第8章 阶段练习3 向量的数量积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

阶段练习3　向量的数量积 一、单选题 1．已知向量a＝(3，1)，b＝(3，2)，c＝(1，4)，则cos〈a，b－c〉＝ (　　) A． B．－ C． D． 答案：A 解析：因为b－c＝(2，－2)，所以cos〈a，b－c〉＝＝＝＝．故选A． 2．设向量i，j是互相垂直的单位向量，则与向量i＋j垂直的一个单位向量是(　　) A．i－j B．(i－j) C．(i－j) D．(－i－j) 答案：B 解析：由题意，得|i|＝|j|＝1，i·j＝0．|i－j|＝＝＝≠1，故A不符合题意；＝×＝1，且(i－j)·(i＋j)＝×(1－1)＝0，故B符合题意；|(i－j)|＝×＝2≠1，故C不符合题意；|(－i－j)|＝×＝×＝1，但(－i－j)·(i＋j)＝－(2＋2i·j)＝－≠0，故D不符合题意．故选B． 3．已知a，b是两个不共线的单位向量，向量c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．则“λ>0，且μ>0”是“c·(a＋b)>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当λ>0，且μ>0时，c·(a＋b)＝(λa＋μb)·(a＋b)＝λa2＋(λ＋μ)a·b＋μb2＝λ＋μ＋(λ＋μ)cos〈a，b〉>λ＋μ－(λ＋μ)＝0，满足充分性；当c·(a＋b)>0时，c·(a＋b)＝λ＋μ＋(λ＋μ)cos〈a，b〉，当λ>0，且μ＝0时，c·(a＋b)＝λ＋λcos〈a，b〉＞0，即当c·(a＋b)>0时，可能有λ>0，μ＝0，不满足必要性，故“λ>0，且μ>0”是“c·(a＋b)>0”的充分不必要条件．故选A． 4．已知平面向量a，b满足a＝(1，2)，|b－2a|＝4且(b－2a)⊥a，则|b|＝(　　) A． B．5 C． D．6 答案：D 解析：由a＝(1，2)，得|a|＝，由(b－2a)⊥a，得(b－2a)·a＝0，则a·b＝2a2＝10，由|b－2a|＝4，得(b－2a)2＝16，即b2＋4a2－4a·b＝16，则b2＋4×5－4×10＝16，所以|b|＝6．故选D． 5．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则·的取值范围为(　　) A．[2，6] B．[2，3] C．[4，6] D．[4，8] 答案：C 解析：·＝||||cos∠PAB，由投影的定义并结合图形，得当过点P的直线与半圆弧BC相切于点P且平行于BC时，||cos∠PAB取得最大值3，此时·＝||||cos∠PAB＝2×3＝6；当点P与点C或点B重合时，||cos∠PAB取得最小值2，此时·＝||||cos∠PAB＝2×2＝4，∴·∈[4，6]．故选C． 二、多选题 6．已知平面向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，则下列命题正确的是(　　) A．若a∥b，则x＝－3 B．若a⊥b，则x＝ C．若|a＋b|＝，则x＝0 D．若〈a，b〉＝，则x＝－ 答案：ABD 解析：若a∥b，则1×x＝－3×，解得x＝－3，故A正确；若a⊥b，则x＋1×(－3)＝0，解得x＝，故B正确；若|a＋b|＝＝，则x＝0或x＝－2，故C错误；若〈a，b〉＝，则cos〈a，b〉＝cos＝＝－，解得x＝－，故D正确．故选ABD． 7．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP＝，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是(　　) A．·为定值 B．·的取值范围是[－2，0] C．当AC⊥BD时，·为定值 D．||·||的最大值为12 答案：AC 解析：如图，设直线PO与圆O交于E，F两点，则·＝－||||＝－EP×PF＝－(EO－PO)·(OF＋PO)＝PO2－EO2＝－2，故A正确；取AC的中点M，连接OM，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－(4－2)＝22－4，而0≤2≤OP2＝2，故·的取值范围是[－4，0]，故B错误；当AC⊥BD时，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－||||－||||＝－2EP×PF＝－4，故C正确；因为||≤4，||≤4，故||·||≤16，故D错误．故选AC． 三、填空题 8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，若a⊥(a＋b)，则实数m＝________． 答案：－3 解析：∵a＋b＝(m＋1，－1)，又a⊥(a＋b)，∴a·(a＋b)＝m＋1＋2＝0，解得m＝－3． 9．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为________． 答案： 解析：由平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，故a＋b＝－c，所以(a＋b)2＝c2，所以a2＋2a·b＋b2＝3，所以a·b＝，则cos〈a，b〉＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝． 10．在△ABC中，AC＝2，BC＝1，C＝60°，则|＋|＝________；若点P为△ABC所在平面内的动点，且满足PC＝，则·的取值范围是________． 答案：　 解析：|＋|2＝||2＋||2＋2||·||cosC＝4＋1＋2×2×1×＝7，故|＋|＝．·＝(＋)·(＋)＝||2＋·(＋)＋·＝＋2×1×＋·(＋)＝＋·(＋)，取AB的中点D，则·(＋)＝2·＝2||||·cos〈，〉，||＝＝，cos〈，〉∈[－1，1]，故·(＋)＝2||||cos〈，〉＝cos〈，〉∈，故·∈． 四、解答题 11．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(2a＋b)·(2a－b)＝3，b·(a－b)＝－． (1)求|b|的值； (2)证明：a⊥(a－2b)； (3)设b与a－b的夹角为φ，求|a－b|及cosφ的值． 解：(1)因为(2a＋b)·(2a－b)＝3， 所以4a2－b2＝3，故4|a|2－|b|2＝3， 又|a|＝1，所以|b|＝1． (2)证明：因为b·(a－b)＝－， 所以a·b－b2＝－，又|b|＝1， 所以a·b＝， 所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2×＝0， 所以a⊥(a－2b)． (3)|a－b|＝＝＝＝1． 因为cosφ＝， 又b·(a－b)＝－，|b|＝1，|a－b|＝1， 所以cosφ＝－． 12．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，＝2，M是线段CE上的一动点． (1)当M是线段CE的中点时，过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明·为常数，并求该常数； (2)当·＝7时，求(＋2)·的最小值． 解：(1)依题意，＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋， 由l⊥AB，得·＝0，由AB⊥BC，得·＝0， 由＝2，得||＝||＝1， 因此·＝·＝2＝， 所以·为常数，为． (2)依题意，得＝＋，＝＋，则·＝(＋)·＝2＋2＝2＋3＝7， 解得||＝2，则||＝＝， 设||＝t，则||＝－t(0≤t≤)， (＋2)·＝(＋＋＋2)·＝3·＝－3t(－t)＝3－≥－， 当且仅当t＝时取等号， 所以(＋2)·的最小值为－． 13．[多选]平面向量m，n满足|m|＝|n|＝1，对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，则(　　) A．m与n的夹角为60° B．(m＋tn)2＋(m－tn)2为定值 C．|n－tm|的最小值为 D．m在m＋n上的投影向量为(m＋n) 答案：AD 解析：设平面向量m与n的夹角为θ，因为对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又|m|＝|n|＝1，也即t2＋2tcosθ＋cosθ－≥0对任意的实数t恒成立，所以Δ＝4cos2θ－4cosθ＋1＝(2cosθ－1)2≤0，则cosθ＝，所以θ＝60°，故A正确；对于B，因为(m＋tn)2＋(m－tn)2＝1＋2tcos60°＋t2＋1＋t2－2tcos60°＝2＋2t2，而2＋2t2随t的变化而变化，故B错误；对于C，因为|n－tm|＝＝＝，由二次函数的性质可知，当t＝时，|n－tm|取得最小值，故C错误；对于D，向量m＋n上的一个单位向量e＝＝，由向量夹角公式可得，cos〈m，m＋n〉＝＝＝，由投影向量的计算公式可得，m在m＋n上的投影向量为|m|cos〈m，m＋n〉e＝1××＝(m＋n)，故D正确．故选AD． 14．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的________(填序号)． ①内心；②垂心；③重心；④外心． 答案：④ 解析：设BC的中点为D，∵＝＋λ，∴＝＋λ，即＝λ，∴·＝λ ＝λ＝λ(－||＋||)＝0，∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即点P经过△ABC的外心． 15．对任意两个非零向量m，n，定义：m⊗n＝． (1)若向量a＝(5，3)，b＝(－3，2)，求a⊗(a＋2b)的值； (2)若单位向量a，b满足(a＋b)⊗(2a－b)＝，求向量a与a－b的夹角的余弦值； (3)若非零向量a，b满足|a|≥3|b|，向量a与b的夹角是锐角，且4(b⊗a)是整数，求a⊗b的取值范围． 解：(1)因为a＝(5，3)，b＝(－3，2)，所以a＋2b＝(5，3)＋2(－3，2)＝(－1，7)， 所以a⊗(a＋2b)＝＝＝＝， 故a⊗(a＋2b)的值为． (2)因为向量a，b是单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1， 由(a＋b)⊗(2a－b)＝， 可得＝＝＝， 解得a·b＝， 由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，可得|a－b|＝＝＝， 所以cos〈a，a－b〉＝＝＝＝， 故向量a与a－b的夹角的余弦值为． (3)设向量a与b的夹角为θ， 由题意可知0<θ<，则0<cosθ<1， 因为|a|≥3|b|，所以0<≤，0<cosθ<． 因为b⊗a＝＝cosθ， 所以0<b⊗a<，0<4(b⊗a)<． 因为4(b⊗a)是整数，所以4(b⊗a)＝1， 所以b⊗a＝，＝， 而0<≤，即0<≤，所以≤cosθ<1， 因为a⊗b＝＝cosθ＝4cos2θ， ≤cos2θ<1，所以≤4cos2θ<4，即≤a⊗b<4， 故a⊗b的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$