，可得， 所以，数列的公差为， 故. 【小问2详解】 当时，，解得， 当且时，由得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项和公比均为 的等比数列，故. 【小问3详解】 由（1）（2）可得， 所以，， 则， 上述两个等式作差得 ， 整理得. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）若函数有两个不同极值点，证明：. 【答案】（1）的最大值为，无最小值. （2）证明：函数 对求导可得 令，得到. 设是的两个根，则①，② ①-②得③；①+②得④. ③④得， 即， 不妨设，令则， 即. 要证，即证， 即证，即证，即证，即证. 设，对求导可得 恒成立，故在上单调递增， 即故成立，即成立. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据函数与导数的关系判断即可求出最值； （2）利用极值点条件，结合对数运算和不等式证明乘积下限. 【小问1详解】 当时，对函数求导可得. 令，解得 . 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因此，在 处取得最大值，最大值为，无最小值. 【小问2详解】 略 18. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点， 为圆上异于点， 且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为 ），求直线AQ与直线所成角的范围. 【答案】（1） 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是 中点，所以是的中位线，则点 是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为， 在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. （2）的大小为 （3）线AQ与直线所成角的范围为 【解析】 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出 点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可知面，且因为 直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或 （舍）， 且因为，则，即. 【小问3详解】 因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为 ） 所以为直角三角形，且， 所以点 是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. 19. 已知双曲线 ：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线 交于 ， 两点，当直线垂直于轴时，的周长为16. （1）求双曲线 的标准方程； （2）与轴不重合的直线过点，双曲线 上存在两点， 关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若， 为双曲线 右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）4；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线 的标准方程. （2）（ⅰ）利用点差法列方程，化简求得正确答案. （ⅱ）设出直线 的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由，结合弦长公式以及来求得正确答案. 【小问1详解】 因为当直线 垂直轴时，将代入 ,得 , 所以,所以 , 因为双曲线 的离心率为的周长为16, 所以由题得 ， 解得 ， 所以双曲线 的标准方程为 ; 【小问2详解】 设 , （i）因为两点在双曲线 上,所以 两式相减得 , 得 , 即 ,所以 , 因为是 的垂直平分线，有，所以 , 即 ,化简得 ,故 . （ii）由题意可知直线 斜率存在且 , 设直线 的方程为: , 由 ，消去 并整理得 , 则 , 即 , 于是 点的坐标为 , 易知 ，所以 ,解得: , 代入得 , 得或 , 由在双曲线 的右支上得: , 得，即 , 且 , 综上得, , 又 , 所以 因为，所以 ，故 , 所以 , 所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $