精品解析：广西防城港市高级中学等2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

2025年春季高二3月质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册､第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知数列，则该数列的第100项为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（ ） A. 数列为二阶等差数列 B. C. 数列为三阶等差数列 D. 数列为二阶等差数列 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处可导，若，则__________. 13. 已知椭圆的离心率为，则的长轴长为__________. 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第20项为__________，五边形数的第24项为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值1. （1）求； （2）求在上的单调区间. 16. 如图，在四棱锥中，于，,平面. （1）判断与是否垂直并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m的取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若在上不单调，求实数的取值范围； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季高二3月质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册､第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知数列，则该数列的第100项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察得到数列的通项公式，将代入求值即可. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：A 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导数，令，求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，令，解得， 所以的单调递增区间是. 故选：D 3. 已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义可知，结合抛物线方程运算求解即可. 【详解】由抛物线可知准线为， 设， 根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以M到y轴的距离为. 故选：B. 4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，由函数单调递增，得到导函数恒成立，从而转化为二次函数恒成立问题处理即可，注意检验导数等于0的点不构成区间. 【详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立，则，得．经检验，此时在上单调递增. 故选：C. 5. 在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，化简方程，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由，则，解得. 故选：D. 6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围. 【详解】函数在上有极值， 即在上有变号零点， 也即方程在上有两不等实根， 由可得，当且仅当时，等号成立， 故需使. 故选：B. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造法可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解. 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 11. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（ ） A. 数列为二阶等差数列 B. C. 数列为三阶等差数列 D. 数列为二阶等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知关系式可推导出是等差数列，即可判断A；根据已知结论可求出数列的通项公式，即可判断B；根据高阶等差数列的定义，结合已知结论，可分别计算并判断C、D. 【详解】对于A，因为，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，所以数列为二阶等差数列，故A正确； 对于B,因为， 所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，令，则，所以数列是二阶等差数列，数列为三阶等差数列，故C正确； 因为，所以，所以数列为二阶等差数列，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处可导，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数的定义分析即可. 【详解】因为， 所以， 即. 故答案为：4. 13. 已知椭圆的离心率为，则的长轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用离心率计算的值即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴椭圆离心率，解得， ∴， ∴的长轴长为. 故答案为：. 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第20项为__________，五边形数的第24项为__________. 【答案】 ①. 210 ②. 852 【解析】 【分析】由题意，观察规律，利用等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】三角形数的第1项为1，第2项为，第3项为， 第4项为， 因此第20项为. 五边形数的第1项为1，第2项为， 第3项为， 第4项为， 因此第24项为. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值1. （1）求； （2）求在上的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以. 因为， 所以. 经检验，符合题意. 【小问2详解】 由（1）知， 则. 令，得或. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增. 故在上的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 如图，在四棱锥中，于，,平面. （1）判断与是否垂直并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）不垂直，理由如下： 因为平面，且平面，所以, 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则， 因为且，所以，所以， 所以， 所以， 所以异面直线与不垂直. （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意，求得，得到，求得，得到直线与不垂直. （2）由（1）中的空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 异面直线与不垂直，理由略； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 因为，则， 取，可得，所以 设平面的法向量为， 因为，则， 取，可得，所以 设平面与平面的夹角为， 由图形可得，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； (2)利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； 【小问2详解】 当时，有 当时，有， 所以有 . 18. 已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m的取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）（i）设，，联立直线与双曲线方程，结合判别式运算求解；（ii）结合韦达定理代入计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意可知：，且， 结合，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，， 联立方程，消去x得， 由题意得且，解得或，， 所以m的取值范围为； （ii）由（i）可知，. 因为为双曲线的左顶点，则，可得，， 则 ， 故是定值，该定值为. 19. 已知函数. （1）若在上不单调，求实数的取值范围； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分，两种情况求得函数的单调区间，结合题意可得，求解即可； （2）由题意得对恒成立，当时，可得，令，求导，求得的最大值； （3）令，求导得，二次求导判断的单调性，进而分和两种情况讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意， 所以.令，得；令，得. 可知在上单调递减，在上单调递增. 因为在上不单调，所以，得. 【小问2详解】 因为对恒成立， 所以对恒成立. 当时，不等式成立. 当时，得. 令，则. 令，则. 所以在上单调递减，所以，即. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围为 【小问3详解】 因为对恒成立， 所以对恒成立. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，而. 当时，恒成立，此时在上单调递增，恒成立. 当时，因为， 所以在内存在，使得. 当时，，所以在上单调递减，，不符合题意. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $