2025年四川省绵阳市安州区中考数学二诊试卷

2025年四川省绵阳市安州区中考数学二诊试卷 一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合要求 1．（3分）|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 2．（3分）2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，数据87790000000用科学记数法表示为（　　） A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011 3．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A．调查某班学生的身高情况 B．调查某次运动会中运动员兴奋剂的使用情况 C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量 4．（3分）如图，AB∥CD，AD＝CD，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 5．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．四边都是相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 6．（3分）将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）等式＝•成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是30°时，当光线与地面的夹角是60°时，教学楼顶A在地面上的影子E到墙角C的距离EC＝5m（点B，E，C在同一条直线上），则建筑物CD的高度为（　　） A．9m B．5m C．21m D．12m 9．（3分）开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的圆与x轴，B两点，且A（2，0），B（0，2）（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，则的值（　　） A．2 B． C． D．：1 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和B（m，0），且3＜m＜4；②a+c＝b；③b2＞4ac；④2b＞3c；⑤＝1（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②③⑤ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13．（4分）在实数范围内分解因式：2a2﹣4＝　 　 ． 14．（4分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10　 　 ． 15．（4分）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 　 　 ． 16．（4分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x﹣2y＝8的解　 　 ． 17．（4分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，G分别在BC，CD上，∠EAG＝75°，则＝　 　 ． 18．（4分）如图，已知⊙O的半径为，CD是平行于直径AB的一条弦，则PC2+PD2的最小值为 　 　 ． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（16分）（1）计算：+tan45°； （2）先化简，再求值：，其中a＝2． 20．（12分）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项）（如图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 21．（12分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0） （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积为． 22．（12分）已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． （1）求该公司购进农产品的总质量． （2）该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润（利润＝销售额﹣成本﹣支出费用）． 23．（12分）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D的中点，连接CE交AB于点F （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，cosB＝，求CE的长． 24．（12分）如图（1），抛物线y＝﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标； ②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由． 25．（14分）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G （1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 　 　 ； （2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； （3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时 2025年四川省绵阳市安州区中考数学二诊试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C A D C B A B A D 题号 12 答案 D 一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合要求 1．（3分）|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 【分析】首先运用绝对值的定义去掉绝对值的符号，然后根据倒数的定义求解． 【解答】解：∵|﹣3|＝3，8的倒数是， ∴|﹣3|的倒数是． 故选：B． 2．（3分）2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，数据87790000000用科学记数法表示为（　　） A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：数据87790000000用科学记数法表示为8.779×1010． 故选：C． 3．（3分）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A．调查某班学生的身高情况 B．调查某次运动会中运动员兴奋剂的使用情况 C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，不符合题意； B、调查某次运动会中运动员兴奋剂的使用情况，不符合题意； C、调查某批汽车的抗撞击能力，符合题意； D、调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量，不符合题意； 故选：C． 4．（3分）如图，AB∥CD，AD＝CD，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠ACD＝65°， ∵AD＝CD， ∴∠DCA＝∠CAD＝65°， ∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°＝50°． 故选：A． 5．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．四边都是相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】利用平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、四边都是相等的四边形是菱形； B、菱形的对角线互相垂直； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形； D、对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：D． 6．（3分）将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后是（　　） A． B． C． D． 【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪菱形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状． 【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在垂直于斜边的位置上剪菱形，即原正方形中间无损． 故选：C． 7．（3分）等式＝•成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得到不等式组，解不等式组，得到结果． 【解答】解：， 解得， ∴不等式组的解集为x≥8． 故选：B． 8．（3分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是30°时，当光线与地面的夹角是60°时，教学楼顶A在地面上的影子E到墙角C的距离EC＝5m（点B，E，C在同一条直线上），则建筑物CD的高度为（　　） A．9m B．5m C．21m D．12m 【分析】如图，过点D作DH⊥AB于点H．则四边形BCDH是矩形．解直角三角形求出AB，AH可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H． ∵BE＝7m，CE＝6m， ∴BC＝DH＝7+5（m）， 在Rt△ABE中，AB＝BE•tan60°＝7×， 在Rt△ADH中，AH＝DH•tan30°＝12×， ∴CD＝BH＝AB﹣AH＝21﹣12＝9（m）． 故选：A． 9．（3分）开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元，根据小强和小亮所花费的钱数列出方程组，可求得笔和本的单价，然后设小伟购买了a支笔，b个本，接下来根据小伟的花费列出关于a、b的方程，最后求得方程的非负整数解即可． 【解答】解：设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元． 根据题意得：． 解得：． 设小伟购买了a支笔，b个本． 根据题意得：5a+3b＝48且b≥a． 当a＝7时，b＝11． 当a＝6时，b＝6． 故选：B． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的圆与x轴，B两点，且A（2，0），B（0，2）（　　） A． B． C． D． 【分析】找到圆心，根据垂径定理求出半径，然后计算扇形面积，再减去等腰三角形的面积，即得阴影面积． 【解答】解：确定圆心P，作PC⊥OB，垂足分别为C、D，PA 根据垂径定理，可知点C、0A的中点，8），2）， OA＝2，OB＝2， 于是有OD＝，PD＝6．， 且∠POA＝∠PAO ＝30°， ∴∠OPA＝120°， 于是S阴影＝S扇形POA﹣S△POA， 即＝．故选：A． 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，则的值（　　） A．2 B． C． D．：1 【分析】连接CC′．首先证明四边形AC′CE是菱形，再证明△AEC′是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：连接CC′． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠C′AE＝∠AEB＝∠AEC′， ∴AC′＝EC′， ∵EC＝EC′， ∴AC′＝EC， ∴四边形AC′CE是平行四边形， ∵AC⊥EC′， ∴四边形AC′CE是菱形， ∴AC′＝AE＝EC′， ∴△AEC′是等边三角形， ∴∠EAC′＝60°， ∴∠ACB＝∠CAC′＝∠EAC′＝30°， 在Rt△ABC中，＝tan60°＝， 故选：D． 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和B（m，0），且3＜m＜4；②a+c＝b；③b2＞4ac；④2b＞3c；⑤＝1（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②③⑤ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由对称轴可知：＞0， ∴b＞6，故①错误； ②将（﹣1，0）代入y＝ax8+bx+c， ∴a﹣b+c＝0，故②正确； ③由题意可知：Δ＝b2﹣7ac＞0，故③正确； ④2b﹣3c ＝2（a+c）﹣3c ＝5a+2c﹣3c ＝2a﹣c， ∵a＜0，c＞0， ∴7a﹣c＜0， ∴2b＜7c，故④错误； ⑤将（m，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴am3+bm+c＝0， ∴am2+bm＝a﹣b， ∴am4﹣a＝﹣bm﹣b， ∴a（1﹣m）＝b， ∴（b﹣c）（1﹣m）＝b， ∴mb＝c（m﹣6）， ∴＝， ∴+＝3； 故选：D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13．（4分）在实数范围内分解因式：2a2﹣4＝　2（a+）（a﹣）　 ． 【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成a2﹣，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【解答】解：2a2﹣6＝2（a2﹣7）＝2（a+）（a﹣）． 故答案为：2（a+）（a﹣）． 14．（4分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10　1.2　 ． 【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可． 【解答】解：∵数据10，9，a，12， ∴（10+9+a+12+6）÷5＝10， 解得：a＝10， ∴这组数据的方差是[（10﹣10）2+（9﹣10）6+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2]＝1.5． 故答案为：1.2 15．（4分）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 　甲　 ． 【分析】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是3千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案． 【解答】解：∵30分钟甲比乙步行的路程多，50分钟丁比丙步行的路程多， ∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度， ∵步行3千米时，甲比丁用的时间少， ∴甲的平均速度＞丁的平均速度， ∴走得最快的是甲， 故答案为：甲． 16．（4分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x﹣2y＝8的解　1　 ． 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入方程3x﹣2y＝8得关于k的一元一次方程，求解得结论． 【解答】解：， ①+②，得6x＝6k， ∴x＝2k． 把x＝2k代入②，得2k+y＝k， ∴y＝﹣k． 又∵3x﹣8y＝8， ∴6k+7k＝8． ∴k＝1． 故答案为：8． 17．（4分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，G分别在BC，CD上，∠EAG＝75°，则＝　　 ． 【分析】根据菱形的性质可得出∠BAE＝30°，∠B＝45°，过点E作EM⊥AB于点M，设EM＝x，则可得出AB、AE的长度，继而可得出的值． 【解答】解：∵∠BAD＝135°，∠EAG＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝45°，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝30°， 过点E作EM⊥AB于点M，设EM＝x， 在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2xx， 在Rt△BEM中，BM＝x， 则＝＝． 故答案为：． 18．（4分）如图，已知⊙O的半径为，CD是平行于直径AB的一条弦，则PC2+PD2的最小值为 　6　 ． 【分析】以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，设D的坐标是（m，n），P的坐标是（x，0），由勾股定理得到PC2＝（m+x）2+n2，PD2＝（m﹣x）2+n2，因此PC2+PD2＝2x2+2（m2+n2），由勾股定理求出m2+n2＝＝3，得到PC2+PD2＝2x2+6，即可求出PC2+PD2的最小值． 【解答】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作DM⊥AB于M， 设D的坐标是（m，n），0）， ∵CD∥AB， ∴由圆的对称性得到C的坐标是（﹣m，n）， ∴CN＝DM＝n，PM＝m﹣x， ∴PC2＝PN3+CN2＝（m+x）2+n8，PD2＝PM2+DM8＝（m﹣x）2+n2， ∴PC6+PD2＝2x3+2（m2+n7）， ∵m2+n2＝OM5+DM2＝OD2＝＝3， ∴PC3+PD2＝2x4+2（m2+n7）＝2x2+4， ∴当x＝0时，PC2+PD3有最小值6， 故答案为：6． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（16分）（1）计算：+tan45°； （2）先化简，再求值：，其中a＝2． 【分析】（1）先根据零指数幂及负整数指数幂，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝4+﹣4﹣1+1＝3+； （2）原式＝[•﹣]• ＝（﹣）• ＝• ＝， 当a＝6时，原式＝． 20．（12分）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项）（如图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 【分析】（1）先求出样本容量，再将样本容量乘以20%即可求出喜爱B类研学项目有多少人；将样本中C类人数出游样本容量，再乘以360°，即可求出C类研学项目所在扇形的圆心角的度数； （2）利用列表法或画树状图法即可求出恰好选中一名男生一名女生的概率． 【解答】解：（1）样本容量为：16÷40%＝40， 参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目人数：40×20%＝8（人）； 在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为：（40﹣16﹣4﹣3）÷40×360＝108°． 答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 108°； （2）喜爱D类研学项目的4名学生分别记为：男7，男2，女2 第4位第1位 男1 男6 女1 女2 男5 ﹣ 男1，男2 男4，女1 男1，女5 男2 男2，男6 ﹣ 男2，女1 男4，女2 女1 女2，男1 女1，男5 ﹣ 女1，女2 女3 女2，男1 女7，男2 女2，女2 ﹣ 由表可知，抽选2名学生共有12种等可能的结果． ∴， 答：抽中一名男生和一名女生的概率为 ． 21．（12分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0） （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积为． 【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可． 【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3， ∴B（3，4）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， ∵点F在反比例函数y＝（k＞2）的图象上， ∴k＝3， ∴该函数的解析式为y＝； （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，F（3，）， ∴S△EFA＝AF•BE＝×k）， ＝k﹣k2 ∵△EFA的面积为． ∴k﹣k2＝． 整理，得 k2﹣6k+8＝0， 解得k2＝2，k2＝8， ∴当k的值为2或4时，△EFA的面积为． 22．（12分）已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． （1）求该公司购进农产品的总质量． （2）该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润（利润＝销售额﹣成本﹣支出费用）． 【分析】（1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，根据题意可得：＝﹣100，然后进行计算即可解答；（2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，然后根据总利润＝销售额﹣成本﹣支出费用，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨， 由题意得：＝﹣100， 解得：m＝40， 经检验：m＝40是原方程的根， ∴2m＝2×40＝80（吨）， ∴该公司购进农产品的总质量为80吨； （2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元， 由题意得：y＝（1200+200x）（80﹣5x）﹣1600x﹣30000﹣34000 ＝﹣400x2+12000x+32000 ＝﹣400（x﹣15）2+122000， ∵a＝﹣400， ∴y有最大值， 由题意得：， 解得：5≤x＜40， ∴当x＝15时，y最大＝122000元， ∴公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是122000元． 23．（12分）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D的中点，连接CE交AB于点F （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，cosB＝，求CE的长． 【分析】（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE＝90°，推出∠BCE＝∠BFC，∠EAD＝∠ACE，求出∠BCE+∠ACE＝90°，根据切线的判定推出即可． （2）根据AC＝4，cosB＝＝．求出BC＝3，AB＝5，BF＝3，AF＝2，根据∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E证△AEF∽△CEA，推出EC＝2EA，设EA＝x，EC＝2x，由勾股定理得出x2+4x2＝16，求出即可． 【解答】（1）答：BC与⊙O相切． 证明：连接AE， ∵AC是⊙O的直径 ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠AFE＝90°， ∵BF＝BC， ∴∠BCE＝∠BFC， ∵E为弧AD中点， ∴∠EAD＝∠ACE， ∴∠BCE+∠ACE＝90°， ∴AC⊥BC， ∵AC为直径， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：∵⊙O的半为2， ∴AC＝2， ∵cosB＝＝， ∴BC＝2，AB＝5， ∴BF＝3，AF＝8﹣3＝2， ∵∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E， ∴△AEF∽△CEA， ∴＝＝， ∴EC＝2EA， 设EA＝x，EC＝4x， 由勾股定理得：x2+4x3＝16， x＝（负数舍去）， 即CE＝． 24．（12分）如图（1），抛物线y＝﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标； ②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解； （2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解； ②分四边形是▱ACGF和四边形是▱ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解． 【解答】方法一： 解：（1）由已知有：﹣（﹣7）2+（﹣2）+c＝2， ∴c＝3，抛物线的解析式是：y＝﹣x2+x+3， （2）①令D（x，y），y＞6）， 则E（x，0），4），3）， 连接MC、MD， ∵DE、CD与⊙O相切， ∴∠OCM＝∠MCD，∠CDM＝∠EDM， ∴∠CMD＝90°， ∴△COM∽△MED， ∴＝， ∴＝， 又∵D点在抛物线上，满足解析式y＝﹣x2+x+3， ∴x＝（1±）， 又∵x＞0， ∴x＝（1+）， ∴y＝（3+）（5+，））． ②存在．假设存在满足条件的点G（a． 若构成的四边形是▱ACGF，（下图1）则G与C关于直线x＝3对称， ∴G点的坐标是：（4，3）； 若构成的四边形是▱ACFG，（下图6）则由平行四边形的性质有b＝﹣3， 又∵﹣a2+a+3＝﹣7， ∴a＝2±2， 此时G点的坐标是：（2±2，﹣3） 方法二： （1）略． （2）①连接CM，DM， ∵D为抛物线：y＝﹣x2+x+3上的一点， ∴设D（t，﹣t2+t+7）， ∴E（t，0）， ∵M为OE中点， ∴M（，2）， ∵C（0，3）， ∴∠MDC＝∠EDM，∠OCM＝∠MCD， ∵DE⊥x轴， ∴∠OCD+∠CDE＝180° ∴∠MCD+∠MDC＝90° ∴CD⊥DM， ∴KCM×KDM＝﹣6， ∴＝﹣4，∴， ∴D（，）． ②∵F是x轴上的动点，∴设F（t， ∵A（﹣2，0），6）， ∴，∴， 同理：或， ∴﹣（t+5）2+t+2+7＝3，∴， ∴﹣（﹣t﹣2）4﹣t﹣2+3＝4，∴， ∴﹣（t﹣2）2+t﹣5+3＝﹣3，t﹣4＝2±2， 综上所述，满足题意的点G1（2﹣4，﹣3），G7（2+2，﹣3）． 25．（14分）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G （1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 　菱形　 ； （2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； （3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时 【分析】（1）连接BE，CD，先证明四边形BHEG是平行四边形，再根据EH＝BH，得出四边形BHEG是菱形； （2）过点E作ET⊥HC，设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm， cm，＝＝，得出当时，S重叠有最大值，最大值为； （3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，证明Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），得到NB＝ME，得出FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF． 【解答】解：（1）如图所示，连接BE， ∵△ABC，△DEF都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠EDF＝60°， ∴B、D、C、E四点共圆， ∵点E是AC的中点， ∴∠BEC＝90°， ∴BC为过B、D、C、E的圆的直径， 又∵DE＝BC＝6cm， ∴DE为过B、D、C、E的圆的直径， ∴点H为圆心， ∴EH＝BH， ∴∠HBE＝∠HEB＝30°， ∴∠GEB＝∠EBH＝∠GBE＝∠BEH＝30°， ∴BG∥EH，BH∥EG， ∴四边形BHEG是平行四边形， 又∵EH＝BH， ∴四边形BHEG是菱形， ∴两张纸片重叠部分的形状是菱形， 故答案为：菱形； （2）∵△ABC，△DEF都是等边三角形， ∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm， ∵EF∥BC， ∴∠CHE＝∠DEF＝60°， ∴∠ABC＝∠CHE， ∴BG∥EH， ∴四边形BHEG是平行四边形， ∵∠C＝∠CHE＝60°， ∴△EHC是等边三角形， 过点E作ET⊥HC， ∴设EH＝CH＝4x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， ， ∴ cm， ∴＝＝， ∵， ∴当时，S重叠有最大值，最大值为； （3）AE＝BF，理由如下： 如图所示，过点B作BM⊥AC于M，连接BE， ∵△ABC，△DEF都是边长为4cm的等边三角形， ∴AM＝cmDF＝4cm， ∴由勾股定理可得，， ∴EN＝BM， 又∵BE＝BE， ∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL）， ∴NB＝ME， ∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$