精品解析：陕西省宝鸡市岐山高级中学2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试卷

2024-2025学年（下）学期高三3月模拟卷 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ） A. 点到的渐近线的距离为 B. C. 的离心率为2 D. 分别以为直径的圆的公共弦长为 11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 13. 已知函数的最小值为，则____________． 14. 记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 18. 已知抛物线，，点在上． （1）求的最小值； （2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点． （ⅰ）求直线斜率的取值范围； （ⅱ）证明直线过定点． 19. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点. （1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. （2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）学期高三3月模拟卷 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简集合，结合交集的运算规律即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， ， 故选：. 2. 若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】因为在复平面内对应的点位于y轴上，所以，． 故选：C 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示计算出，再由数量积公式计算出夹角的余弦，结合角度范围求出夹角. 【详解】因为， 所以， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为． 故选：C． 5. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用最值求，再结合范围求出，再利用二倍角公式求即可. 【详解】由题意可知，得， 解得，因，则， 因，解得或（舍） 故 故选：D 6. 为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列，求出六个节目演出的方法数和曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出方法数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有种排法， 又六个节目演出，共有种排法， 由古典概率公式可知，所求概率为， 故选：A. 7. 已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面半径和，过点作交的延长线于点，为与所成角，由余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，又正三角形内接于， 所以，解得：，所以， 所以， 过点作交的延长线于点，， 所以与所成角即为与所成角或其补角， 所以为与所成角， 由余弦定理可得：， 故选：A. 8. 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，即，不成立， 当时，有，则成立，所以； 又在区间上都单调递增， 所以在，时恒成立， 所以在时恒成立， 因为，所以， 所以或， 又，所以， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出对应的值，即可判断AB选项；由互斥事件的定义求来判断C选项；求出来判断D选项. 【详解】， ， ∵，∴， ∴，A选项正确；，B选项正确； ∵“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”，C选项错误； 由频率估计概率得：， ，D选项错误. 故选：AB 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（ ） A. 点到的渐近线的距离为 B. C. 的离心率为2 D. 分别以为直径的圆的公共弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理可求得，从而可求得，即可判断选项A，C；用余弦定理和双曲线的定义可求得判断选项B；点作于点，易知分别以为直径的圆的公共弦为，勾股定理可求公共弦长，即可求解选项D. 【详解】 因为双曲线，所以， 又因为，可得，， 又因为，所以，， 则在中由余弦定理有， 即，解得或（舍）， 则，则，所以，即点到点渐近线的距离等于，正确； 的离心率为，正确； 在中，由余弦定理可得有，则，解得，所以，错误； 过点作于点，因为,则点在为直径的圆上， 所以以为直径的圆的公共弦为，且，所以，正确. 故选： 11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式，结合分式型函数的性质判断、的值域判断A；首先得到，再对其求和判断B；由、都关于对称即可判断C；根据函数的单调性有恒成立，再应用基本不等式求左侧最小值，即可求参数范围判断D. 【详解】对于A，因为， 所以在上为增函数，且的值域为， 又，所以，故正确； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为，所以， 由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， 则方程的所有实根之和为0，故错误； 对于D，易知为增函数， 由题得， 即，而，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是，故正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据函数的图象和的图象关于点对称进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 【答案】7 【解析】 【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可. 【详解】由，得， 又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以， 在中，由余弦定理，得：， . 故答案为：7. 13. 已知函数的最小值为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，或，求出的解析式，根据解析式画出图象，研究最值的情况即可. 【详解】①若，则 时，，且单调递增， 时，，则最小值为， 若存在最小值，则有且， 得； ②若，则 时，，时，， 时，，且单调递减， ，， 若最小值为，则，且，无解； 若最小值为，则，且，得， 综上所述，或 故答案为： 14. 记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 【答案】10101 【解析】 【分析】解方程得，用放缩法和裂项相消法求出，得到，从而求出前101项的和． 【详解】因为，所以， 因为为正项数列，所以，则， 当时，， 故， 又对于，都有， 故， 所以， 故当时，，又， 所以的前101项和为． 故答案为：10101． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； 【小问2详解】 ，设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【小问1详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 【答案】（1）； （2）证明：由第（1）问知，.  令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增.  ，，所以存在唯一使，即.  当，，在递减； 当，，在递增，所以.  ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点.  设是零点，， 经计算， 所以也是零点，零点和为. 【解析】 【分析】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b. （2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为. 【小问1详解】 求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. ，算出. 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线，，点在上． （1）求的最小值； （2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点． （ⅰ）求直线斜率的取值范围； （ⅱ）证明直线过定点． 【答案】（1）取最小值为 （2）（ⅰ）直线斜率的取值范围为； （ⅱ）因为，所以， 所以直线的方程为，即， 即，即， 令，则，所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）设，由两点间的距离公式可得，进而可求最小值； （2）记直线的斜率分别为，设切线方程为，由题意可得，进而可得，联立直线与椭圆方程可得，（ⅰ）可得，计算可求直线斜率的取值范围；（ⅱ）可求得直线的方程为，进而可求定点. 【小问1详解】 设，则，又， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为. 【小问2详解】 记直线的斜率分别为， 因为点的横坐标为2，可得，设过的圆的切线方程为， 由题意可得，即， 因为是方程的根，所以， 又，所以， 所以，即， （ⅰ）因为的斜率为， 所以， 又因为，所以. 即直线斜率的取值范围为； （ⅱ）略 19. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点. （1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. （2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四面体为正四面体，取的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合余弦定理求解即可； （2）（i）设，先证明平面，可得，结合题设易得，可得，建立空间直角坐标系，结合空间向量求解即可； （ii）设，设平面与平面的夹角为，利用空间向量表示出，令，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为球面三角形的三条边长均为， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点，连接，则，且， 则为二面角的平面角. 由余弦定理可得. 所以此球面三角形一个内角的余弦值为. 【小问2详解】 因为平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则取，可得. 设平面的一个法向量为， 则取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $