精品解析：2025年贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县第五中学一模数学试题

平塘县2024—2025学年第一次月考 九年级 数学 说明： 1.考试范围：模拟卷一． 2.考试时间120分钟，满分150分． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列实数中，比0小数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数、负数的大小比较，正数大于一切负数和0，0大于一切负数．正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，据此即可求解． 【详解】解：因为小于0的数是负数，所以比0小， 故选：A． 2. 下列数学符号中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解，看字母是不是关于直线对称． 【详解】A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 故选C． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的意义和辨识．熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法、积的乘方运算法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 下图中的数轴所表示的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了再数轴上表示不等式的解集，找准分界点和方向是解题关键，同时注意实心点和空心圆圈的区别．根据数轴写出不等式解集即可． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是， 故选：D． 5. 方程的根是（ ） A. 5 B. 0，5 C. 1，5 D. 0， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考出来解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 故选：C． 6. 将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．先根据平行线的性质得出，再求出，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 为加强中学生的基本生活技能，航天中学举行了一次包饺子活动，在5分钟时间内，有一组第①，②，③，④，⑤号同学包的饺子个数分别为7，7，15，20，24，后来发现②号同学的饺子少数了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计的有关知识，根据平均数、中位数、众数、方差的知识判断即可求解，掌握平均数、中位数、众数、方差的定义是解题的关键． 【详解】解：原数据的中位数数为， ， 则新数据为，，，，，新数据的中位数为， ∴不变的统计量为中位数， 故选：． 8. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 9. 做抛掷一个质地均匀，并标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（ ） A. 概率等于频率 B. 频率等于 C. 当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D. 试验得到的频率和概率不可能相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、频率等于概率，错误，不符合题意； B、频率近似，错误，不符合题意； C、当试验次数很多时，频率稳定在概率附近，正确，符合题意； D、试验得到的频率与概率不可能相等，错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可． 解：如图，连接， ∵正六边形，是的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 11. 《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则根据题意列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，设《风》有篇，根据“比《风》的篇数少”可列出方程．根据题目中等量关系式列出方程是解题关键． 【详解】解：设《风》有篇，则《颂》的部分比《风》的篇数少篇， 依题意，得：． 故选：D． 12. 如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 15. 在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位： ）和水温T（单位：）的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 ．．． 26 42 58 74 90 100 100 100 ．．． 在水烧开之前（即），水温T与时间t之间的关系式为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求函数的关系式，关键是得出开始时温度为，每增加1分钟，温度增加． 由表知开始时温度为，每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度T与时间t的关系式． 【详解】解：由表知开始时温度为，每增加2分钟，温度增加， 即每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．过点P作于点G，交于点F，作于点H，则四边形是矩形，所以，，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案． 【详解】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与重合且与重合时，取得最小值4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）以下是小坤化简分式 的过程． 解：原式 请补充上面的化简过程，并在2，，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入化简的结果求值． 【答案】（1）；（2）；原式 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算负整数幂，绝对值，化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可； （2）将分子因式分解，除法转化为乘法，约分，再代值计算，代值时，a的取值不能使原式的分母为0． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：原式 ； ， ， 当时，原式． 18. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为） （1）求点A的坐标及双曲线 的函数关系式； （2）求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，则点C的横坐标为2，据此求出点C的坐标即可． 【小问1详解】 解；∵点A和B的刻度分别为和， ∴， ∵轴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵直尺宽度为，， ∴， ∴点C的横坐标为2， 当时， ， ∴点C的坐标为． 19. 年“五一”期间，威海旅游景点人头攒动，热闹非凡．文旅局对本次“五一”假期选择刘公岛、成山头、那香海、鸡鸣岛、火炬八街五个风景区（以下分别用A，B，C，D，E表示）的游客（每个游客只选择一个风景区）人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的游客有多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中，E所占的百分比为________；A所对应的圆心角的度数为_______； （4）因为时间关系，某游客一家打算只参观3个风景区，她们已经参观了E风景区，用列表或画树状图的方法，求她们最后选择的风景区是A，B，E的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）设本次参加抽样调查的游客有人，依题意得，，计算求解即可； （2）由题意知，类型的人数为（人），然后补全统计图即可； （3）由题意知，扇形统计图中，E所占的百分比为；则A所对应的圆心角的度数为，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：设本次参加抽样调查的游客有人， 依题意得，， 解得，， ∴本次参加抽样调查的游客有人； 小问2详解】 解：由题意知，类型的人数为（人）， 补全统计图如下； 【小问3详解】 解：由题意知，扇形统计图中，E所占的百分比为； A所对应的圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：由题意画树状图如下； 由图可知，共有种等可能的结果，其中同时选择的风景区是A，B共2种等可能的结果， ∵， ∴她们最后选择风景区是A，B，E的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，一元一次方程的应用，列举法求概率．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，圆心角，一元一次方程的应用，列举法求概率是解题的关键． 20. 如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，利用勾股定理求得，利用三角形的面积求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵． ∴，即， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的面积， 即， 解得：． 21. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副． （1）前期电话询问时羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：乒乓球拍比之前询问时涨价，而羽毛球拍则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了羽毛球拍和乒乓球拍共30副，且购买的费用没有超过2016元，则学校最多购买了多少副羽毛球拍作为奖品？ 【答案】（1）前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元 （2）学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，根据花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副列出方程求解即可； （2）设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，，根据购买奖品的费用没有超过2016元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解；设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元； 【小问2详解】 解：设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍， 由题意得， 解得， 答：学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品． 22. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内） 实验图示 根据以上信息，解决下列问题： （1）求摆线的长； （2）求 的长． （结果精确到，参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中解直角三角形即可； （2）先求出，再求出，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，； ∴； 【小问2详解】 解：∵，，； ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 23. 如图，在中，是的直径，C 是上一点，在上找一点D，使得连接，过点C作的垂线，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，从而可得结论； （2）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案. 【小问1详解】 证明：∵是的直径 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：连接、 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，相似三角形的判定，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键． 24. 许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）20或40 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案； （2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案； （3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为，由题意可得，，， ∴，， 把点A坐标代入所设解析式中得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设的解析式为：，的解析式为：， 分别将，代入得， ，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立直线解析式与抛物线得：， 解得（舍去）， 同理，解，得（舍去）， ∴，， ∴E，F两点之间的距离为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线向右平移个单位， ∴， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去）， 综上所述：m等于20或40． 25. 问题提出 如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 （3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）； 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，从而根据题干得出，再利用求解即可； （2）利用折叠产生角平分线，再过点构造平行线，从而产生等腰三角形，这样就将转化成了，再利用平行线分线段成比例和已知条件即可求解； （3）延长交延长线于点，从而得到，再根据，设参表示出和，然后构造“8字型”相似建立方程即可得解． 【详解】（1）解：折叠， ， ， ， ， ； （2）证明：过作交于点，则， 折叠， ， ， ， ； （3）如图，延长交延长线于点，过作于点， 平分， ， 折叠， ，， ， ， ， ， 设，， ， 由（2）知， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ，即， 整理得， 解得（负值舍去）， ． 【点睛】本题属于主要考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形得判定和性质、公式法解一元二次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平塘县2024—2025学年第一次月考 九年级 数学 说明： 1.考试范围：模拟卷一． 2.考试时间120分钟，满分150分． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列实数中，比0小的数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列数学符号中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下图中的数轴所表示的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根是（ ） A. 5 B. 0，5 C. 1，5 D. 0， 6. 将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为加强中学生的基本生活技能，航天中学举行了一次包饺子活动，在5分钟时间内，有一组第①，②，③，④，⑤号同学包的饺子个数分别为7，7，15，20，24，后来发现②号同学的饺子少数了8个，所得5个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 9. 做抛掷一个质地均匀，并标有1，2，3，4四个数字正四面体试验，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（ ） A. 概率等于频率 B. 频率等于 C. 当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D. 试验得到的频率和概率不可能相等 10. 如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则根据题意列方程（　　） A. B. C. D. 12. 如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为_______． 14. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为______ 15. 在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做观察水沸腾试验时所记录的时间t（单位： ）和水温T（单位：）的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 ．．． 26 42 58 74 90 100 100 100 ．．． 在水烧开之前（即），水温T与时间t之间的关系式为_______． 16. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）以下是小坤化简分式 的过程． 解：原式 请补充上面的化简过程，并在2，，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入化简的结果求值． 18. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为） （1）求点A的坐标及双曲线 的函数关系式； （2）求点C的坐标． 19. 年“五一”期间，威海旅游景点人头攒动，热闹非凡．文旅局对本次“五一”假期选择刘公岛、成山头、那香海、鸡鸣岛、火炬八街五个风景区（以下分别用A，B，C，D，E表示）的游客（每个游客只选择一个风景区）人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的游客有多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中，E所占的百分比为________；A所对应的圆心角的度数为_______； （4）因为时间关系，某游客一家打算只参观3个风景区，她们已经参观了E风景区，用列表或画树状图方法，求她们最后选择的风景区是A，B，E的概率． 20. 如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 21. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到羽毛球拍单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副． （1）前期电话询问时羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：乒乓球拍比之前询问时涨价，而羽毛球拍则按之前询问价格9折出售．若学校最终购买了羽毛球拍和乒乓球拍共30副，且购买的费用没有超过2016元，则学校最多购买了多少副羽毛球拍作为奖品？ 22. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内） 实验图示 根据以上信息，解决下列问题： （1）求摆线的长； （2）求 的长． （结果精确到，参考数据： 23. 如图，在中，是的直径，C 是上一点，在上找一点D，使得连接，过点C作的垂线，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 24. 许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值． 25. 问题提出 如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 （3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $