精品解析：重庆市江津中学校2024-2025学年九年级下学期第一次定时作业数学试题

江津中学初2025届初三（下）第一次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意相似三角形的相似比等于对应高的比．由于，那么，于是，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， 解得． 故选：A． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 5 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 将点代入，得，解方程即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 故选：． 5. 如图，的直角顶点 在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质及三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 6. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 3到4之间 C. 5到6之间 D. 7到8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的大小估算，先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴估计的值应在3到4之间， 故选：B． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：； 第3个图中有13个正方形，可以写成：； 第4个图中有17个正方形，可以写成：； ……， 第n个图中有正方形，可以写成：； 当时，代入得：． 故选：B． 8. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点 ，，过点作于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，直角三角形的性质，过点C作于H，连接，可得，，利用勾股定理可求出，可得，，则是等边三角形，可得，根据即可求解． 【详解】解：过点C作于H，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线 于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10. 已知整式，其中，，，，，均为整数．则下列说法，正确的个数为（ ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】表示出当时，当时的值，再进行加法运算即可判断①；令，则，令，则，表示出，，结合题意即可判断②；由题意结合一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系得出，即，从而得出，计算即可判断③，从而得解． 【详解】解：①当时，，即， 当时，，即， ∴由可得：， ∴，故①错误； ②令，则， 令，则， 令，则， ∴，， ∵，，，，，均是整数， ∴，均为整数， ∴与必有一个为5的倍数， ∴，，，，，中必有两个数的差是5的倍数，所以②正确； ③由题意，得，，，，为方程的五个解， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当或时，有最大值25， ∵， ∴当时，的最大值为25， 所以③正确， 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，正确计算是解此题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数为， 故答案为12． 12. 不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的2个红球，1个黑球，1个白球，从袋子中随机摸出2个球，摸出的两个球颜色相同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及用概率公式求概率，掌握以上知识点是解答本题的关键． 画出树状图得到种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果数为2， 所以摸出的两个球颜色不同的概率， 故答案为：． 13. 如图， 是反比例函数图像上的一点，过点 作轴于点，点为轴上的一点，连接 ，，则 的面积是______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， 轴， ， ． 故答案为：6． 14. 关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求解二元一次不等式组无解可得，再解分式方程得，且，求得． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ∵方程有正整数解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴所有a的和为， 故答案为：20． 15. 如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则_________，____________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．连接，由垂径定理和勾股定理即可求出长；连接，分别证明，，，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，； 如图，连接， 在中，． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：8，． 16. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 【答案】 ①. 91 ②. 819 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出一次方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题． 【详解】解：∵整数（其中，且为整数）是“大吉数”， ∴能被13整除； ∵， ∴能被13整除， ∴， ∴， ∴； ∵，是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴，能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴当时，，此时， 当时，不存在满足条件； 当时，不存在满足条件； 当时，，此时， 综上：或， ∴或； ∴或； ∴的最大值为819． 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）2； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式混合运算、分式的混合运算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂，乘方，绝对值，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可； （3）先利用完全平方公式和单项式乘多项式计算，再合并即可； （4）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点 ．（要求：只保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点 ，于点．求证：且． 证明：四边形为平行四边形，且 ① ，，同理可得， ， ② 又，，同理可得， ③ ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④ ． 【答案】（1） 如图，点E即为所作； （2）①；②；③；④平行且相等 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可解题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后得到结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数表示，共分为四个等级：A等：、B等：、C等：、D等：．其中A等级为优秀，单位：分） 八年级抽取的 等学生人数是等学生人数的． 九年级抽取的等学生成绩为：88，88，88，88，86，84，84，83，81． 八年级所抽学生竞赛成绩条形统计图 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 82 86 九年级 85 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有1100人，九年级有900人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）20，85， 补全图形如下： （2）九年级学生的成绩更好，因为九年级学生竞赛成绩的中位数85高于八年级学生竞赛成绩的中位数82．（答案不唯一） （3）两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数有335人． 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义以及计算方法是正确解答的前提． （1）根据九年级B等人数和点比可求出a的值，根据中位数的定义可求出b的值，再求出组数量即可补全图形； （2）根据平均数、中位数、众数的大小可得答案； （3）求出样本中八年级、九年级优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数． 【小问1详解】 解：∵九年级B等人数为9人， ∴（人） ∴九年级B等人数为人， 故可得九年级C，D等人数为人， 又最中间的两个数据为第10，11个，即84，85， ∴； 八年级抽取的 等和等学生人数为人， 又八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数, 所以，A等学生人数为2人，C等学生人数为6人， 故答案为：20；85； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：人， 答：两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数有335人． 20. “三八妇女节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动，购买2束康乃馨和3束玫瑰需要290元，购买4束康乃馨和5束玫瑰需要530元． （1）求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ （2）“三八妇女节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的1.2倍，且康乃馨花束的销售额为1200元，玫瑰花束的销售额为750元，求的值． 【答案】（1）康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元； （2）的值为5． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组． （1）设康乃馨花束的单价为元，玫瑰花束单价为元，根据“购买2束康乃馨和3束玫瑰需要290元，购买4束康乃馨和5束玫瑰需要530元”得，即可解得答案； （2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的1.2倍”可列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设康乃馨花束的单价为元，玫瑰花束单价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 的值为5． 21. 如图1，在中，，，，点P为 上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为， 的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画出函数，的图象如图， 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出，易证，即得出，代入数据即可求出关于x的函数表达式；分别求出和，再作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴，即． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知与相交于点， ∴当时，的图象在的图象上方， ∴时x的取值范围为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识．根据三角形相似的判定和性质正确求出，分别关于x的函数表达式是解题关键． 22. 某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点 位于的正东方向，点位于的正东方向，点 位于点的西南方向1200米处，点位于点的南偏西方向，点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，，，，，） （1）求小明家点到商家点的距离．（结果保留根号） （2）骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【答案】（1）小明家点到商家点的距离为米； （2）骑手选择送餐路线①才能更快地将外卖送到小明家． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质， （1）作，作，先求出，，再根据可得答案； （2）由（1）可得，，再根据求出可得，接下来求出，然后可得，再根据，可得，最后求出路线①：，路线②，比较得出答案． 【小问1详解】 解：过作于，过作于，如图所示： 由题意得：，，，， 在中，，. 在中，，， ， ． 答：小明家点到商家点的距离为米； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为矩形， ，． 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 路线①， 路线②， ， 骑手选择送餐路线①才能更快地将外卖送到小明家． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在直线 下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于 ，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）存在，点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点 、的坐标代入抛物线得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）延长交 于点，根据直角三角形的三角函数值可得 ，设，则，，则，当时，，即可得出答案； （3）先求出平移后的函数解析式，在 上截取一点，使，过点 作交于点，过点作轴交于点，分别求出，，则，再由，可得，设，由，求解后可得点的横坐标；点关于轴对称时，，根据关于轴对称的点的坐标特征可得点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 延长交 于点， ∵轴， ∴， ∵抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线 的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线 的解析式为， ∴直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ∴， 当时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 存在点，使得，理由如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， 又∵，， ∴，， ∴， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到新抛物线， ∴， 在 上截取一点，使，过点 作交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是 的中点， ∴点的坐标为，即，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为， 设点关于轴对称的点，则，此时点横坐标为， 综上所述：点的横坐标为或时，可使得． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中点坐标公式，三角形外角的定义及性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 已知 是等腰直角三角形，，为平面内一点． （1）如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长； （2）如图2，当点在 外部时， 、分别是、的中点，连接、、，将绕 点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：； （3）如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 【答案】（1）的长为； （2）证明：如图2，连接，过点F作交于H， ∵ 是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴AE=EF，， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）过点E作交的延长线于H，利用证明，可得，，，运用勾股定理可得，即可得出答案； （2）连接，过点F作交于H，利用证明，可得，再利用证明，可得，即可得出答案； （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，设,则运用勾股定理可得,进而可得，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，利用证得，可得，，根据，即可求得答案． 【小问1详解】 解：过点E作交的延长线于H，如图1， ∵点D是的中点，且， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转得：， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设则 在中，，， 当A、Q、G三点共线时，，取得最大值， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江津中学初2025届初三（下）第一次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 3. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 4. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 5 C. D. 20 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 3到4之间 C. 5到6之间 D. 7到8之间 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 8. 如图，在中，，以点 为圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点，，过点作于点 ，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为正方形 的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点 的对应点恰好落到边上，线段交对角线 于点 ，且 为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，，，均为整数．则下列说法，正确的个数为（ ） ①若，则； ②，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若存在整数，使，且，，则存在最大值为25． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是________． 12. 不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的2个红球，1个黑球，1个白球，从袋子中随机摸出2个球，摸出的两个球颜色相同的概率为______． 13. 如图，是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点 ，点 为 轴上的一点，连接 ，，则的面积是______ ． 14. 关于 的不等式组无解，且关于 的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 15. 如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则_________，____________． 16. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数 是否是大吉数，可以用 的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且 、 、均为整数），则的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点．（要求：只保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在平行四边形 中，连接，于点，于点．求证：且． 证明： 四边形 为平行四边形，且 ① ，，同理可得， ， ② 又，，同理可得， ③ ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④ ． 19. 当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数 表示，共分为四个等级：A等：、B等：、C等：、D等：．其中A等级为优秀，单位：分） 八年级抽取的等学生人数是 等学生人数的． 九年级抽取的 等学生成绩为：88，88，88，88，86，84，84，83，81． 八年级所抽学生竞赛成绩条形统计图 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 82 86 九年级 85 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有1100人，九年级有900人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 20. “三八妇女节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动，购买2束康乃馨和3束玫瑰需要290元，购买4束康乃馨和5束玫瑰需要530元． （1）求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ （2）“三八妇女节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了 元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的1.2倍，且康乃馨花束的销售额为1200元，玫瑰花束的销售额为750元，求 的值． 21. 如图1，在中，，，，点P为 上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 某天，小明在位于点处的家中购买了位于点 处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点 处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于 的正东方向，点位于 的正东方向，点位于点的西南方向1200米处，点 位于点的南偏西方向，点 位于景点 的北偏东方向．（参考数据：，，，，，） （1）求小明家点到商家点 的距离．（结果保留根号） （2）骑手在收到派单后立即赶往点 处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于点，，交 轴于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在直线 下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新抛物线，在 轴的正半轴上有一点 ，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 24. 已知是等腰直角三角形，，为平面内一点． （1）如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长； （2）如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、 、，将 绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：； （3）如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、， 为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $