平行线性质与应用 期中复习模型2024-2025学年北师大版数学七年级下册

2024-2025学年北师大版七年级下册 平行线性质与应用期中复习模型 一、选择题 1.如图,若a∥b,则∠1的大小为( ). A.60 B.70 C.80 D.90 2.如图, 的直角顶点 在直线 上. 若 , 则 等于( ) A. B. C. D. 3.如图,,,则,,之间的关系是( ) A. B. C. D. 4.如图, 直线 于点 , 若 , 则 的度数是 ( ) A. B. C. D. 5.为增强学生体质,感受中国的传统文化,学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间,小聪把它抽象成图2的数学问题:已知AB∥CD,∠EAB=80 ,,则∠E的度数是( ) A.30 B.40 C.60 D.70 6.如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,∠EFG的平分线FH交直线CD于点H,∠AEF 的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130 ,∠FHC=15 ,则∠M的度数为( ) A.65 B.55 C.50 D.45 7.如图,直线,的顶点在直线上,直线交于点,交于点,若,,则的度数是( ) A.18 B.20 C.28 D.30 8.如图,两直线,点、、、为、之间的四点,则的度数之和为( ) A. B. C. D. 9.①如图 1 所示, , 则 ; ②如图 2 所示, , 则 ; ③如图 3 所示, , 则 ; ④如图 4 所示, , 则 . 以上结论正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个 10.已知直线,点P在直线之间,连接.下面结论正确的个数为( ) ①如图1,若,,则②如图2,点Q在之间,,则;③如图3,的角平分线交CD于点M,且,点N在直线之间,连接,,则和的关系为(用含n的式子表示,题中的角均指大于且小于的角). A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 11.如图,一张长方形纸片剪去两个角,测得,,则 . 12.如图,已知,点分别在上,点在两条平行线之间,与的平分线交于点.若,,则= . 13.如图,已知AD∥BE,点C是直线FG上的动点,若在点C的移动过程中,存在某时刻使得∠ACB=45 , ∠DAC=22 ,则∠EBC的度数为 . 14. 如图, 已知 , 记 , 则 15.如图, 已知 , 则 的度数为 16.如图,已知AB//CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=70 ,∠BCD=40 ,则∠BED的度数为 . 17.如图,已知,则 . 18.如图所示,在图①、图②、图③、图④中,均有直线,根据点在与之内和之外的不同位置,,,三个角之间存在不同的数量关系,请分别对应写出图①、图②、图③、图④中,,三个角之间的数量关系:① .② .③ .④ . 三、证明题 19. 如图,∠AEC=∠A+∠C,试证明AB∥CD. 20.如图1,已知,请补充完整下面证明的地过程: 证明:过点E作,(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行) 则有,( ) ∵ , ∴,(等量代换) 又∵,( ) ∴ ,(等量代换) ∴ ,( ) ∴ .(平行于同一直线的两直线平行) 21.(1)如图①,如果,求证:. (2)如图②,,根据上面的推理方法,直接写出_. (3)如图③,,若,则_(用x、y、z表示). 四、解答题 22.已知 ,试解决下列问题: (1)如图 1, (2)如图 2, 等于多少度?请说明理由. (3) 如图 3, (4) 如图 4, 试探究 23. (1)如图(1),,点在、外部,若,,则 . (2)如图(2),,点在、内部,则,,之间有何数量关系?证明你的结论; (3)在图(2)中,将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点,如图(3),若,,直接写出的度数. 24.如图 1, 已知直线 , 点 分别在直线 与 上, 点 为两平行线间一点. (1) 求证: ①; ②. (2) 利用 (1) 的结论解答: ① 如图 2, 分别平分 , , 请你直接写出 与 的数量关系. ② 如图 分别平分 , , 若 , 求 的度数. 五、实践探究题 25.阅读理解:如图1,已知点A是外一点,连接,.求的度数. (1)阅读并补充下面推理过程. 解:过点A作,∴ ,. ∵ . ∴. 解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将 “凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决. (2)方法运用:如图2,已知,求的度数. (3)深化拓展:如图3,已知,点C在点D的右侧,,平分,点B是直线上的一个动点(不与点A重合),,平分,,所在的直线交于点E,点E在与两条平行线之间.若,请你求出的度数.(用含n的代数式表示) 26. (1)【问题情境】如图①,,,,求∠APC度数. 小明的思路是:过点P作,通过平行线的性质来求∠APC的度数.按小明的思路,直接写出∠APC的度数为 ; (2)【问题迁移】 如图②,,点P在射线OM上运动,记,,当点P在点B和点A之间运动时,∠APC与,之间有何数量关系?请说明理由; (3)在(2)的条件下,如果点 在点B和点D两点外侧运动时(点P与点O,B,D三点不重合),请写出∠APC与,之间的数量关系,并说明理由. 答案解析部分 1.【答案】B 【知识点】平行公理及推论;猪蹄模型;两直线平行,内错角相等 【解析】【解答】解:如图,过点A作DA∥a, ∵a∥b, ∴b∥DA, ∴∠BAD=∠B=30 ,∠DAC=∠C=40 , ∴∠1=∠BAD+∠DAC=30 +40 =70 , 故答案为:B. 【分析】过点A作DA∥a,根据平行的传递性得b∥DA,然后由两直线平行,内错角相等得∠BAD=∠B=30 ,∠DAC=∠C=40 ,即可求解. 2.【答案】B 【知识点】平行线的性质;猪蹄模型 【解析】【解答】解:过B作BD∥a, ∵a∥b, ∴BD∥b, ∴∠CBD=∠2=25 ,∠1=∠ABD, ∵∠ACB=90 ,∠A=43 , ∴∠ABC=90 -∠A=47 , ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47 -25 =22 ∴∠1=22 . 故答案为:B. 【分析】过B作BD∥a,得到BD∥b,推出∠CBD=∠2=25 ,∠1=∠ABD,由直角三角形的性质得到∠ABC=90 -∠A=47 ,因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22 ,即可得到∠1=22 。 3.【答案】C 【知识点】平行线的性质;锯齿模型 【解析】【解答】解:如图,分别过C、D作的平行线和, ∵, ∴, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴, 即. 故选:C. 【分析】本题主要考查了平行线的性质,由两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补,分别过C、D作的平行线和,根据平行线的性质,得到,可求得答案. 4.【答案】B 【知识点】平行线的性质;铅笔头模型 【解析】【解答】解:过点E作EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠AEF+∠A=180 ,∠CEF+∠C=180 , ∴∠AEF=180 -∠A=180 -120 =60 , 又∵AE⊥CE, ∴∠CEF=90 -∠AEF=30 , ∴∠C=180 -∠CEF=150 , 故选:B. 【分析】为直接利用平行条件进行角度推理,通过过拐点作已知直线的平行线,结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数. 5.【答案】A 【知识点】平行线的判定与性质;乌鸦嘴模型 【解析】【解答】解:如图,过点作, , , , , , , , , 故答案为:A. 【分析】过点作,先根据平行线的性质“两直线平行,内错角相等”可求得∠AEF的度数,再根据平行公理推论“两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”可得CD∥EF,同理看可求得∠CEF的度数,然后根据角的和差即可求解. 6.【答案】A 【知识点】平行线的判定与性质;三角形的外角性质;猪蹄模型 【解析】【解答】解:如图,延长EF交CD于点P,作, , ,, , , 平分, , , 分别平分, , , , , . 故答案为:A. 【分析】利用平行线的性质求得的度数,再通过三角形外角定理计算出的度数,接着有角平分线的定义得到的度数,进而求得的度数,作,易得,利用平行线的性质求得的度数. 7.【答案】A 【知识点】平行线的性质;猪蹄模型 【解析】【解答】解:∵,∴ ∵, 由M模型得: 故答案为:A. 【分析】根据“猪蹄”模型:已知AB//CD,得出∠B+∠D=∠E,可得,代数求解即可. 8.【答案】D 【知识点】铅笔头模型;平行线的判定与性质的应用-求角度 【解析】【解答】解:如图所示,过点E、F、G、H、N分别作的平行线, ∵, ∴, ∴,,,,, ∴ , 故答案为:D. 【分析】过点E、F、G、H、N分别作AB的平行线,则AB∥CD∥PE∥QFD∥SG∥TH,根据两直线平行,同旁内角互补进行求解即可. 9.【答案】C 【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;猪蹄模型 【解析】【解答】解:过图1、2、3的点E作直线EF平行AB,过图4点P作PF∥AB,如下图; ∵AB∥CD∥EF ∴∠A+∠E+∠C=360 ,①错误; ∵AB∥CD∥EF ∴∠E=∠A+∠C,②正确; ∵AB∥CD∥EF ∴∠A+∠E-∠1=180 ,③正确; ∵AB∥CD ∴∠A=∠C+∠P,④正确; ∴②③④正确,正确的个数为3个 故答案为:C. 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可. 10.【答案】C 【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;铅笔头模型 11.【答案】 【知识点】平行线的性质;铅笔头模型 【解析】【解答】解: 过作,交于, 四边形是长方形, , ∴, , , , , , , , , 故答案为:. 【分析】因为F是平行线之间的拐点,因此过作,交于,得出,推出,,把,代入求出即可. 12.【答案】32 【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;角平分线的概念;猪蹄模型;锯齿模型 【解析】【解答】解:如图,过点G,M,H分别作GN∥AB,MP∥AB,KH∥AB, ∵AB∥CD, ∴GN∥CD,MP∥CD,KH∥CD, ∴∠AEG=∠EGN,∠GHK=∠NGH,∠KHF=∠HFD, ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD, ∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD, ∵∠EGH=84 ,∠HFD=20 , ∴∠AEG+∠FHG=84 +20 =104 , ∵EM平分∠AEG,MH平分∠FHG, ∴,, ∴, ∵∠KHF=∠HFD=20 , ∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52 -20 =32 , ∵MP∥AB,AB∥KH, ∴MP∥KH, ∴∠EMP=∠AEM,∠PMH=∠MHK, ∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32 . 故答案为:32 . 【分析】过点G,M,H分别作GN∥AB,MP∥AB,KH∥AB,根据平行公理的推论得GN∥CD,MP∥CD,KH∥CD,然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN,∠GHK=∠NGH,∠KHF=∠HFD,进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104 .接下来根据角平分线的定义得,,从而得,进一步求出∠AEM+∠MHK=32 ,最后再根据平行线的性质,利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32 . 13.【答案】23 【知识点】猪蹄模型;平行公理;两直线平行,内错角相等 14.【答案】 【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;猪蹄模型 【解析】【解答】解:过点E作EH平行AB,如下图: ∵AB∥CD,EH∥AB ∴AB∥EH∥CD ∴∠BAF=∠AEH,∠HEC=∠DCF ∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD 同理,可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ; ∵∠EAF=∠BAF,∠ECF=∠DCF ∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF =(∠BAF+∠FCD)=∠AFC ∵∠AEC=m∠AFC ∴m= 故答案为:. 【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行,可得AB∥EH∥CD;根据两直线平行,内错角相等,可得∠BAF=∠AEH,∠HEC=∠DCF;根据角的运算和等量代换原则,可得∠AEC=∠AFC,进而可得m的值. 15.【答案】 【知识点】平行线的性质;乌鸦嘴模型 【解析】【解答】如图,过点E作MN∥AB, ∵AB∥CD, ∴MN∥CD, ∴∠BEN=∠ABE=75 ,∠DEN=∠D=60 , ∴∠BED=∠BEN-∠DEN=15 , 故填:15 . 【分析】为直接利用平行条件进行角度推理,通过过拐点作已知直线的平行线,结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数. 16.【答案】55 【知识点】平行公理及推论;平行线的性质;角平分线的概念;猪蹄模型 【解析】【解答】解:过点E作,如图所示: ∵, ∴, ∵AB∥CD, ∴∠ABC=∠BCD=40 ,∠ADC=∠BAD=70 , ∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∴,, ∵,, ∴,, ∴. 故答案为:55 . 【分析】过点E作EF∥AB,由平行线的传递性可得EF∥CD,根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD,∠ADC=∠BAD,由角平分线定义可得∠ABE=∠ABC,∠CDE=∠ADC,然后由平行线的性质和角的构成可求解. 17.【答案】540 【知识点】铅笔头模型;两直线平行,同旁内角互补 18.【答案】;;; 【知识点】三角形的外角性质;猪蹄模型;铅笔头模型;乌鸦嘴模型 【解析】【解答】解:①过点作的平行线 , ∴, ∵, ∴, ∴,, ∵, ∴, ②过点作, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴. ③延长交于点, ∵, ∴, ∵, ∴. ④设直线和直线的交点为点, ∵, ∴, ∵, ∴. 故答案为:;;;. 【分析】①过点C作AB的平行线FG,根据平行于同一直线的两条直线互相平行,得AB∥FG∥ED,根据两直线平行,内错角相等,进行解答,即可; ②过点C作CF∥AB,根据平行于同一直线的两条直线互相平行,得AB∥CF∥ED,根据两直线平行,同旁内角互补,进行解答,即可; ③延长BC交ED于点F,根据两直线平行,同位角相等得∠ABC=∠EFC,再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答; ④设直线BC和直线DE的交点为点F,根据两直线平行,同位角相等得∠B=∠EFC,再根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”进行解答即可. 19.【答案】证明:如图,过点E作FE//AB, 所以∠A=∠1, 又∵∠AEC=∠A+∠C,而∠AEC=∠1+∠2, ∴∠2=∠C(等式性质), ∴EF∥CD(内错角相等,两直线平行), ∴AB∥CD(平行于同一直线的两直线平行) . 【知识点】猪蹄模型;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等 【解析】【分析】如图:过点E作EF∥AB,由平行线的性质得到∠1=∠A,而∠AEC=∠A+∠C,∠AEC=∠1+∠2,进而得到∠2=∠C,EF∥CD,最后得到AB∥CD. 20.【答案】【解答】解:过点E作,(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行) 则有,(两直线平行,内错角相等) ∵ , ∴,(等量代换) 又∵,(已知) ∴,(等量代换) ∴,(内错角相等,两直线平行) ∴.(平行于同一直线的两直线平行) 【知识点】平行线的判定与性质;乌鸦嘴模型 【解析】【分析】本题考查的是平行线的判定与性质,根据题干提供的部分过程,利用平行的判定和性质,以及等量代换,写出每一步的推理过程与依据,即可得到答案. 21.【答案】(1)证明:过P作,如图, ∴, ∵(已知), ∴, ∴, ∵, ∴. (2); (3) 【知识点】平行线的判定与性质;猪蹄模型;锯齿模型 22.【答案】(1) (2)解:如图,过点 作直线 . (3) (4) 【知识点】平行线的性质;铅笔头模型 【解析】【解答】解:(1)∵AB∥CD, ∴∠1+∠2=180 , 故填:180 . (3)如图,过点E和点F分别作EG∥AB,FH∥AB, 同理可得,∠1+∠AEF=180 ,∠GEF+∠EFH=180 ,∠CFH+∠4=180 , ∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEF+∠GEF+∠EFH+∠CFH+∠4=3 180 =540 , 故填:540 . (4)由(2)(3)可知, . 故填:. 【分析】(1)观察目标角的关系,直接由平行线的性质即可得出结果; (2)为直接利用平行条件进行角度推理,通过过拐点作已知直线的平行线,结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数; (3)同(2)过拐点作平行线,利用平行线的性质即可推理分析得出目标角的关系并计算得出结果; (4)由(2)(3)的规律类比推理,即可得出一般性的规律得出结果. 23.【答案】(1)25 (2)解:。 证明:如图(2),过点P作PQ∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PQ, ∴∠BPQ=∠B,∠DPQ=∠D, ∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=∠B+∠D; (3)解: 【知识点】角的运算;平行线的性质;三角形内角和定理;猪蹄模型 【解析】【解答】解:(1)如图(1),过点P作PQ∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PQ, ∴∠BPQ=∠B=40 ,∠DPQ=∠D=15 , ∴∠BPD=25 ; 故答案为:25; (3)∠B+∠D=50 。 如图(3),连接BD , ∵∠BMD+∠MBD+∠MDB=180 , ∴∠MBP+∠MDP=180 -(∠BMD+∠PBD+∠PDB), ∵∠BPD=90 , ∴∠PBD+∠PDB=90 , ∵, ∴∠MBP+∠MDP=180 -(40 +90 )=50 。 【分析】(1)如图(1),过点P作PQ∥AB,首先根据平行线的性质可得出∠BPQ=∠B=40 ,∠DPQ=∠D=15 ,再根据两角之差,即可得出∠BPD=25 ; (2)如图(2),过点P作PQ∥AB,首先根据平行线的性质得出∠BPQ=∠B,∠DPQ=∠D,进而得出∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=∠B+∠D; (3)如图(3),连接BD ,根据三角形内角和定理,即可求得∠MBP+∠MDP=180 -(40 +90 )=50 。 24.【答案】(1)证明:①如图,过点 作 , 则 . 即 . ②∵CD∥MN∥EF, ∴∠APN=∠CAP,∠BPN=∠EBP, 又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360 , ∴. (2)解:①. ② 由 (1) 得 分别平分 , 【知识点】平行线的性质;角平分线的概念;猪蹄模型;铅笔头模型 【解析】【解答】(2)解:①由(1)可知,∠P=∠DAP+∠FBP, 同理可证,∠P1=∠DAP1+∠FBP1, 又∵ 分别平分 , , ∴, ∴, 即. 【分析】(1)为利用已知平行条件,通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②; (2)根据(1)中结论结合角平分线的角度关系进一步推理,不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②. 25.【答案】(1); (2)如图,延长,交的延长线于点G, ∵, ∴, ∵,, ∴ . (3)如图,当点B在点A的左边时, 延长,交的延长线于点M, ∵, ∴, ∵平分,, ∴, ∴, ∵平分,, ∴, ∵, ∴. 如图,当点B在点A的右边时, 延长,交于点N, ∵, ∴, ∵平分,, ∴, ∴, ∴, ∵平分,, ∴, ∵, ∴. 综上所述,的度数为或. 【知识点】平行线的判定与性质;猪蹄模型 【解析】【解答】解:(1)过点A作, ∴,, ∵, ∴. 故答案为:∠EAB;∠DAC; 【分析】(1)利用平行线的性质和平角的定义,即可得出答案; (2)延长,交的延长线于点G,根据平行线的性质得出,,即可得出答案; (3)分两种情况讨论:当点B在点A的左边时,当点B在点A的右边时,分别求出∠BED,即可得出答案. 26.【答案】(1)110 (2)解:.理由如下: 如图②-1,过点P作交AC于点E, 因为, 所以. 所以,. 所以. (3)解:如图②-2.当P在BD的延长线上时,.理由如下: 过点P作交AC于点E, 因为,所以. 所以,. 所以. 如图②-3,当P在DB延长线上时,.理由如下: 过点P作交AC于点E, 因为,所以. 所以,. 所以. 【知识点】锯齿模型;乌鸦嘴模型 【解析】【解答】解:(1)∵AB//CD,PE//AB, ∴AB//PE//CD, ∴∠PAB+∠APE=180 ,∠C+∠CPE=180 , ∵∠PAB=130 ,∠PCD=120 , ∴∠APE=50 ,∠CPE=60 , ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110 ; 故答案为:110 ; 【分析】(1)根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB//PE//CD,根据二直线平行,同旁内角互补求出∠APE与∠CPE的度数,即可得到答案; (2)过点P作PE∥AB交AC于点E,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB//PE//CD,根据二直线平行,内错角相等,得,,即可求解; (3)分情况讨论,当P在BD的延长线上时,,当P在DB延长线上时,,分别根据平行线的性质得到,,即可得到答案 . 学科网(北京)股份有限公司 $$