2025届上海市崇明区高三二模数学试题

上海市崇明区2025届高三二模数学试卷 2025.03 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 不等式的解集为____________． 2. 已知复数（i为虚数单位），则__________． 3. 已知全集，集合，则__________． 4. 求直线与直线的夹角为________. 5. 已知，则__________． 6. 函数的最小正周期是，则_______． 7. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________. 8. 在中，若，其面积为，则__________． 9. 若，则_______. 10. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 11. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 12. 已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 二、选择题 13. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 16. 数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知． （1）是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； （2）若且，解关于x的不等式． 19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 20. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点． （1）若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； （2）若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； （3）若抛物线上存在定点使得满足题意的点、都有，求、满足的关系式． 21. 已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，证明：线段上的所有点均具有性质； （3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 上海市崇明区2025届高三二模数学试卷 2025.03 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】# 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】7 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】968 二、选择题 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）. 【18题答案】 【答案】（1）存在实数，使得函数是偶函数 （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【19题答案】 【答案】（1） （2）18 （3）X的分布列为： X 0 1 2 P 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） 点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2） 证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3） 证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $