精品解析：江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二下学期3月联合调研数学试题

2024-2025学年高二第二学期六校联合体3月调研测试 高二数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数的定义可得出结果. 【详解】. 故选：A. 2. 如果，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解. 【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，故， 故直线经过第一象限､第三象限､第四象限， 故选：B 3. 若数列是等比数列，且则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得，再利用对数法则进行运算化简即可. 【详解】数列是等比数列，则， 则. 故选：B 4. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 分析】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 5. 设、，若直线与圆相切，则点与圆位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与圆相切可得出，再利用点与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，即， 即，因此，点在圆内. 故选：C. 6. 已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率，确定、关系，分双曲线焦点在轴和轴两种情况求解即可. 【详解】根据已知条件设双曲线的方程为或， 因为，所以，即， ，， 当双曲线交点在轴时，双曲线方程为， 渐近线方程为：， 当双曲线交点在轴时，双曲线方程为， 渐近线方程为：. 故选：D 7. 现提供红､黄､蓝､绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻（两个面有公共边）的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为（ ） A 24种 B. 48种 C. 72种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】分二类：4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案. 【详解】若用4种颜色，任选一种颜色涂在其中一组对面上有种， 其它3种颜色作全排有， 所以，共有种； 若用3种颜色，从4种颜色任选3种有种， 再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种， 所以，共有种； 综上，不同的涂色方案有种. 故选：C. 8. 已知函数与有两条公共切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切线与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义确定的关系，由此可得方程有两非负实数解，利用导数研究函数与的交点情况，由此确定的取值范围. 【详解】设切线方程为，切线与相切于点， 则，， 切线与相切于点， 则，， 所以，，所以， 所以， 所以， 由已知可得方程有两非负实数解， 设， 则方程有非负实数解等价于函数的图象和函数的图象有两个不同的交点， 因为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减， 又，，又时，， 所以，所以的取值范围为. 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数在处的切线方程为 B. 函数在单调递增 C. 函数在上最大值为 D. 若方程仅有1个解，则的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【分析】求导确定函数单调性，求得极值，进而逐项判断即可. 【详解】由， 可得： 易得：当或时，，当时，， 所以在和单调递增，在单调递减， 所以极大值为，极小值为， 对于A：，， 所以切线方程为：正确， 对于B：函数在单调递减，错误； 对于C：函数在上单调递增，在的最大值为，错误； 对于D：若方程仅有1个解，由极大值、极小值， 可得：或.正确； 故选：AD 10. 五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”､“中山陵”､“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有125种 B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种 C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB：根据分步乘法计数原理分析判断；对于C：利用间接法，讨论这5人去的景点个数，结合组合数运算求解；对于D：利用间接法，讨论这个景点去的人数，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择， 所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有种； 对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知在平行六面体中，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 线段的靠近点的三等分点在平面内 C. 线段的长度为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，，A对； 对于B选项，由空间向量的平行六面体法则可得， 由题意可知，，可得， 所以，，即， 所以，在平面内，B对； 对于C选项，由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，，且， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以， ， ， 所以，， 因此，直线与直线所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若的二项展开式中只有第五项的二项式系数最大，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】 根据二项式系数的概念以及题意列不等式组，解得结果即可. 【详解】因为的二项展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以，即，即，解得， 因为，所以. 故答案为：8. 【点睛】本题考查了二项式系数的概念和性质，考查了组合数公式，属于基础题. 13. 5位身高互不相同的同学站成一排照相，要求身高最高的同学站中间，从中间往两边身高依次递减，则不同的站法有__________种． 【答案】6 【解析】 【分析】让最高的同学站中间，再在剩余的4人中选择2人，放在左边，剩余2人放在右边，计算得到答案. 【详解】让最高的同学站中间，再在剩余的4人中选择2人，放在左边，剩余2人放在右边， 共有种站法. 故答案为：6. 14. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点．则抛物线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设直线再联立直线和抛物线应用相切得出参数，再代入计算应用抛物线定义求焦半径进而得出即可. 【详解】抛物线的准线为， 是抛物线的准线与轴的交点，设过点的直线， 联立直线和抛物线得，设直线与相切于点， 所以，所以， 所以，所以，则， 所以． 则抛物线的方程为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，即可得出的值； （2）令，可得出的值； （3）解法一；设，分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，再结合赋值法可求得所求代数式的值； 解法二：设，结合展开式通项可得，则，结合赋值法可得结果. 【小问1详解】 展开式通项为， 令，可得. 【小问2详解】 令，则. 【小问3详解】 解法一：设， 展开式通项为，则， 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以， ； 解法二：展开式通项为， 则， 设， 的展开式通项为， 则， 所以， . 16. 已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质求出，再由，即可求出，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【小问1详解】 数列是等差数列，设首项为公差为 因为，所以① 因为成等比数列，所以 因为，所以② 由①②得， 所以. 【小问2详解】 因为数列为公比为2的等比数列， 由得，所以，则， 所以 所以 . 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点E，连接，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出相关点坐标并求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）根据，设且，由点到平面距离的向量求法列出方程，求参数即可得. 【小问1详解】 取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以，显然平面的一个法向量为， 设平面PCD的一个法向量为，， 所以，令，则， 所以， 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设且，， 则，，， 设平面PAQ的法向量为，则， 令，所以，又点D到平面的距离为， 又，所以， 所以，则，解得， 所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时. 18. 已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． （1）求和的方程； （2）过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；． （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程可求得，即可求出的方程；再由椭圆与抛物线的右焦点重合，可求出的方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立由弦长公式可求出，，假设为定值，可得，解方程可求出的值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以，所以， 所以方程：． 又因为椭圆的右焦点， 所以，所以方程：． 【小问2详解】 解：假设存在这样的， 设直线的方程为：， ． ， ，， ， 设， ， ，， ， 为定值． ，任意的实数恒成立 ，得到， 当时，为定值． 19. 我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． （1）求和的值． （2）计算的近似值，保留到小数点后位． （3）求的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据广义组合数公式代入即可求解； （2）根据，代入广义二项式定理的展开式即可求解； （3）分析式子特征，考虑的展开式中，的系数即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 【小问3详解】 根据已知条件所给式子， 考虑的展开式中，的系数． 左式为，的系数为， 右式中的系数为， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二第二学期六校联合体3月调研测试 高二数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若数列是等比数列，且则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点圆内 D. 不能确定 6. 已知双曲线对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 现提供红､黄､蓝､绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻（两个面有公共边）的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 144种 8. 已知函数与有两条公共切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数在处的切线方程为 B. 函数在单调递增 C. 函数在上的最大值为 D. 若方程仅有1个解，则的取值范围是或 10. 五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”､“中山陵”､“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ） A. 所有可能的方法有125种 B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种 C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 11. 已知在平行六面体中，，，且，则下列说法正确的有（ ） A B. 线段的靠近点的三等分点在平面内 C. 线段长度为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若的二项展开式中只有第五项的二项式系数最大，则_________． 13. 5位身高互不相同的同学站成一排照相，要求身高最高的同学站中间，从中间往两边身高依次递减，则不同的站法有__________种． 14. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点．则抛物线的方程为__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列 （1）求数列通项公式； （2）数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． （1）求和的方程； （2）过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． （1）求和的值． （2）计算的近似值，保留到小数点后位． （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $