精品解析：黑龙江省大庆市肇州中学2024-2025学年下学期第一次联考九年级数学试卷

2024－2025学年度肇州县初四年级第一次联考 数学试题 考生注意： 1.考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.非选择题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答无效． 4.考试时间120分钟，总分120分． 一、选择题（10小题，每题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 4. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，在格点上，连接，，点在上且满足，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为(　　) A. B. C. D. 8. 如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　） A. π B. C. 3+π D. 8﹣π 10. 如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（8小题，每题3分，共24分） 11. 分解因式：________ 12. 将470100000用科学记数法表示为______． 13. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 14. 若，两个数满足关系式：，则，称为“协变数对”，记作，例如：当8与2满足时，则是“协变数对”，若是“协变数对”，则______． 15. 已知如图，是的直径，分别切于点，，若，则______． 16. 若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为______． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 18. 如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 21. 去年冬天某市遭遇持续暴雪天气，该市启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人工作效率的200倍，若用这台清雪机清理6000立方米的雪，要比120名环卫工人清理这些雪少用小时，试求一台清雪机每小时清雪多少立方米． 22. 为了丰富大庆市民冬季业余生活，12月28日大庆冰河世纪猛犸乐园欢乐开园．园区发行一批打卡纪念册，每本进价为20元，在试销售过程中发现当销售单价为25元时，每日可销售30本，单价每提高1元，日销售量就减少2本．出于合理营销，要求每本纪念册的销售单价不低于25元且不高于30元，解答下列问题： （1）若设每本纪念册提价元，则每本利润（ ）元，每天可售出（ ）本；（用含代数式表示） （2）若每天售出纪念册的利润为元，将单价定为多少元时，才能使销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离千米的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点处． （1）填空：______度，______度； （2）求台风移动的路径的长度； （3）若此次台风影响区域的半径为千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据：） 24. 为增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，对部分学生户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求一共调查了多少名学生； （2）通过计算请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天参与户外活动所用的时间超过1小时的人数． 25. 如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． （1）求反比例函数及直线的表达式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 26. 如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图②．连接，若，求的长． 27. 如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求DB的长． 28. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （4）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （5）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度肇州县初四年级第一次联考 数学试题 考生注意： 1.考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.非选择题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答无效． 4.考试时间120分钟，总分120分． 一、选择题（10小题，每题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，解题关键是明确无理数的定义，掌握无理数常见形式．根据无理数定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能计算，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算正确，符合题意； D、，选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 4. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0，即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论． 【详解】解：∵a＝1，b＝−2，c＝a， ∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0， 解得：a＞1， ∴点（a，a＋1）在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 5. 新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际运用---平均变化率问题，解决这类问题所用的等量关系一般是：．根据平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程，即可解题． 【详解】解：根据题意可得，， 故选：B． 6. 如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，在格点上，连接，，点在上且满足，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于正确掌握相关知识．利用勾股定理得到，再结合等面积法求出，进而得到，最后根据余弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， 又， ， ， ， 故选：D． 7. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5， 所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝． 故选C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 8. 如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类讨论的方法分点在上和点在上两种情形解答，分别求得与的函数关系式，利用对应的函数图象即可得出结论．本题主要考查了动点问题的函数的图象，利用分类讨论的方法求得不同条件下的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：当点与点重合时，如图， 四边形是矩形， ， ， ， ． ． ①当时，点在上， 过点作于点，如图， 则， ， ， ， 此时对应的函数图象是一条以和为端点的线段； ②当时，此时点在线段上，如图， 四边形是矩形， ， ， ． ， 此时对应的函数的图象为一条以和为端点的线段， 综上，下列图象能反映与之间函数关系的是， 故选：B． 9. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　） A. π B. C. 3+π D. 8﹣π 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：作DH⊥AE于H，已知∠AOB=90°，OA=3，OB=2，根据勾股定理求出AB=，由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，所以DH=OB=2，所以阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+﹣ =8﹣π，故答案选D． 考点：扇形面积的计算；旋转的性质． 10. 如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干和图像可得，该抛物线的对称轴是，即；点的对称点坐标是；． 将代入该抛物线解析式可判断结论①； 根据和将代入抛物线解析式得到的，联立可求得 、的数量关系，根据可求的范围，以此判断结论②； 将顶点代入抛物线解析式得到，等量替换后得到与的关系再判断范围，以此判断结论③； 综合和、和的数量关系式，解一元二次方程即可判断结论④； 结合二次函数图象中可得，二次函数最小值为，则当时，有，结合、与数量关系式即可判断结论⑤． 【详解】解：依题得：该抛物线的对称轴是，即； 点的对称点坐标是；． 时，有，即， ①错误； ， ， 又将代入抛物线解析式中得， ，即， 又， ， ， ②正确； 将顶点坐标代入抛物线解析式中得， 即， ， 又， ，则， ③正确； 一元二次方程即， 即， 可解得，， ④一元二次方程的两个根分别为，正确； 时，在该抛物线中有， ， ， ， ⑤（其中）正确； 综上，②③④⑤正确，故正确的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、解一元二次方程、不等式，解题关键是熟练掌握二次函数的图形与性质，运用数形结合思想分析问题． 二、填空题（8小题，每题3分，共24分） 11. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 12. 将470100000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：470100000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠-3 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x+3≠0， ∴x≠-3． 故答案为：x≠-3． 14. 若，两个数满足关系式：，则，称为“协变数对”，记作，例如：当8与2满足时，则是“协变数对”，若是“协变数对”，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，以及解分式方程，解题的关键在于正确理解“协变数对”概念．根据“协变数对”定义建立分式方程求解，即可解题． 【详解】解：根据，则，称为“协变数对”， 又是“协变数对”， 则有 整理得， 解得或， 经检验，或是方程的解， 故答案为：或． 15. 已知如图，是的直径，分别切于点，，若，则______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，综合性强，难度一般．连接，由切线长定理证明，再求得，最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：连接， ∵、分别切于点、，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16. 若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数取值求和，即可解题． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 解得， 符合条件的所有整数为，，，， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 【答案】. 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AM=A'M=1，可得点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，由勾股定理可求MC的长，即可求A′C的最小值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝MD＝1 ∵将△AMN沿MN所在直线折叠， ∴AM＝A'M＝1 ∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上， ∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值， 的最小值 故答案为 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题关键在于利用折叠的性质得到AM=A'M=1. 18. 如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，根据勾股定理求得，可求得内切圆的半径为1，因此的坐标为，然后根据三角形内切圆的性质，可知，，，四边形是正方形，得到，进而得到，，结合，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，然后计算、、的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案． 【详解】解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图， 点是内切圆的圆心， ，，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， 在中，， 内切圆的半径， 点坐标为， ， ，， ，即点到三边距离都相等， 每次滚动后圆心的纵坐标都为1， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ， 点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角形函数值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据绝对值的性质、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则以及特殊角的三角函数值进行运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值、二次根式，根据分式加减和除法的运算法则，可化简代数式，根据特殊角的三角函数值，可求得的数值． 【详解】 将代入原式，得 原式 21. 去年冬天某市遭遇持续暴雪天气，该市启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人工作效率的200倍，若用这台清雪机清理6000立方米的雪，要比120名环卫工人清理这些雪少用小时，试求一台清雪机每小时清雪多少立方米． 【答案】一台清雪机每小时晴雪1500立方米． 【解析】 【分析】解设出环卫工人每小时清雪立方米，则一台清雪机每小时清雪立方米 ，根据等量关系式：一台清雪机清理6000立方米的积雪所用时间=120名环卫工人清理积雪所用时间-小时，列出方程即可求解. 【详解】解：设一名环卫工人每小时清雪立方米，则一台清雪机每小时清雪立方米 根据题意得： 解得： 检验：是原方程得解 当时，． 答：一台清雪机每小时晴雪1500立方米． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，根据题目意思设出未知数，找出等量关系式是解此题的关键. 22. 为了丰富大庆市民冬季业余生活，12月28日大庆冰河世纪猛犸乐园欢乐开园．园区发行一批打卡纪念册，每本进价为20元，在试销售过程中发现当销售单价为25元时，每日可销售30本，单价每提高1元，日销售量就减少2本．出于合理营销，要求每本纪念册的销售单价不低于25元且不高于30元，解答下列问题： （1）若设每本纪念册提价元，则每本利润（ ）元，每天可售出（ ）本；（用含代数式表示） （2）若每天售出纪念册的利润为元，将单价定为多少元时，才能使销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）单价定为为30元时，销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）根据进价为20元，列代数式即可；再根据单价每提高1元，日销售量就减少2本，列代数式即可； （2）根据题意求出关于的解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意：每本利润元，每天可售出本； 【小问2详解】 解：根据题意：， ∵，且， 当时，最大，此时， 此时，单价定为（元） 答：单价定为为30元时，销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元． 23. 台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离千米的点处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点处． （1）填空：______度，______度； （2）求台风移动的路径的长度； （3）若此次台风影响区域的半径为千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响东方市，为什么？（参考数据：） 【答案】（1）， （2）的长度为 （3）解：此次不受影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵，， ∴在中，， ∵此次台风影响区域的半径为千米，， ∴此次不受影响． 【解析】 【分析】本题主要考查方位角与勾股定理，解直角三角形的运用，掌握方位角的计算，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据方位角的计算即可求解； （2）由（1）可知是等腰三角形，如图所示，过点作于点，根据勾股定理即可求解； （3）如图所示，过点作于点，根据解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，，，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于点， ∴， 在中，， ∴， ∴的长度为； 【小问3详解】 略 24. 为增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，对部分学生户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求一共调查了多少名学生； （2）通过计算请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天参与户外活动所用的时间超过1小时的人数． 【答案】（1）50 （2）12 （3）800 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据活动时间是小时的人数是10人，所占的百分比是，据此即可求得总人数； （2）利用总人数减去其它组的人数求出活动时间是小时的人数，补全统计图即可； （3）利用活动时间超过1小时的人数的占比乘以总人数即可求得． 【小问1详解】 解：调查的学生人数是：（名）； 【小问2详解】 参加户外活动时间是小时的人数是：（名）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校全体学生每天参与户外活动所用的时间超过1小时的人数为人． 25. 如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． （1）求反比例函数及直线的表达式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2）； （3）存在；或． 【解析】 【分析】（1）首先点在反比例函数上，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，根据、的坐标利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）求出直线与轴的交点坐标，根据计算出的面积； （3）设直线与直线的交点为点，点的坐标为，根据可列方程求出，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点在反比例函数上， ， 反比例函数的解析式为， 又点也在反比例函数上， ， 点的坐标为， 把点、的坐标代入， 得到：， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，直线与直线的交点为点， 当时，， 点的坐标为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 又， ， 解：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图象、一次函数与几何图形、待定系数法求解析式，解决本题的关键要注重数形结合的思想． 26. 如图①，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图②．连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 设 ， 则， ∵，， ∴， 解得 （负根已经舍弃）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键． 27. 如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求DB的长． 【答案】（1） 证明：， （2） 证明：如图，连接 是的切线， 四边形是的内接四边形， （3） 【解析】 【分析】（1）由等边等角可得，由同弧所对的圆周角相等可得，等量代换即可得证； （2）连接，根据等边对等角可得，由四边形是的内接四边形，可得，进而可得，即可得证； （3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用（2）的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=4，BC=3， ∴AB==5，CD=AC=4 ∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB， ∴△ACB∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=， ∵∠CBE=∠ABC，∠ACB=∠E=90°， ∴△ACB∽△CEB， ∴， ∴， ∴BE=， ∴BD=DE-BE=， ∴DB的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键． 28. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （4）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （5）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 （4） （5）的值为或 【解析】 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； 【小问3详解】 解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； 【小问4详解】 解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 【小问5详解】 解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $