2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中平行四边形存在性问题

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练 反比例函数中平行四边形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得，求k的值． 2．如图，直线：与反比例函数图象交于点和点B， (1)求a，k的值和点B的坐标； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线，分别与反比例函数图象交于C，D两点，点C在第一象限，连接和，求四边形的面积； (3)若（2）中得到的平行四边形内（不含边界）的点称为“规矩点”，将反比例函数图象上的一点绕直线上的一个点逆时针旋转90度得到点，如果点是“规矩点”时，求的取值范围． 3．如图，一次函数 的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（）交于点，点的横坐标为2，点与点关于原点对称． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)反比例函数图象与（2）中所作的角平分线相交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值； (2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D． ①若，求的面积； ②若四边形为平行四边形，求m的值． 6．如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 7．如图，已知反比例函数的图象与直线将于交于、两点，直线交轴于点，点是轴正半轴上的一点，      (1)求反比例函数及直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，，为轴正半轴上一点，连接，，的面积为6． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)若为反比例函数图像上的一点，为轴上一点，是否存在点，，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边分别相交于点E、F，将沿对折后，C点恰好落在上． (1)求证：与的面积相等； (2)求反比例函数的解析式； (3)如图2，P点坐标为，在反比例函数的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值． (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由． 11．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标；并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数（）的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积； (3)设M是反比例函数（）图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，连接并延长与反比例函数的图象交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是否在双曲线上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B．已知点A的纵坐标为6． (1)求k的值： (2)点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 15．如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点． (1)求k的值； (2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中平行四边形存在性问题》参考答案 1．(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）把代入得，把代入得；把代入得； （2）设，由（1）知，，而，①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，③当，为对角线时，，的中点重合，，分别解方程组可得答案； （3）设点，则点，根据，得，即：，解得：，（不合题意，舍去），求得点，再用待定系数法求出直线解析式为，又有且只有一点，则只有一个解，即有两个相等实数根，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 把点代入得，即：，则， 所以，， （2）解：设， 由（1）知，，而， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ， 这种情况不符合题意； 综上所述，的坐标为或，的值为； （3）解：设点，则点， ∵ ∴，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴点， 设直线解析式为， 将点、点代入， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵过两点的直线与双曲线有且只有一点， ∴，即：方程有且只有一个解， ∴，得． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，平行四边形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 2．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）先求出即可求出反比例函数解析式为：，再联立，即可得，问题得解； （2）根据平移可得直线：，再联立，可得，，连接，证明是直角三角形，即可得四边形是矩形，问题随之得解； （3）先求出，过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G，在求出，当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，表示出，结合，可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，代入点可得：；当点在矩形的边上时，设交直线于点K，证明是等腰直角三角形，即有，即可得，问题得解． 【详解】（1）当时，， ∴，即， 将代入中，有， ∴反比例函数解析式为：， 联立：， 解得：，或， ∴， 综上所述：，，； （2）∵直线：向下平移4个单位后得到直线， ∴直线：， 联立：， 解得：，或者， ∴，， 连接，如图， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 同理可证明， ∴四边形是矩形， ∴； （3）当时，， ∴， 过点P作轴于点N，过Q点作于点M，设直线：分别与x轴、y轴交于点H、G， 当时，， 当时，有，解得：， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 当点在矩形的边上时，将绕点Q逆时针旋转，可得到，如图， 根据旋转有：，，，，， 又∵，轴， ∴，轴，轴， ∴轴， ∵，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在矩形的边上时，， 解得：； 当点在矩形的边上时，设交直线于点K，如图， 根据旋转有：， ∴， ∵轴，， ∴轴， 又∵直线的解析式是：， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，点与点重合， 又∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可知：如果点是“规矩点”时，求的取值范围为：． 【点睛】本题是一道反比例函数和一次函数的综合题，涉及待定系数法，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，旋转的性质等知识，难点在第（3）问，确定出临界点，是解答本题的关键． 3．(1)，反比例函数的表达式为 (2)图见详解 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合题型． （1）先用一次函数解析式求出，再用待定系数法即可； （2）用尺规作图作角平分线即可； （3）用一组对边平行且相等来判定即可，具体见详解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点 在中，当时， 点在反比例函数的图象上 反比例函数的表达式为； （2）如图： ； （3）如图， 平分 点与点关于原点对称，点在轴上 又 在中，当时，， 又 四边形是平行四边形． 4．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可； （3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，分两种情况求解， ①如图1，当点C在A点下方时，           图1 ∵，， ∴点C为中点， ∴点C纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴C； ②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于， ∵，， ∴，即，解得， 当时，， 解得，， ∴C ， 综上所述，点C坐标为或． （3）解：当时，，即， 如图3， ①当为平行四边形的边时，是平行四边形， 则，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形， ∵，， Q点纵坐标为0， ∴对角线中点的纵坐标相同，即， 解得，， 当 时，， 解得， ∴． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题的关键． 5．(1) (2)①；② 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握一次函数的平移规律和中点坐标公式是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出和的值即可； （2）①一次函数的平移遵循“上加下减”，据此求出平移后的解析式，进而确定点和的坐标，用求面积；②用含的代数式表示点和的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 解得： 的值； （2）把一次函数向下平移个单位长度后，则其解析式为 则直线与y轴交于点C坐标为，与x轴交于点D坐标为 时，C坐标为，D坐标为. 连接，如图所示， ②直线与x轴交于点B坐标为 ，， 四边形为平行四边形， 对角线、互相平分. 由或由， 解得． 的值为． 6．(1)， (2)或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式；平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求出一次函数解析式，再求出，即可求出反比例函数表达式； （2）设点，由平行四边形的性质列出等式即可求解． 【详解】（1）设直线的解析式为， 把点代入得， ， 解得：， 故直线的解析式为， 将点代入得，解得， 故点， 将代入得， 故反比例函数的表达式为． （2）设点， ∵以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形， 故或， 解得或或或， ∴或或或． 7．(1)； (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据，可得，据此求出，进而可得点的坐标； （3）分为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，以及为平行四边形的对角线三种情况，根据平行四边形对角线中点重合列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 反比例函数的解析式为：； 将代入，得， ， 经过两点， ， ， 直线的解析式为； （2）解：在中，令，得， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为或或． 设直线的解析式为 则， 解得， 直线的解析式为：； 设， 当为平行四边形的对角线时，的中点重合， ， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，的中点重合， ， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，的中点重合， ， 解得， ． 综上所述，点的坐标为或或．    【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，平面直角坐标系内三角形面积问题以及平行四边形的存在性问题，解题的关键是掌握数形结合思想，第三问注意分情况讨论． 8．(1)，一次函数的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）设，先求出一次函数与x轴的交点坐标，再根据的面积为6建立方程求解即可； （3）设，，当点F在x轴负半轴上时，，为对角线，可得，的中点相互重合，据此建立方程组求解即可；当点F在x轴正半轴上时，推导出点E不在反比例函数图象上． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将和分别代入，得 ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）令，则， 一次函数与x轴的交点坐标为， 设， ，， ， ， ； （3）设，，又，， ①如图，当点E在第四象限，点F在x轴负半轴上时，存在，此时，为对角线，且，的中点相互重合， ，即， 解得， ； ②当点F在x轴正半轴上时，点E必须在直线上（不与点B重合）， 则点E不在反比例函数图象上，与题设矛盾， 故此时不存在； 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 9．(1)见解析 (2) (3)，或，或， 【分析】（1）根据矩形的性质得到轴，轴，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）设，由折叠的性质可得，，，证明，得到，据此求出， 在中，由勾股定理得建立方程，解方程即可得到答案； （3）当是平行四边形的边时，如图2所示，线段可以看做线段沿的方向平移所得．设，根据点的坐标可得平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，则点M的坐标为，把代入反比例解析式得，解方程即可得到答案；当为对角线时，如图3所示：设，由平行四边形对角线中点坐标相同，得到，解得或（舍去），据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵∵点E、F均是反比例函数上的点， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴， 如图1，将沿对折后，C点恰好落在上的G点，作，垂足为H， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：当是平行四边形的边时，如图2所示： ∵四边形是平行四边形， ∴线段可以看做线段沿的方向平移所得． 设， ∵的对应点是， ∴平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， ∴点M的坐标为 把代入反比例解析式得， 整理得， 解得或； 当时，， ∴， ∴，； 当时，， ∴，， ∴，； 当为对角线时，如图3所示： 设， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴，解得或（舍去） ， ∴，； 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，点的坐标平移规律，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 10．(1)3，6； (2) (3)存在，坐标为或或 【分析】（1）将代入一次函数求出一次函数解析式，再将代入一次函数求出n，代入反比例函数即可得到答案； （2）求出B点坐标，连接，根据列方程即可得到答案； （3）根据平行四边形性质对角线互相平分，分、、三个对角线讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数得， ，解得：， ∴， 将代入得， ， 将代入反比例函数得， ， 故答案为：3，6； （2）解： 当时，， ∴， 由题意可得， ， 解得：； （3）解：由（2）得，，，， 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 综上所述Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，围成特殊图形及面积问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论． 11．(1)， (2) (3)点坐标为或或，见解析 【分析】（1）先确定点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，，则，再由，求出的值即可求点坐标； （3）先求平移后的直线解析式为，则，设，根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论即可． 【详解】（1）点，在反比例函数图象上， ， 解得， ， 反比例函数的解析式为； 设一次函数的解析式为， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）直线与轴的交点， 设，， ， ， ， 解得， ； （3）设直线向上平移后的函数解析式为， 在反比例函数图象上， ， ， 将点代入，则， 平移后的直线解析式为， ， 设， ①当为平行四边形的对角线时，，， ； ②当为平行四边形的对角线时，，， ； ③当为平行四边形的对角线时，，， ； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 12．(1)； (2)8 (3)点的坐标为，或，或， 【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， ， 的面积； （3）解：由（2）知，直线的表达式为，反比例函数的表达式为， 设点，， 若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则①以和为对角线时， ，， ，或（此时，点不在第一象限，舍去），， ，， ②以和为对角线时， ，， 或（此时，点不在第一象限，舍去）， ，， ③以和为对角线时， ，， 解得 当在的右侧时， ，， 即满足条件的点的坐标为，或，或，． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键． 13．(1)， (2)存在，32 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定出反比例解析式，将点坐标代入反比例函数解析式求的值，确定出点坐标，将与两点坐标代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）根据中心对称求得的坐标，然后根据平移的性质和的坐标即可求得的坐标，作轴于，轴于N，设直线交轴于，则，根据求得的面积，进而即可求得平行四边形的面积． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：， 则反比例解析式为； 将代入反比例解析式得：，即， 将与坐标代入中，得：， 解得：， 则一次函数解析式为； （2）解：存在， ∵、关于原点对称，，    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 解，得或， ∴； 作轴于，轴于，设直线交轴于，则， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 14．(1)48； (2)见解析 【分析】（1）将点A的坐标代入求得，再把点A的坐标代入求出； （2）以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，当是对角线时，由中点坐标公式得∶，即可求解；当是对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：设点， 把代入得， ，即点 把代入得， ； （2）解：∵与轴交于点， ∴， 由（1）知，反比例函数的表达式为：， 由点在反比例函数的图象上，设点， ∵，点的纵坐标为， ∴当是对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得，即点； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得 ，此时点，，， 在一条直线上，应舍去； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得 ，即点； 综上，点的坐标为或 ． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和平行四边形的性质，熟练利用用待定系数法求反比例函数的解析式、利用平行四边形的性质以及分类讨论思想求解是解题的关键． 15．(1) (2)，或，或， (3)，不发生改变，理由见解析 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标； （3）连接、、，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，解得：， ，， E为中点， ， 设， 又， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点P在双曲线上，点Q在y轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形， 则，解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形， 则，解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时， ，且； ，解得， ，； 综上：，或，或，； （3）解：的值不发生改变， 理由：如图4，连接、、， 是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在与中， ， （）， ，, ， 四边形中，，而， 所以，，   因为，四边形内角和为， 所以， ， ， 即的值不发生改变． 【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$