黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2024-2025学年下学期八年级开学考试数学试卷（五四学制）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学八年级（下）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，共21分） 1．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A．（x3）2＝x5 B．x3+x2＝x5 C．﹣x•（﹣x）2＝﹣x3 D．x6÷x2＝x3 2．（3分）在下列交通标志中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　） A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AB的垂线交BC于D，BC＝6（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 6．（3分）如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E；②△BCD的周长等于AB+BC；③AD＝BD＝BC（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共24分） 8．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 9．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　 ． 10．（3分）若x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝　 　 ． 11．（3分）分式方程的解是　 　 ． 12．（3分）计算：（2m2n﹣3）3•（﹣mn2）﹣2＝　 　 ． 13．（3分）等边△ABC中，边长为6，D在射线CA上，点E在射线BC上，BD＝ED　 　 ． 14．（3分）如图，在ABC中，AD是△ABC的中线，连接CE交AD于点F，且∠AEC＝∠ACE，AC＝10，AD＝8　 　 ． 15．（3分）已知：如图，在△ABC中，D在AB上，AC＝AD，CE＝BD，∠CFE＝45°，S△BCD＝1，则BE的长为　 　 ． 三、解答题（10分） 16．（10分）（1）（3x+1）（x﹣2）； （2）[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x； （3）． 17．（8分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值0． 18．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出点B1的坐标； （2）在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹） 19．（9分）如图1，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于E，且BF＝CE． （1）求证：AE＝AF； （2）如图2，连接AD交EF于M，连接BM、CM，△ABD的面积为4，在不添加任何辅助线的情况下 20．（10分）按要求完成以下问题： （1）计算图中阴影所示绿地的面积； （2）若关于x的方程无解，求a的值． 21．（8分）阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b， 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b， ＝x2+ax+x+a+b． ＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴． 解得a＝﹣2，b＝5． ∴． 回答问题： （1）这样，分式就拆分成一个整式 　 　 与一个分式 　 　 的和的形式； （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　 　 ； （3）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ 　 　 ． 22．（10分）一位淘宝店主准备购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装数是用1500元购进乙种服装数的2倍． （1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ （2）该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，且购进乙种服装的数比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 23．（10分）如图1，在平面直角坐标系内，点A、B分别是x、y轴正半轴上的两点（a，0）、B（0，b+1），且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0． （1）求a、b的值； （2）如图2，过点B作射线l∥x轴，P为射线l上一点，在射线l下方构造等腰Rt△OPE，设BP的长为t，求S与t之间的关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，过点O作直线AE的垂线，连接PG交AB于点H，求线段BH． 2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学八年级（下）开学数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C D B C C 一、选择题（每题3分，共21分） 1．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A．（x3）2＝x5 B．x3+x2＝x5 C．﹣x•（﹣x）2＝﹣x3 D．