精品解析：陕西省铜川市王益中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二年级考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用代值法，计算等是否符合通项公式. 【详解】对于A，，A不符合题意； 对于B，，B不符合题意； 对于C，，C符合题意； 对于D，，D不符合题意. 故选：C 2. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：B 3. 若等差数列满足，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，则， 所以. 故选：A. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导的运算法则来计算即可. 【详解】因为为常数，所以，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象得到与轴的交点横坐标为，分别判断左右两侧的符号变化情况可得结论. 【详解】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中， 由图象可得时，，当时，，所以是极小值点， 当时，，所以不是极值点， 当时，，所以是极大值点， 时，，所以是极小值点， 故极小值点的个数为2. 故选：C. 6. 在数列中，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过给递推关系式代数分别求出前几项的值，发现数列为周期为3的周期数列进而求出的值. 【详解】由题意得， 所以是周期为3的周期数列，所以. 故选：C 7. 吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的关系式为，则时气球的瞬时彭胀率大约是时气球的瞬时颜胀率的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，进而计算可求得时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的倍数. 【详解】因为，所以， 则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的倍. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数确定函数单调性，再结合奇偶性，确定和的解集，进而由或求解即可. 【详解】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，又， 所以， 所以当或时，；当或时，． 不等式，即或， 解得或， 所以满足不等式的实数的取值范围为． 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在时取得极值13，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据用导数求极值，单调性和最值的方法判断四个选项即可. 【详解】对于AB，由题可得， ，解得，故A正确，B错误； 对于CD，，令，解得， 当时，，所以的单调递增区间为， 当时，，所以的单调递减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，又因为， 所以在上的最大值为，故CD正确， 故选：ACD. 10. 已知递增数列的通项公式为，则的值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】由分离参数，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】由是递增数列，得对恒成立. 易得， 则， 即对恒成立. 因为函数在上单调递减， 所以. 故选：BCD 11. 已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由条件得到，再结合选项得到，进而逐项判断即可. 【详解】由，可得． 对于A：由，可得：为常数， 令，则，所以，则在上是减函数，故错误； 对于B：由可得：，为常数， 令，则，所以，则在上是增函数，故错误； 对于C，由可得：，为常数， 令，则，所以， 由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故正确； 对于D，由可得：，为常数， 令，则0，所以， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增，故正确． 故选：CD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为.若，则的公差为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】先设等差数列的公差为，然后利用等差数列前项和公式及通项公式列方程求解即可. 【详解】设的公差为，由得， 解得. 故答案为：12 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的定义及复合函数求导即可求解 【详解】由题意得，故. 故答案为： 14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，令，利用导数分析函数的单调性可知，设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，且，，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 且当时，，当时，， 作出函数的图象如下图所示： 设，由图象可知，函数有两个不等的零点、， 且，， 若，解得，此时，， 由可得或，不合乎题意； 若，可得，则，由，解得，不合乎题意； 所以，，，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）由通项公式求得公比即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消即可求解； 【小问1详解】 设的公比为，因为， 所以， 解得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以， 所以. 16. 已知函数． （1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程； （2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出曲线与轴的交点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而求出切线与坐标轴围成的三角形面积，运算得解. 【小问1详解】 由，令，得， 所以曲线与轴的交点为， 又，则曲线在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处切线的方程为，即. 【小问2详解】 设，， ，则切线的斜率， 所以切线的方程为 ，即，， 令，得，令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为， 解得， 所以点的坐标为或. 17. 已知函数． （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知方程在R上有解，结合计算即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 因为在R上不单调，所以方程在R上有变号零点， 即方程在R上有两解， 得，解得， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，则， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的值域为. 18. 设数列满足. （1）求的通项公式. （2）（i）求的前项和； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）可得， 则， 要证，即证. 设函数，， 则， 所以在上单调递增，则， 即当时，， 令，则，即， 故. 【解析】 【分析】（1）应用计算求解通项公式； （2）（i）应用错位相减计算求和；（ii）构造函数应用导函数正负得出函数的单调性进而得出不等式再结合不等式性质计算求解. 【小问1详解】 当时，，得. 当时，由， 得， 两式相减，得， 得， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 （i）由题意得， 则， 所以 所以. （ii）略 19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数． （1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值． （2）设函数，函数．已知是的强化原生函数． （i）证明：． （ii）求的强化原生系数的最小值． 【答案】（1）依题意得， 则， 设函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为， 所以存在唯一零点，使得. 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以有唯一极值点，且， 故满足的整数的值为. （2）（i）依题意得， 令，得，又， 则，易得有两个极值点. 设的极值点是，则（）， 所以. 因为是函数的零点， 所以是关于的方程的两个解， 即， 两式相加得，， 即，， 代入（）式整理得， 因为函数在单调递减， 所以， 故. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用零点存在性定理得有唯一零点，验证单调性可知也为极值点，根据范围求即得； （2）（i）利用强化原生函数定义，由的极值点是的零点，代入韦达定理化简得，再构造函数，由单调性可证明；（ii）由不等式代入韦达定理可得，再结合函数单调性可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，则. 因为，所以， 则 . 所以，则的强化原生系数为. 因为函数在单调递增， 所以当时，有最小值，且， 即的强化原生系数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 3. 若等差数列满足，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在数列中，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 7. 吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的关系式为，则时气球的瞬时彭胀率大约是时气球的瞬时颜胀率的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在时取得极值13，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为 10. 已知递增数列的通项公式为，则的值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 6 11. 已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为.若，则的公差为__________. 13. 已知函数，则__________. 14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程； （2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标． 17. 已知函数． （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）若，求在上的值域． 18. 设数列满足. （1）求的通项公式. （2）（i）求的前项和； （ii）证明：. 19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数． （1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值． （2）设函数，函数．已知是的强化原生函数． （i）证明：． （ii）求的强化原生系数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $