精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四十七中学校（五四制）2024-2025学年七年级 下学期3月份综合素养展示数学试卷

2024-2025学年度（上）初二学年3月份综合素养展示 数学学科 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点向上平移3个单位长度后，坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正数的两个不同的平方根是和，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 关于x的方程与的解相同，则m等于（ ） A. 5 B. 4 C. D. 6. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 7. 相反数为________． 8. 比较大小：______． 9. 点关于轴对称的点的坐标是______． 10. 已知的立方根是，的算术平方根是3．则的平方根为______． 11. 西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则________．（用“”、“”、“”填空） 12. 已知为正整数，若，则______． 13. 已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是____________度． 14. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 三、解答题（共58分） 15. 计算 （1） （2） （3） （4） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 用“”定义一种新的运算；对于任意实数和，规定．例如：． （1）求值； （2）若，求的值． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行作图． （1）画出三角形向右平移5格，在向上平移2格后的； （2）过点C画出线段的垂线，垂足为O； （3）直接写出面积______． 19. 某公司购进甲、乙两种商品，甲种商品每件进价元，售价元；乙种商品每件进价元，利润率%．(利润进价利润率) （1）甲种商品每件利润率为______，每件乙种商品售价为______； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，求购进甲乙两种商品各多少件？ 20. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点，与y轴正半轴交于点，且． （1）求出点A、B的坐标； （2）求的面积． 21. 如图：已知，，． （1）∵， ∴．（____________） ∴．（____________） ∵， ∴（_______）． ∴．（____________） （2）若平分，于F，，求度数． 22. 已知，点为平面内一点． （1）求证：． （2）若于点，，过点作，垂足为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（上）初二学年3月份综合素养展示 数学学科 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：A.是开方开不尽的数，是无理数，故符合题意； B.是有理数，故不符合题意； C.是有理数，故不符合题意； D.是有理数，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解题的关键． 【详解】解：只有的基本图案的角度，形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到， 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，点向上平移3个单位长度后，坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的平移中坐标变化规律，掌握点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减是解题的关键． 【详解】解：由题意得 点向上平移3个单位长度得， ， 故选：C． 4. 一个正数的两个不同的平方根是和，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数的平方根，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值． 【详解】解：∵实数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 关于x的方程与的解相同，则m等于（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：解，得：， 将代入，得：， 解得， 故选A． 6 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，由平行线的判定方法得若使直线b与直线c平行，则，即可求解；掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 若使直线b与直线c平行， 要使， 可将直线b绕点A逆时针旋转， 故选：A． 二、填空题（共24分） 7. 的相反数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质与相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 根据相反数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：的相反数为， 故答案为：． 8. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较， 正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 10. 已知的立方根是，的算术平方根是3．则的平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的意义，掌握算术平方根、立方根的计算方法是解题的关键．先根据算术平方根，立方根的意义求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 11. 西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则________．（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，两个图形的面积都可以看做是一个长为，宽为的长减去马路的宽的长方形面积，据此可得答案． 【详解】解：设马路的宽为x， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知为正整数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法，找出与相邻的两个平方数，即可得到答案，掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是____________度． 【答案】25或65##65或25 【解析】 【分析】分图1和图2两种情况，利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图1所示，∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图2所示，∵，， ∴， ∴ ∵为的平分线， ∴； 综上所述，或； 故答案为：25或65． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为_________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 三、解答题（共58分） 15. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，实数的混合运算； （1）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解； （3）根据实数运算法则进行计算即可求解； （4）根据立方根以及有理数的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：， 去括号，， 解得：； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式加减化简求值，先去括号，再合并同类项，代值计算，即可求解；掌握整式加减运算步骤，注意变号是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 17. 用“”定义一种新的运算；对于任意实数和，规定．例如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程： （1）根据新运算的法则，列出算式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴ 即 ∴ 18. 如图，在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行作图． （1）画出三角形向右平移5格，在向上平移2格后的； （2）过点C画出线段的垂线，垂足为O； （3）直接写出的面积______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格中的平移及作图，格点三角形的面积； （1）根据平移要求，作出图形即可求解； （2）找出格点，即可求解； （3）由三角形面积公式，即可求解； 能在网格中熟练作图并会利用格点求三角形面积是解题关键． 【小问1详解】 解：如图， 为所求作； 【小问2详解】 解：如图， 为所求作； 【小问3详解】 解： ， 故答案为：． 19. 某公司购进甲、乙两种商品，甲种商品每件进价元，售价元；乙种商品每件进价元，利润率为%．(利润进价利润率) （1）甲种商品每件利润率为______，每件乙种商品售价为______； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，求购进甲乙两种商品各多少件？ 【答案】（1），元 （2）该商场购进种商品件，购进B种商品件 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据利润进价利润率，可以解答本题； （2）根据（1）中的结果和该商场同时购进，B两种商品共件，恰好总进价为元，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 每件种商品利润率为：， B种商品每件售价为：元， 故答案：，元． 【小问2详解】 解：设该商场购进种商品件，则购进B种商品件， 由题意可得：， 解得， ， 答：该商场购进种商品件，购进B种商品件 20. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点，与y轴正半轴交于点，且． （1）求出点A、B的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了非负数的和为零，平面直角坐标系内的三角形面积； （1）由非负数的和为零得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用非负数的和为零的性质及三角形面积进行求解是解题的关键． 小问1详解】 解：， ，， 解得：，， ，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ． 21. 如图：已知，，． （1）∵， ∴．（____________） ∴．（____________） ∵， ∴（_______）． ∴．（____________） （2）若平分，于F，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行线，内错角相等得，再由即可得证； （2）由平行线的性质得，，结合角平分线的定义，即可求解； 能熟练利用平行线的判定及性质进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行线，内错角相等） ∵， ∴（）． ∴．（同旁内角互补，两直线平行） 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 22. 已知，点为平面内一点． （1）求证：． （2）若于点，，过点作，垂足为，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）过点作，根据平行线的性质可得，得出，等量代换，即可得证； （2）过点作，根据题意得出，根据垂直的定义得出，，可得，进而根据平行线的性质得出，等量代换，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点作 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：如图所示，过点作 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$