江苏省南京市玄武高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

1 南京市 2024-2025 学年第二学期高二月考试卷 高二数学试卷 本卷:共 150 分 考试时间：120 分钟 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．在空间直角坐标系中，点 (1,2,3)关于 xOy平面的对称点坐标为（ ） A． (1, 2, )3 B． ( 1, 2, 3)  C． ( 1, 2,3)  D． 1, 2 )3( ,   2．将乘积    1 2 3 4 1 2 1 2 3a a a a b b c c c      多项式展开后的项数是（ ） A． 4 2 3  B． 4 2 3  C．5 3 4  D．5 3 4  3．已知向量    2 1,3, 1 , 2, ,a m m b m m       ，且 a  //b  ，则实数m的值为（ ） A． 0或 3 2 B． 3 2 C． 0或 2 D． 2 4．若{ }, ,a b c    构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A．a b   ， a b   ，b  B． a b   ， a b c     ， c  C． 2a b   ， 2a b r r ， a c   D． 2a b r r ， 4 2b a   ， a c   5．已知 O，A，B，C为空间中不共面的四点，且 1 1 ( ) 3 4 OP OA OB OC     R uuur uur uuur uuur ，若 P，A，B， C四点共面，则 （ ） A． 1 3 B． 1 4 C． 5 12 D． 7 12  6.空间四边形OABC中，OA a   ，OB b   ，OC c   ，点 M 在线段 AC上，且 2AM MC ， 点 N 是OB的中点，则 ( )MN   A. 2 1 2 3 2 3 a b c    B. 2 1 2 3 2 3 a b c    C. 1 1 2 3 2 3 a b c     D. 1 1 1 3 2 3 a b c    7．已知 6 名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ）种 A．720 B．360 C．240 D．120 8．如图，在棱长为 a 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，P 为 1 1AD 的中点，Q 为 1 1AB 上任意一点，E， F 为CD上两个动点，且 EF的长为定值，则点 Q 到平面 PEF的距 离（ ） A．等于 5 5 a B．和 EF的长度有关 C．等于 2 3 a D．和点 Q 的位置有关 2 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分. 9．下列命题中，正确的是（ ） A．两条不重合直线 1 2,l l 的方向向量分别是  2,0, 1a    ，  4,0,2b    ，则 1 2//l l B．直线 l的方向向量是  1, 1, 2c   ，平面 的法向量是  6,4, 1m    ，则 l  C．两个不同的平面 ，  的法向量分别是  2, 2, 1u   ，  3,4,2v   ，则  D．直线 l的方向向量是  0,1,1d   ，平面 的法向量是  1,0,1n  ，则 l与平面 所成角的大小为 π 3 10．若  1, , 2a     ，  2, 1,1b    ， a  与b  的夹角为120，则 的值为（ ） A．17 B． 17 C． 1 D．1 11．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 13 3 3AB AD AA   ，点 P为线段 1AC上的动点， 则下列结论正确的是（ ） A．当 1 12AC A P   时， 1B ，P，D三点共线 B．当 1AP AC   时， 1AP D P   C．当 1 13AC A P   时， 1 / /D P 平面 1BDC D．当 1 15AC A P   时， 1AC 平面 1D AP 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 12．若三个向量  3,3,2a  ，  6, ,7b m  ，  0,5,1c  共面，则实数 m的值为 ▲ ． 13．已知平面 的一个法向量为 =(2,1,2)n  ,点 ( 2,3,0)A  在 内,则 (1,1,4)P 到 的距离 ▲ ． 14．如图，已知四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面 1111 DCBA 为平 行四边形，E为棱 AB的中点， 1 3 AF AD   ， 12AG GA   ， 1AC 与平面 EFG交于点M ，则 1 AM AC  ▲ ． 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13分）已知向量    1 ,1 , , 2, ,a t t t b t t     . (1)若a b  ，求 t的值； (2)求 b a   的最小值. 16．（本小题满分 15分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， AC BC ，E为 1BB 的中点， 1 2 2AB CC BC   ． (1)证明： 1AC C E ． (2)求二面角 1A EC B  的余弦值． 17．（本小题满分 15分）如图，四面体 ABCD中， E， F 分别为 AB，DC上的点，且 AE BE ， 2CF DF ，设DA a   ，DB b   ，DC c   . (1)以{ }, ,a b c rr r 为基底表示 EF  ； (2)若 60ADB BDC ADC    ，且 3DA   ， 3DB   ， 3DC   ，求 EF  . 4 18．（本小题满分 17分）用 0，1，2，3，L，9 这十个数字. (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于 500 且没有重复数字的自然数？ 19．（本小题满分 17分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 , / /ABCD AB CD，且 2, 1CD AB  ， 2 2, 1, ,BC PA AB BC N   为 PD的中点. (1)求证： / /AN 平面 PBC； (2)求平面 PAD与平面 PBC所成锐二面角的余弦值； (3)在线段 PD上是否存在一点M ，使得直线CM 与平 面 PBC所成角的正弦值为 26 26 ，若存在，求出 DM DP 的 值；若不存在，说明理由.