2025届湖南省郴州市高三三模数学试题

郴州市2025届高三第三次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则中所有元素和为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 1 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（ ） A. B. C. 8 D. 7. 已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，，分别是棱BC，的中点，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 多面体的体积为 C. 存在一点，使得 D. 若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 14. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 16. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （3）已知数列满足：，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）若函数有两个不同极值点，证明：. 18. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 19. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16. （1）求双曲线的标准方程； （2）与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 郴州市2025届高三第三次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1）分布列： 0 1 2 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）的最大值为，无最小值. （2）证明：函数 对求导可得 令，得到. 设是的两个根，则①，② ①-②得③；①+②得④. ③④得， 即， 不妨设，令则， 即. 要证，即证， 即证，即证，即证，即证. 设，对求导可得 恒成立，故在上单调递增， 即故成立，即成立. 【18题答案】 【答案】（1） 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. （2）的大小为 （3）线AQ与直线所成角的范围为 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）4；（ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $