精品解析： 山东省德州市武城县三校联考2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题

八年级数学下册第一次月考试题 2025.03 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 下列根式中是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3. 在中，、、的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作，使，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则h的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴上，点 B 在第一象限内，若为等边三角形，且边长为4，则点 B 的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 10. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 边长分别为a、b、c的三角形面积可由公式求出，其中，这个公式是由大约公元1世纪的古希腊数学家海伦首先发现的，因此把这个公式叫做海伦三角形面积公式．已知三边长分别为和，则的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，长为（ ） A. 7 B. C. D. 15 二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为______． 14. 已知，则=______． 15. 如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距_____海里． 16. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 17. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为______ 18. 已知，则代数式的值为______． 19. 如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的 最短路径是________________ cm ． 20. 如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______． 三、解答题（共70分） 21. 计算： （1） （2）． 22. （1）已知：，，求的值． （2）已知，，求的值． 23. 阅读与思考： 阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）若，求的值． 24. 如图，在四边形中，．求度数． 25. 如图，中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 26. 如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． （1）求A，B两村之间的距离． （2）求点C到直线l的距离． （3）为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 27. 如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下册第一次月考试题 2025.03 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 2. 下列根式中是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A、，故此选项错误； B、是最简二次根式，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键． 3. 在中，、、的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，设，，， 则，故不是直角三角形； B、∵，故是直角三角形； C、∵，且， ∴，即，故是直角三角形； D、∵，设，，， 则，解得， ∴，故是直角三角形； 故选：A． 【点睛】题考查了勾股定理的逆定理，及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键． 5. 如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作，使，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据数轴上两点间的距离求出D对应数即可． 【详解】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=90° ∴， ∴D点对应的数为：． 故选：A． 【点睛】本题考查无理数在数轴上的表示，勾股定理，数轴上两点间的距离，熟悉数轴上两点间的距离公式是解题关键． 6. 已知，且，化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键， 根据二次根式被开方数是非负数，以及，可得，再化简即可， 【详解】解：有意义，且， ， 故选：A 7. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则h的取值范围是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，解题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示： 此时， ， 故． 所以h的取值范围是：． 故选∶D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴上，点 B 在第一象限内，若为等边三角形，且边长为4，则点 B 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的性质．先过点B作于点C，根据是等边三角形，求出，，根据勾股定理求出的值，从而得出点B的坐标． 【详解】解：过点B作于点C，如图所示： 是等边三角形，且边长为4， ，， ∴， 点B的坐标是． 故选：C． 9. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项BC,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 10. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 11. 边长分别为a、b、c的三角形面积可由公式求出，其中，这个公式是由大约公元1世纪的古希腊数学家海伦首先发现的，因此把这个公式叫做海伦三角形面积公式．已知三边长分别为和，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出p的值，再将三角形的三边代入海伦公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 12. 如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ） A. 7 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 已知，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解不等式组，分母有理化．根据题意先列出根式有意义时的x取值范围，继而求得y值，再代入分母有理化即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距_____海里． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意可得，∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，再根据勾股定理可得AB的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图， 根据题意可知： ∠AOB=180°-25°-65°=90°， OA=5，OB=12， ∴AB==13(海里)． 所以两轮船相距13海里． 故答案为：13 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 16. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由数轴得，a>2且a<5， 所以a-5<0，a-2>0， 原式=5-a+a-2=3． 故答案为：3 17. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 18. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式．根据完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 19. 如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的 最短路径是________________ cm ． 【答案】10 【解析】 【详解】解：将圆柱体展开则BC=6cm，AC=8cm， 由勾股定理得：cm. 故答案为：10 20. 如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______． 【答案】或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可． 【详解】在中，由勾股定理得：， ， 由题意得：．， ①当为直角时， 如图①，点与点重合， ， ； ②当为直角时， 如图②，．，， 在中，， 在中，， 即， 解得， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解． 三、解答题（共70分） 21. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可得到答案； （2）利用二次根式的性质和二次根式的混合运算计算法则进行求解. 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. （1）已知：，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）13；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的额关键． （1）先求出，，然后把原式变形为代入计算即可； （2）先判断，然后根据二次根式的运算法则化简，再把代入计算． 【详解】解：（1），， ，， ； （2）∵，， ∴， 原式 原式． 23. 阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， 24. 如图，在四边形中，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理． 连接，根据，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，从而求得． 【详解】解：连接 ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， 25. 如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． 【小问2详解】 解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 26. 如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． （1）求A，B两村之间的距离． （2）求点C到直线l的距离． （3）为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】（1）A，B两村之间的距离为米 （2）720米 （3）公路有危险而需要封锁，需要封锁的路段长度为米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由勾股定理即可求解； （2）过C作于D．先用等积法求出； （3）比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度． 【小问1详解】 解：在中，米，米， （米）． 答：A，B两村之间的距离为米； 【小问2详解】 如图，过C作于D．    ， （米）． 【小问3详解】 公路有危险而需要封锁．理由如下： 由于米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． 以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，， 米， （米），是等腰三角形， （米）， 则需要封锁的路段长度为米． 27. 如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）证明见详解； 【解析】 【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则； （2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知，则； （3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴（）， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， 由（2）得∠°， ∴在中，， 即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$