精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2025学年文山市第一中学高一年级下学期3月份月考 数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效. 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A. 1 B. C. 1或 D. -1或 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 3. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 6. 如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ） A. 最大值为8 B. 为定值6 C. 最小值为2 D. 与的位置有关 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 二、多选题：（本题共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 在三角形中，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 为锐角三角形 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________． 13. 在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若，则_______________. 14. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km. 四、解答题：（本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 17. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的函数解析式 （2）在中，角A为三角形内角且，D在边BC上，AD是的角平分线，，，求AD的长度. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 19. 已知向量，且，求： （1）及； （2）若的最小值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年文山市第一中学高一年级下学期3月份月考 数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效. 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A. 1 B. C. 1或 D. -1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，即可求出实数的值. 【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反， 则，即， 则，即， 解得：或（舍去）. 即实数的值为. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】根据题意，， 又，所以， 即，解得. 故选：A 3. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 4. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，设，整理可得为关于的关系式，进而求解. 【详解】因为，所以， 设，，由向量为单位向量， 所以， 因为，所以， 故选：B 5. 设函数，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 【详解】 6. 如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ） A. 最大值为8 B. 为定值6 C. 最小值为2 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】因为共线,所以设,再代入求解即可. 【详解】因为共线,故,. 所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查了共线向量的运用以及数量积的转换计算,属于中档题. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 8. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 二、多选题：（本题共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则， 即，方程无解， 所以不存在，使得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，， 则在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：CD. 10. 在三角形中，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，， 由正弦定理得：，， 则均有唯一解，只有一解，A正确； 对于B，由余弦定理得：， （舍）或，只有一解，B正确； 对于C，由余弦定理得：， 或，有两解，C错误； 对于D，由正弦定理得：， 又，，只有一解，D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 为锐角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】 已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积. 【详解】∵，∴， ∴， 即，∴． ∵在中，，∴，∴，A正确． 由余弦定理，得得， ，即， 解得或，又，∴，C错误， ∴的面积，B正确． 又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误． 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先利用投影向量的定义求出，再利用数量积的定义求出即可. 【详解】由已知向量在上的投影向量为，则， 又因为即，所以. 所以 故答案为：2 13. 在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若，则_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】由已知可推得，.结合图象及已知，用表示出以及.然后根据三点共线，得出，有.然后列出方程组，即可求出答案. 【详解】 取基底， 由图可知， 因为，所以， 所以，显然. 又是的中点，所以， 所以. 又， 三点共线，所以，有， 即. 因为不共线，所以有，解得. 故答案为：. 14. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解. 【详解】在中，因为，，， 由余弦定理得， 整理得， 解得或（舍去）， 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得： ， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：（本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值. 【答案】（1）证明:由，，， 得， ， 因此，且有公共点B， 所以A，B，C三点共线. （2）±4. 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由于与共线，则存在实数，使得， 即，而不共线， 因此，解得或， 所以实数k的值是. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由已知条件得出的值，结合余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 因为、，所以，可得，则， 故. 【小问2详解】 因为，，所以， 由余弦定理可得， 所以，因此，的面积为. 17. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的函数解析式 （2）在中，角A为三角形内角且，D在边BC上，AD是的角平分线，，，求AD的长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求得A，结合周期求得，代入对称轴求得，从而求得函数的解析式；（2）由可得，利用三角形面积相等即可求得结果. 【详解】解：（1）由图可知：，，即， 根据，得， 由得，， 因为，∴ 函数的解析式为. （2）由可得， 因为为的角平分线，所以 又因为， 即 ，代入可得. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解； （2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解. 【小问1详解】 由题意及正弦定理知，， ， ，. 【小问2详解】 ， 又， 由①，②可得， 所以的周长为. 19. 已知向量，且，求： （1）及； （2）若的最小值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解； （2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量， 可得， 又由 所以. （2）由（1）可得， 即， 令，所以， 对称轴为， 若，则，不符合题意； 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得， 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $