精品解析：山东省禹城市张庄镇中学2024-2025学年下学期第一次月考九年级数学试题

2024-2025学年第二学期九年级数学第一阶段验收 一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分） 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 7. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 8. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 12. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式∶________． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 15. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 17. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 18. 如图，在菱形中，，．点E、F、G、H分别是边的中点，在直线上方有一动点P，且满足．则周长的最小值为________． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简,再求值:,其中是不等式组的整数解. 20. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 方便筷使用数量在范围内的数据： 5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7． 不完整的统计图表： 方便筷使用数量统计表 组别 使用数量（双） 频数 14 10 合 50 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的__________； （2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度； （3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________； （4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数． 21. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 23. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 25. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级数学第一阶段验收 一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分） 1. 下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值的含义，熟练计算无理数的绝对值是解题的关键．比较各项的绝对值，绝对值最小的即为距离最近． 【详解】解：数轴上表示的点距离原点最近的是， 故选：B． 2. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：278000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键． 按照运算规律进行计算即可． 【详解】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B． ，故B不符合题意； C． ，故C不符合题意； D． ，故D符合题意． 故选D． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 6. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数． 故选：B． 7. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答案． 【详解】解：A、摸出白球的概率为，不符合题意； B、摸出红球，符合题意； C、摸出绿球，不符合题意； D、摸出黑球，不符合题意； 故选：B． 8. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 11. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 12. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 15. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 18. 如图，在菱形中，，．点E、F、G、H分别是边的中点，在直线上方有一动点P，且满足．则周长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点A关于的对称点，连接，交于点，则为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【详解】解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，，， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点A关于的对称点，连接，交于点， 由对称性质得，， ， 由两点之间线段最短得，此时最短，最短值为的长，则周长最小， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， ∴，又， 为等边三角形， ， 到的距离为1， 点A到的距离为5， 点到的距离为5， ∴ ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称线段最短问题，涉及菱形性质、中点四边形性质、三角形中位线性质的应用、勾股定理、等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到点P的运动路线是本题的解题关键． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简,再求值:,其中是不等式组的整数解. 【答案】. 【解析】 【详解】分析：原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值． 详解：原式=•﹣ =﹣ =， 不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4， 当x=4时，原式=． 点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 方便筷使用数量在范围内的数据： 5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7． 不完整的统计图表： 方便筷使用数量统计表 组别 使用数量（双） 频数 14 10 合 50 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的__________； （2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度； （3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________； （4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数． 【答案】（1）9；（2）72；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解； （2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解； （3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列，进而可得组数据的众数及中位数； （4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由统计图可得：； 故答案为9； （2）由统计图可得组对应扇形的圆心角为； 故答案为72； （3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列为：、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13； ∴在组（）数据的众数是； 调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为； 故答案为12，10； （4）由题意得： （名）； 答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名． 【点睛】本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键． 21. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接与交于O，先由平行四边形对角线互相平分得到，再利用证明得到，进而证明，得到，由此即可证明平行四边形是菱形； （2）先由菱形的性质得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，则，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 23. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）证明：连接，则，则， 则， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，再根据可得，而可得，再结合，便可证明，即直线是的切线. （2）连接，再证明，利用相似比则可证明 （3）根据阴影部分的面积由扇形AOE的面积减去三角形AOE的面积计算可得. 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）连接， ∵， ∴， ∴， ， 【点睛】本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点. 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 25. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】 （1）证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， ∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90， ∴∠CAE=∠BAD， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴CE=BD； （2）证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB=90， ∴∠EFB=90， ∴CF⊥BD， ∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90， ∴BC=AB =，CD= AC+ AD=， ∴BC= CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； （3）的面积的最大值为，旋转角的度数为 【解析】 【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论； （2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图： ∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G， ∴AG=BC=，∠GAB=45， ∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135， ∴的面积的最大值为：， 旋转角． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $