二次函数中直角三角形的存在性问题 2025年中考数学复习专项

二次函数中直角三角形的存在性问题 2025年中考数学复习专项 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动时，若是直角三角形，点的坐标为________；（直接写出） ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 2．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线 经过点 A，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上一动点，过点 作轴的垂线，交直线 于点M，设点 P 的横坐标为m．连接 ，当 是直角三角形时，求点 P 的坐标． 3．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 4．过，，，直线为对称轴，一次函数过A、C． (1)求一次函数与二次函数的表达式． (2)点M在直线l上，当最小时，求M坐标． (3)l上有一点P，当为直角三角形求P的坐标． 5．如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线交轴于，B两点，交轴于点，点是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)设点在轴上，且点的坐标为，连接交抛物线于点，连接，求四边形的面积． (3)如图2，设点为抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交直线BC于点．当与相似时，求点的坐标． (4)设点是抛物线在第一象限内的一个动点，在坐标平面内是否存在以B，C，T为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点是边上的一个动点．将线段绕点顺时针旋转的度数到，点的对应点是点．二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的表达式； (2)当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求的长； (3)如图2，过点作轴的平行线交位于第一象限的抛物线于点，连接，，若为直角三角形，求此时点的坐标． 9．已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线． (1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______； (2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位后得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，在原抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为一直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，，分别是抛物线：上的三点，点P为抛物线上一动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)当是以为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标； (3)若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由． 13．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．    (1)如图1，当时，求证：为直角三角形； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若． 直接写出n的值． 15．如图所示，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线上方，试求出面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G．当为直角三角形时，请直接写出点G的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数中直角三角形的存在性问题—2025年中考数学复习专项》参考答案 1．(1) (2)①或；②的最大值为， 【分析】（1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①根据题意，若是直角三角形，则或，分别画出示意图，讨论即可；②过点Q作于点H，直线的解析式为，求出，得到，证明，推出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线； （2）解：①根据题意，若是直角三角形，则或， 如图，当时， ∵，轴，交于点，交抛物线于点， ∴将代入直线，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 如图，当时， 同理得到，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 综上，是直角三角形时，点的坐标为或； ②如图，过点Q作于点H， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 2．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、相似三角形的判定与性质． （1）根据直线 经过点 A，C求出点坐标，再由待定系数法求出解析式； （2）分，两种情况，分别根据图形得特点求解． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C， ∴，． ∵抛物线经过点A，C， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为． 当是直角三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如解图①，轴，则． 解图① 解得 （舍去），． ∵当时，， ∴点P的坐标为； （ⅱ）当时，如解图②，过点P作轴于点N， 解图② ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴，． 即． 解得（舍去），． ∵当时，， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 3．(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 4．(1)， (2) (3)或或或 【分析】(1)根据待定系数法即可直接求出一次函数解析式，根据A点坐标和对称轴求出B点坐标，利用交点式即可求出二次函数解析式； (2)利用轴对称性质即可求出直线与直线的交点即为点M，即可求出坐标； (3) 分，，，三种情况，设，由勾股定理及等腰三角形的性质分别求出P点的坐标即可． 【详解】（1）解：过，，，直线为对称轴， ，， 解得，， 二次函数表达式为：， 一次函数过A、C， ， 解得， 一次函数表达式为：； （2）解：点与关于直线对称， 直线与直线的交点即为点M， 时，， ； （3）解：①若， 如图，作轴于点Q， ， ， ， ，得:； ②若， 与x轴所夹锐角为， ，得: ; ③若，设， 则，，， ， 解得: ，， ， 综上或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，勾股定理，直角三角形的存在性问题等知识． 5．(1) (2) (3)见解析 (4)存在，和 【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点作轴于，交于点，根据，则，进而根据三角形面积公式，进行计算即可求解； （3）根据点，，，得出，，，在中，根据勾股定理，在中，，，根据勾股定理逆定理得出即可； （4）根据题意分点在下方、在的延长线上取一点，使，作出，连接，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于，点在上方，延长到，使，连接并延长交轴于，作出，两种情况求出点，和点的坐标，进而利用待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵交坐标轴于，两点， 当时，，则点， 当时，， 解得，点， ∵， ∴ ，解得， ∴二次函数解析式为：； （2）过点作轴于，交于， ∵，在直线：上， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）证明：点，点，， ，，， ， 在中，根据勾股定理＝， 在中，， （）， ，即， ， 是直角三角形； （4）存在点，使．   当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于 ，，， ， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ∴， 设的解析式为：， ， 解得：，， 的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 当点在轴上方的抛物线上时： 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点， 轴，， ，， 同理可得，的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为： 和． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和性质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键． 6．(1) (2)，的面积S有最大值 (3)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解； （2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值． （3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，其对称轴为直线， ∴，解得 ∴． （2）解：设直线的解析式为，则 解得 ∴直线解析式为． 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得 ∴ 过点E作轴，交于点G， 设，则 的面积 ∴ ∴当时，的面积有最大值． 此时，， ∴． （3）解：存在． 设点，则 ； ； ； ①若，则， ∴，解得， ∴； ②若，则， ∴，解得， ∴； ③若，则， ∴， 解得， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键． 7．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，进而求出点的坐标，分割法求出四边形的面积即可； （3）设，根据与相似，得到是等腰直角三角形，进行求解即可． （4）分点为直角顶点和点为直角顶点两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ，解得， ∴； （2）∵，当时，， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或 ∴， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， ∴， 设， ∵过点作轴，垂足为，交直线于点， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵与相似， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或或（舍去）； 当，，当时，； （4）①当点为直角顶点时，如图： 由（3）知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； 当点为直角顶点时，过点作轴，过点作，如图： 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）或（舍去） 或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，分割法求面积，以及相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 8．(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，交于点，过点作轴，证明，得到点在所在的直线上移动，进而求出的解析式，根据点在抛物线的对称轴上，求出点坐标，进而求出的长，即可； （3）分和，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点， ∴， ∵二次函数的图象经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）过点作，交于点，过点作轴， ∵旋转， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点在上移动时，点在所在的直线上移动， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， 在中：，即：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为， ∴当点在对称轴上时，， ∴， ∴， ∴； （3）存在：①当时，如图， 此时点在线段上， 由（2）知，， ∵轴，点在抛物线上， ∴； ②当时，如图：设交于点， 设点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，旋转的性质，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 9．(1) (2)或或或 【分析】（1）先求出，由旋转的性质得到，则，解方程求出，再把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可； （2）求出对称轴为直线，设，则，，，分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 解方程得， ∵点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧， ∴， 设经过A、B、C的抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴经过A、B、C的抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键． 10．(1)， (2)点P的坐标为：（）， (3)存在，或 【分析】（1）由二次函数表达式和坐标轴上点的特点即可得出答案； （2）由点的坐标求出直线解析式，并分类讨论直角顶点即可得出答案； （3）分类讨论对角线的情况，结合正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， ， 当时， 或， ， 当时，， ， 点M是的中点， ； （2）由（1）可得直线的表达式为：， 轴， ， 故点不可能是直角顶点， 若，如图， 则轴， 把代入得 ， 解得：（舍去），， ， 若，如图过点作， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 与点关于直线对称， 设直线的表达式为， 把代入得 ， 直线的表达式为， ， 解得：（舍去），， 把代入得 ， ， 综上所述，点的坐标为，； （3），， ， 设，， 当时， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：， 把代入得， 则直线的表达式为：， 把代入得， 则， ， ， 当为顶点的四边形是正方形时， 则解得， ， 当时， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：， 把代入得， 则直线的表达式为：， 把代入得， 则与重合，舍去不符合题意； 当时，则， 则可设，同理可得 则解得， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与多边形的存在性问题，涉及二次函数的图象与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的判定、中点坐标公式等知识，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 11．(1) (2)存在，或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出新抛物线的解析式为，再求出点坐标，设，分别求出，，，再由直角三角形的性质，利用勾股定理分情况讨论即可． 【详解】（1）拋物线与轴交于点， ， 将代入中，得 ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）存在，理由如下： ， 新拋物线表达式为：， 令，即， 解得：，则， 两抛物线交点． 设， 则， ， ， ①当为斜边，即时，如图1：    ， ， 解得， ； ②当为斜边，即时，如图2：    ， ， 解得， ． 综上所述：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 12．(1) (2)P的坐标为或 (3)存在，最大值为，点P的坐标为 【分析】（1）根据点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）设点的坐标为，由点，的坐标，利用两点间的距离公式可求出，，的值，分和两种情况考虑：①当时，由勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值（舍去和点重合的点），进而可得出点的坐标；②当时，由勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值（舍去和点重合的点），进而可得出点的坐标； （3）过点作轴交直线于点，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）将，，代入，得： ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）设点的坐标为． 点的坐标为，点的坐标为， ， ，． 分两种情况考虑： ①当时，， 即， 整理，得：， 解得：（舍去），， 点的坐标为； ②当时，， 即， 整理，得：， 解得：，（舍去）， 点的坐标为． 综上所述：当是以为一直角边的直角三角形时，点的坐标为或． （3）存在，如图过点作轴交直线于点． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ． ， 当时，取得最大值，此时最大值为， 当的面积取最大值时，点的坐标为．    【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、两点间的距离、解一元二次方程、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分和两种情况，利用勾股定理求出点的坐标；（3）利用三角形的面积，找出关于的函数关系式． 13．(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为或或或； (3) 【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式； （2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨； （3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）直线与轴交于点， 令，则 点坐标为， 线段，直线与x轴交于B点， ， ∵抛物线与直线交于A点，与x轴交于B点， 将、坐标代入 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为， 即点的坐标， 又点在直线上， 解得（舍去），， 的坐标为． （Ⅰ）当为直角顶点时， 过作交轴于点，设， ∵直线与x轴交于点D， 令，则 ∴点坐标为， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ， ． （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于， 同理可证， ∴， ∵点坐标为，的坐标为 ∴ 即， ， ， ， ∴点坐标为． （Ⅲ）当为直角顶点时，设， 由，得， ∴， 由得， 解得，， 此时的点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或； （3）抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴直线的解析式为 由，得， ． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键． 14．(1)见解析 (2)满足条件的点P的坐标为，， (3) 【分析】（1）由，可得抛物线解析式，再分别令，，求得，，，再利用两点间的距离公式求得，，，再根据勾股定理逆定理即可得出结论； （2）由（1）可知，，设出点P坐标，再根据平行四边形的性质分类讨论：当直线时，当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时；当直线与直线相交时，求出点P坐标即可； （3）设出点D坐标，利用相似三角形的相似比表示，再由由一元二次方程根与系数的关系表示，进而找到b与a的关系，代入抛物线求值即可． 【详解】（1）证明：当时，， 令，，解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为，抛物线解析式为， ∵，， 设点， ①当直线，点P在点Q的左侧时（如图所示）， 当平移到的位置时，四边形为平行四边形， 此时，即，． ，此时点P坐标为，    当点P在点Q的右侧时（如图所示） 同理可得：，． ，此时点P的坐标为， ②当直线与直线相交时，如图所示： 此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离． 即． ，此时点P的坐标为．    综上所述，满足条件的点P的坐标为，，． （3）解：设点D坐标为， ∵，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴， 将点，代入得， ，解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、三角形相似与平行四边形的性质、两点间的距离公式，综合运用数形结合分类讨论思想是解题的关键． 15．(1) (2)当时，有最大值为 (3) 【分析】（1）将点和点代入即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P横坐标为m，则，，求出，即可求出答案． （3）分情况讨论，分当时和当时两种情况，依次进行讨论． 【详解】（1）由题意知：， 解得， ． （2）设直线BC解析式为过点， ，解得． ． 过点P作轴，垂足为M，交于点D    设点P横坐标为m 则，． ， 抛物线开口向下． 当时，有最大值为． （3）解： ①如图1，当时，轴，    C与G关于对称轴：直线对称， 点． ②如图2，当时，过G作轴，垂足为F．    ， ． ． ． 设，则G为 ． 解得（不合题意，舍去），． 点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定，分类讨论是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$