重庆市2025年中考数学押题卷（二）

重庆市2025年中考数学押题卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在，0，2，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．2 D． 2．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过点，那么的值为（　　） A．3 B． C．6 D． 4．如图，，交于E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（     ） A．21 B．24 C．27 D．30 7．估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算： ． 12．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 13．小欢收集了“二十四节气”主题卡片，她要将“立夏”、“小满”、“芒种”、“夏至”四张卡片中的两张送给好朋友小乐．小欢将卡片洗匀后，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐抽到的恰好是“芒种”和“夏至”的概率是 ． 14．某新能源公司计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为10亿元，2024年全年投入的研发资金为25亿元，设每年平均增加率为，可列出方程为 ． 15．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 16．如果关于x的分式方程有非负整数解，关于y的不等式组有且只有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和是 17．如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 18．如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)； (2)． 20．为了了解学生的计算能力，我区某中学举行了数学计算能力竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用表示，共分成4组：，，，）成绩达到分及以上为优秀．下面给出部分信息：七年级学生的数学成绩在组中的数据为：，，．八年级抽取的学生数学成绩：，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 (1)填空：___________，___________，m=_________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由； （写出一条理由即可） (3)该校七年级有人、八年级有人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生人数一共有多少人？ 21．已知四边形是矩形，是对角线，于点， (1)尺规作图：过点A作垂线，使得于点（不写做法）； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形： 四边形是矩形 __________，． ， ，， __________， （__________） __________ 又， ， __________ 四边形是平行四边形．（__________） 22．取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 23．如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 24．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈） 25．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)抛物线顶点为D，连接、、，求点D到的距离； (2)如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 26．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； (3)如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2025年中考数学押题卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在，0，2，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数概念及分类，涉及整数定义与分类、无理数等知识，熟记负整数定义即可得到答案，熟记实数概念及分类是解决问题的关键． 【详解】解：在，0，2，这四个数中，负整数是， 故选：A． 2．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选B． 3．若反比例函数的图象经过点，那么的值为（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求反比例系数，掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意，把点代入计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故选：D ． 4．如图，，交于E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选D 5．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故选C． 6．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（     ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】B 【详解】解：第①个图形中一共有：1+2+3=6个； 第②个图形中一共有：2+3+4=9个； 第③个图形中一共有：3+4+5=12个； ……； 以些类推，第n个图形中一共有：n+（n+1）+（n+2）=3（n+1）个． 则第7个图形中一共有：7+8+9=24个． 故选B． 7．估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在3和4之间， 故选：C． 8．如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作，，连接，设与交于点，与交于点，根据菱形的性质，角度和差，角平分线的性质证明，，从而证明∴，故有，则四边形面积四边形面积面积，然后求出，，然后求出面积即可． 【详解】解：过作，，连接，设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形面积四边形面积面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形面积面积， ∴阴影部分的面积扇形面积四边形面积， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 9．如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理．过点作，连接，证明，，得出，，设，则，，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作，连接， 为中点， ， 四边形是正方形， ， 是角平分线， ， ， ， 同理可得， ， 设，则，， ， 解得， ． 故选：C． 10．对于两个多项式，若满足下列两种情形之一： （1）； （2）； 则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式． 对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①； ②； ③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意列出到的值，找出值为的规律，即可判断①，计算，即可判断②，找出的的值，根据规律计算的个数，即可判断③， 本题考查了整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，， ，， ，， ，，…； ∴、、、、…多项式为， 即：，，2，3，…， 当时，，故①正确； ，故②错误； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当，5，8，…，即：，，2，3，…，时，， 当时，，，不符合题意， 当时，， ∴当时，有， 即共有个值，满足； ∵在序列中，当时，共有个的差， ∴在序列中，有（个）值使得， 故③不正确， 综上所述①正确，个数为1， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，利用计算法则计算即可解答，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查多边形内角与外角，先求出多边形的内角和的度数，再设多边形的边数为，列出关于的方程式即可得出答案．熟练掌握多边形内角与外角和公式是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的内角和比外角和多， ∴多边形的内角和为， 设多边形的边数为， 则， 解得：． 故答案为：8． 13．小欢收集了“二十四节气”主题卡片，她要将“立夏”、“小满”、“芒种”、“夏至”四张卡片中的两张送给好朋友小乐．小欢将卡片洗匀后，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐抽到的恰好是“芒种”和“夏至”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：把“立夏”、“小满”、“芒种”、“夏至”四张卡片分别记为A、B、C、D， 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中小乐抽到的恰好是“芒种”和“夏至”的结果有2种， ∴小乐抽到的恰好是“芒种”和“夏至”的概率是， 故答案为：． 14．某新能源公司计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为10亿元，2024年全年投入的研发资金为25亿元，设每年平均增加率为，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列方程即可，解题关键是正确寻找等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．再根据，列出比例式求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，在上取点，使．作，交于点． 则， ， 即为的最小值． ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 16．如果关于x的分式方程有非负整数解，关于y的不等式组有且只有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和是 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m的值，求出之和即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 由解为非负整数解，得到，，即且， 不等式组整理得：， 由不等式组只有3个整数解，得到，即， 解得：， 则符合题意，之和为， 故答案为：． 17．如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 【答案】 8 / 【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出． 【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示： ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：8；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 18．如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 【答案】 21 4117 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到S各个数位上的数字，表示出S和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的S的最大值． 【详解】解：由“会意数”得， ∴； ∵四位自然数是“会意数”， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴是整数， ∴是8的倍数， ∵，，且b、d均为正整数， ∴要使S取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小，则，， ∴满足是8的倍数，此时， ∴满足条件的数S的最大值是4117， 故答案为：21，4117． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算以及分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）原式完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并同类项即可得到答案； （2）原式先利用异分母分式加减法法则计算括号内的，再计算除法转换为乘法后约分后可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．为了了解学生的计算能力，我区某中学举行了数学计算能力竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用表示，共分成4组：，，，）成绩达到分及以上为优秀．下面给出部分信息：七年级学生的数学成绩在组中的数据为：，，．八年级抽取的学生数学成绩：，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 八 (1)填空：___________，___________，m=_________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由； （写出一条理由即可） (3)该校七年级有人、八年级有人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生人数一共有多少人？ 【答案】(1)，，． (2)从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数和优秀率，八年级的数据均大于七年级的数据， 八年级学生计算能力较好． (3) 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提． （1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数； （2）根据平均数和中位数的性质解答； （3）利用样本估计总体即可 【详解】（1）解：七年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，即； 八年级的竞赛成绩出现次数最多的是，共出现3次，因此众数是，即； 八年级的竞赛成绩中分及以上的共有人，因此优秀率为，即． 故答案为：，，． （2）解：从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数和优秀率，八年级的数据均大于七年级的数据， 八年级学生计算能力较好． （3） （人） 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生人数一共有人． 21．已知四边形是矩形，是对角线，于点， (1)尺规作图：过点A作垂线，使得于点（不写做法）； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形： 四边形是矩形 __________，． ， ，， __________， （__________） __________ 又， ， __________ 四边形是平行四边形．（__________） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧与交于两点，再以这两点为圆心，适当长度为半径画弧交于一点，过这点和点A做垂线即可得到答案． （2）由矩形性质确定，然后得到，由全等的判定与性质得到，最后根据平行四边形的判定定理即可得证． 【详解】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交对角线于点M、N，再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，交于点P，画射线AP，交对角线于点F，即为所求． （2）连接、，求证：四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，． ， ，， ， （_AAS）， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题考查尺规作图-作垂线，垂直定义、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握基本尺规作图、灵活运用几何判定与性质证明是解题的关键． 22．取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】(1)A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元 (2)每台B型取暖器应降价40元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． （2）设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 23．如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：根据函数图象， 当，则，解得：， ； 当，则，解得：， ； 综上，时的取值范围为或． 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 24．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈） 【答案】不满足安全要求，理由见解析． 【分析】在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通过已知条件可证得四边形EACG是矩形，从而可得GC=AE=2m；这样可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5，由此可知：“设计方案不满足安全要求”. 【详解】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下： 在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°， ∴BC==15m， 在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°， ∴GF=≈=20m， ∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC， ∴EG∥AC， ∴四边形EGCA是矩形， ∴GC=EA=2m， ∵BD=5m， ∴DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5， ∴施工方提供的设计方案不满足安全要求． 25．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)抛物线顶点为D，连接、、，求点D到的距离； (2)如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)D到的距离为 (2) (3)存在，， 【分析】（1）先求出A、B、C、D的坐标，然后利用求出，最后根据等面积法求解即可； （2）先求出的解析式为；连接，作轴交于Q，根据，可得设，则，，故当时，，此时P的坐标为．将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为，连接交于y轴于点M，交于x轴于点N，则，然后利用两点间距离公式求解即可； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于，证明，得出，则可求，求出直线解析式，联立方程组，求出方程组的解即可求出的坐标；在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于，证明，得出，则可求 ，求出解析式，联立方程组，求出方程组的解即可求出的坐标． 【详解】（1）解：当时，，故， ， 当时，或，故，， ， 对称轴， 当时，，故， 连接， ，， 设点D到的距离为h， ，得， ∴D到的距离为； （2）解：，， ，则， 设解析式为， 代入，，得， 解得， ∴的解析式为； 连接，作轴交于Q， ， 设，则， ， ， 当时，，此时P的坐标为． 将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为 连接交于y轴于点M，交于x轴于点N， 则； （3）解：抛物线沿着射线平移个单位时，函数图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位， 平移后的新抛物线， 在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于， 又， ， ， ，， ， ， 同理可求， 联立， 解得或（舍）， ， 在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于， 则， 又， ， ， ， 同理可求， 联立， 解得或（舍） 综上，，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类是解题的关键． 26．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； (3)如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，进而证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）如图所示，在上取一点T，使得，连接，先证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，设，则，；证明，得到；设，则，，，，；如图所示，过点F作分别交延长线于S、K，证明，是等边三角形，得到，，则，，证明，得到，推出，则，；如图所示，取中点R，连接，由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，故当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，如图所示，过点A作于V，则，进而得到，，由勾股定理得，则，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中，      ∴． ∴， 又∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，      ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵∠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点F作分别交延长线于S、K， ∴， 又∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，取中点R，连接， 由折叠的性质可得， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值， 如图所示，过点A作于V， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题综合性强，主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，推出是解题的关键． 试卷第32页，共32页 试卷第31页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $$