第8章 向量的数量积与三角恒等变换 体验真题 感悟高考-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2．故选D． 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D． 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝．故选D． 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B． 5．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ 答案：B 解析：因为＝，所以＝，所以tanα＝1－，所以tan＝＝2－1．故选B． 6．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 答案：A 解析：因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，又tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m．故选A． 7．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要而不充分条件．故选A． 8．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cosαsinβ＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，而cosαsinβ＝，因此sinαcosβ＝，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，所以cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B． 9．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C． 10．(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0．如图，设＝a，＝b，＝c，由题意知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos(2∠ACD)＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝．故选D． 11．(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A． B． C．1＋ D．2＋ 答案：A 解析：如图所示，|OA|＝1，|PO|＝，则由题意可知∠APO＝，由勾股定理可得|PA|＝1，设射线PO绕点P按逆时针旋转θ后与射线PD重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cosθ．所以·＝||||cos＝cosθcos＝cosθ＝cos2θ－sinθcosθ＝＋cos2θ－sin2θ＝＋cos≤＋．故选A． 12．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 答案： 解析：解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝． 解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝． 13．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝＋1，则sin(α＋β)＝________． 答案：－ 解析：解法一：由题意，得tan(α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，则＝－2，与sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1联立，解得sin(α＋β)＝－． 解法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα＝＝，cosβ＝＝， 则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ)＝4cosαcosβ＝ ＝＝＝－． 14．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为________． 答案：　－ 解析：解法一：因为点E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，所以＝，则＝＋＝＋，可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝．由题意，知||＝||＝1，·＝0，因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，则＝＋＝＋k，又因为G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝＋，可得·＝·＝2＋k＝2－，又因为k∈[0，1]，所以当k＝1时，·取到最小值－． 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则所以λ＋μ＝．因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，且G为AF的中点，则G，＝(a＋1，－3a)，＝，则·＝＋(－3a)＝5－，且a∈，所以当a＝－时，·取到最小值，为－． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$