x6÷x2＝x3 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、（x3）2＝x5，故本选项错误，不符合题意； B、x3与x2不是同类项，不能合并，不符合题意； C、﹣x•（﹣x）6＝﹣x3，故本选项正确，符合题意； D、x6÷x2＝x4，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（3分）在下列交通标志中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的知识求解． 【解答】解：A．是轴对称图形； B．是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．是轴对称图形． 故选：C． 3．（3分）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：可变形为﹣， 故选：C． 4．（3分）若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　） A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2 【分析】计算（x+5）（x﹣3）后即可得出答案． 【解答】解：（x+5）（x﹣3） ＝x7+5x﹣3x﹣15 ＝x7+2x﹣15 ＝x2+px+q， 则p＝2， 故选：D． 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AB的垂线交BC于D，BC＝6（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝BD，计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝30°，AD＝， ∴DA＝DC， ∴DC+4DC＝6， 解得，AD＝CD＝2， 故选：B． 6．（3分）如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 【分析】根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，即可得出选项． 【解答】解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b， 即大阴影部分的面积是（a﹣b）5， ∴（a﹣b）2＝a2﹣4ab+b2， 故选：C． 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E；②△BCD的周长等于AB+BC；③AD＝BD＝BC（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，可得AD＝BD，即可求得∠ABD＝∠A＝36°，又由AB＝AC，即可求得∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°，继而证得AD＝BD＝BC，△BDC的周长等于AB+BC． 【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠CBD＝36°＝∠ABD， 即BD平分∠ABC； 故①正确，符合题意； ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BC＝BD， ∴AD＝BD＝BC， 故③正确，符合题意； ∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+C+AD＝AC+BC＝AB+BC， 故②正确，符合题意； ∵CD＜BD， ∴CD＜AD， ∴D不是AC中点， 故④错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 8．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣　 ． 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【解答】解：∵2x+1≠8， ∴x≠﹣． 故答案为：x≠﹣． 9．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　x（x﹣3）2　 ． 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：x3﹣6x4+9x， ＝x（x2﹣2x+9）， ＝x（x﹣3）2． 故答案为：x（x﹣3）2． 10．（3分）若x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝　10　 ． 【分析】利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后立体整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x+y＝4，xy＝3， ∴x4+y2＝（x+y）2﹣4xy ＝42﹣5×3 ＝10． 故答案为10． 11．（3分）分式方程的解是　x＝1　 ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：4x＝x+3， 解得：x＝4， 经检验x＝1是分式方程的解． 故答案为：x＝1． 12．（3分）计算：（2m2n﹣3）3•（﹣mn2）﹣2＝　　 ． 【分析】根据积的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得负整数指数幂，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【解答】解：原式＝8m6n﹣3•（﹣1）﹣2m﹣3n﹣4 ＝8m2+（﹣2）n﹣9+（﹣6） ＝8m4n﹣13 ＝． 故答案为：． 13．（3分）等边△ABC中，边长为6，D在射线CA上，点E在射线BC上，BD＝ED　9或3　 ． 【分析】根据条件求高BD的长，即是CE的长；分两种情况进行计算即可． 【解答】解：分两种情况：①当D在线段AC上时，如图1， ∵△ABC是等边三角形，边长为6， ∴AC＝BC＝5， ∵AD＝3， ∴AD＝AC， ∴D是AC的中点， ∴BD⊥AC，DC＝3， ∵BD＝ED， ∴∠DBC＝∠DEB＝30°， ∵∠BCD＝60°＝∠CDE+∠DEB， ∴∠CDE＝30°＝∠DEB， ∴CD＝CE＝6， ∴BE＝BC+CE＝6+3＝3； ②当D在直线AC上时，如图2， ∵BD＝ED， ∴BG＝EG， Rt△DGC中，DC＝3+7＝9， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝＝4.5， ∴BG＝6﹣4.5＝3.5， ∴BE＝2BG＝5， 综上，BE的长为9或3； 故答案为：4或3． 14．（3分）如图，在ABC中，AD是△ABC的中线，连接CE交AD于点F，且∠AEC＝∠ACE，AC＝10，AD＝8　　 ． 【分析】由SAS可证△ABD≌△GCD，可得∠ABD＝∠GCD，AB＝CG＝14，可证AB∥CG，可证△AEF∽△GCF，可得＝，即可求解． 【解答】解：如图，延长AD到点G，连接CG， ∵∠AEC＝∠ACE， ∴AC＝AE＝10， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△GCD中， ， ∴△ABD≌△GCD（SAS）， ∴∠ABD＝∠GCD，AB＝CG＝14， ∴AB∥CG， ∴△AEF∽△GCF， ∴＝， ∴AF＝16×＝， 故答案为：． 15．（3分）已知：如图，在△ABC中，D在AB上，AC＝AD，CE＝BD，∠CFE＝45°，S△BCD＝1，则BE的长为　2　 ． 【分析】过点E作EH⊥CD于点H，过点B作BM⊥CD于点M，根据等腰三角形的性质可得∠BDM＝∠ACD，根据“AAS”可证△BDM≌△ECH，可得HE＝BM，CH＝DM，再根据“AAS”可证△HEF≌△MBF，可得HF＝FM，BF＝EF，根据等腰三角形的判定可得BM＝FM，即可得CD＝2BM，根据三角形面积公式可求BM的长，根据勾股定理可求BF的长，即可求BE的长． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ADC＝∠BDM ∴∠BDM＝∠ACD，且CE＝BD， ∴△BDM≌△ECH（AAS） ∴HE＝BM，CH＝DM， ∵HE＝BM，∠EHF＝∠BMF ∴△HEF≌△MBF（AAS） ∴HF＝FM，BF＝EF， ∵∠BFM＝45°，BM⊥CD， ∴∠BFM＝45°＝∠FBM， ∴BM＝FM， ∵CD＝CF+DF＝CH+HF+DF＝HF+DF+DM＝HF+FM＝2FM， ∴CD＝2BM， ∵S△BCD＝8， ∴＝8 ∴BM＝1＝FM， 在Rt△BFM中，BF＝＝ ∴BE＝BF+EF＝2 故答案为：2 三、解答题（10分） 16．（10分）（1）（3x+1）（x﹣2）； （2）[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x； （3）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据整式的混合运算法则，先运用完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则进行计算，最后根据整式的除法运算法则计算即可； （3）根据解分式方程的方法，方程两边同时乘（x﹣1）（x+2），把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，再进行检验即可． 【解答】解：（1）（3x+1）（x﹣6） ＝3x2﹣6x+x﹣2 ＝3x8﹣5x﹣2； （2）[（x+y）5﹣y（2x+y）﹣8x]÷8x ＝（x2+2xy+y5﹣2xy﹣y2﹣2x）÷2x ＝（x2﹣7x）÷2x ＝； （3）， 方程两边同时乘（x﹣1）（x+2），得x（x+7）﹣（x﹣1）（x+2）＝6， 去括号，得x2+2x﹣x7﹣x+2＝3， 解得：x＝2， 检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+4）＝0， ∴x＝1是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 17．（8分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值0． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝•（a+1） ＝ ＝， 当a＝4+1＝4时，原式＝． 18．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出点B1的坐标； （2）在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹） 【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作点C关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于点P，则点P即为所求点． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求； （2）∵C（﹣3，3）， ∴C′（﹣1，﹣8）． 设直线B1C′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵B4（4，2）， ∴，解得， ∴直线B1C′的解析式为y＝x﹣3， ∴当y＝0时，x＝2， ∴P（6，0）． 19．（9分）如图1，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于E，且BF＝CE． （1）求证：AE＝AF； （2）如图2，连接AD交EF于M，连接BM、CM，△ABD的面积为4，在不添加任何辅助线的情况下 【分析】（1）由△DBF≌△DCE得∠B＝∠C，根据等角对等边得AB＝AC，由此即可证明； （2）首先证明EF∥BC，得S△BDF＝S△BDM＝S△CDM＝S△CDE，设BD＝a，根据S△ABD＝4得出a2＝，再求出S△BDF＝1，由此即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵点D是△ABC的边BC的中点， ∴BD＝DC， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠DFB＝∠DEC＝90°， 在Rt△DBF和Rt△DCE中， ， ∴△DBF≌△DCE（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BF＝CE， ∴AF＝AE． （2）解：∵AF＝AE， ∠AFE＝∠AEF， ∵∠A+2∠AFE＝180°，∠A+2∠B＝180°， ∴∠AFE＝∠B， ∴EF∥BC， ∵BD＝DC， ∴S△BDF＝S△BDM＝S△CDM＝S△CDE， 设BD＝a， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AD＝a， ∴S△ABD＝•a•， ∴a2＝， ∴S△BDF＝•BF•DF＝•a＝a2＝1， ∴S△BDF＝S△BDM＝S△CDM＝S△CDE＝2． 20．（10分）按要求完成以下问题： （1）计算图中阴影所示绿地的面积； （2）若关于x的方程无解，求a的值． 【分析】（1）利用正方形的面积减去矩形的面积得结论； （2）先求解分式方程，再根据分式方程无解求出a． 【解答】解：（1）S绿地＝（1.5a+5.5a）•（a+2a+a）﹣6a•2.5a ＝8a•4a﹣5a6 ＝16a2﹣5a2 ＝11a2； （2）， 去分母，得3a+6＝ax+a， 所以x＝． 由于若关于x的方程无解， ∴x＝﹣6或a＝0． ∴＝﹣1． ∴a＝﹣． ∴当a＝0或﹣时，原分式方程无解． 21．（8分）阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b， 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b， ＝x2+ax+x+a+b． ＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴． 解得a＝﹣2，b＝5． ∴． 回答问题： （1）这样，分式就拆分成一个整式 　x﹣2　 与一个分式 　　 的和的形式； （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　x+3﹣　 ； （3）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ 　﹣3，﹣1，0，2，3，5　 ． 【分析】（1）分式的分子变形后，逆用同分母分式的加法法则变形即可； （2）分式的分子变形后，逆用同分母分式的加法法则变形即可； （3）将分式分为一个整式和分式之和，根据结果为整数确定出整数x的值即可． 【解答】解：（1）分式＝＝x﹣4+， 则分式就拆分成一个整式x﹣3与一个分式 ； 故答案为：x﹣5，； （2）分式＝＝x+3﹣； 故答案为：x+3﹣； （3）分式＝＝x+7+， ∵分式的值为整数， ∴x﹣1＝±2，±2， 解得：x＝﹣3，﹣3，0，2，4，5． 故答案为：﹣3，﹣5，0，2，7，5． 22．（10分）一位淘宝店主准备购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装数是用1500元购进乙种服装数的2倍． （1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ （2）该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，且购进乙种服装的数比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 【分析】（1）设每件甲种服装的进价为x元，则每件乙种服装的进价为（x﹣50）元，根据数量＝总价÷单价结合用4000元购进甲种服装数是用1500元购进乙种服装数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该淘宝店本次购进甲种服装a件，则购进乙种服装（2a+4）件，根据总利润＝每件的销售利润×销售数量结合总利润多于7160元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件甲种服装的进价为x元，则每件乙种服装的进价为（x﹣50）元， 依题意得：＝2×， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解， ∴x﹣50＝150． 答：每件甲种服装的进价是200元，每件乙种服装的进价是150元． （2）设该淘宝店本次购进甲种服装a件，则购进乙种服装（2a+4）件， 依题意得：（260﹣200）a+（190﹣150）（2a+4）＞7160， 解得：a＞50． ∵a为正整数， ∴a的最小整数值为51． 答：该淘宝店本次购进甲种服装至少是51件． 23．（10分）如图1，在平面直角坐标系内，点A、B分别是x、y轴正半轴上的两点（a，0）、B（0，b+1），且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0． （1）求a、b的值； （2）如图2，过点B作射线l∥x轴，P为射线l上一点，在射线l下方构造等腰Rt△OPE，设BP的长为t，求S与t之间的关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，过点O作直线AE的垂线，连接PG交AB于点H，求线段BH． 【分析】（1）根据题中条件即可可求出a、b的值； （2）由（1）可得OB＝5，OA＝5，根据题中条件可得∠OBP＝90°，根据三角形的面积公式得到S△OBP＝•OB•BP＝，根据勾股定理得到OP＝＝，根据勾股定理得到PE＝OP＝，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）如图3中，连接OH，取OE的中点Q，连接PQ，QG，证明△OAH是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】解：（1）∵（a2﹣8a+16）+（b6﹣10b+25）＝0， ∴（a﹣4）3+（b﹣5）2＝8， ∴a﹣4＝0，b﹣4＝0， ∴a＝4，b＝4； （2）由（1）可得：OB＝5，OA＝5， 根据题中条件可得：∠OBP＝90°， ∴S△OBP＝•OB•BP＝， 在Rt△OBP中，OP＝＝， ∵△OPE为等腰直角三角形， ∴PE＝OP＝， ∴S△OPE＝•OP•PE＝＝， ∴S＝S△OBP+S△OPE＝； （3）如图2中，连接OH，连接PQ， ∵OB＝OA， ∴∠OAB＝45°， ∵∠OPE＝∠OGE＝90°，OQ＝QE， ∴PQ＝QO＝QE＝GQ， ∴O、P、E、G四点共圆， ∴∠OGP＝∠OEP＝∠OAH＝45°， ∴O、G、A、H四点共圆， ∴∠OGA＝∠OHA＝90°， ∴OH⊥AB， ∵OB＝OA＝5， ∴AB＝＝4， ∴BH＝AH＝AB＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$