第7章 专项训练 三角函数中ω，φ等参数的取值范围问题-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

专项训练　三角函数中ω，φ等参数的取值范围问题 一、单选题 1．已知函数f(x)＝3sin(其中ω>0)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离等于2π，则ω的值为(　　) A． B．2 C．1 D．3 答案：C 解析：因为函数f(x)＝3sin的图象与直线y＝3的两个相邻交点的距离等于2π，又ω>0，所以T＝2π＝，可得ω＝1．故选C． 2．已知函数f(x)＝tan(2x－φ)的单调递增区间是(k∈Z)，则φ＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：令－＋kπ<2x－φ<＋kπ，k∈Z，解得－＋＋<x<＋＋，k∈Z，故＋＝且－＋＝－，解得φ＝．故选C． 3．已知函数f(x)＝2cos在区间[0，a]上的值域为[－2，]，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：当x∈[0，a]时，2x＋∈，由函数f(x)＝2cos在区间[0，a]上的值域为[－2，]，故函数y＝cosx在区间上的值域为，则2a＋∈，即a∈．故选A． 4．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在区间[0，1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意可得T＝，又f(T)＝，所以cos＝，即cosφ＝，又0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝2cos在区间[0，1]上恰有3个零点，又当x∈[0，1]时，ωx＋∈，结合函数y＝cosx的图象， 则y＝cosx在原点右侧的零点依次为，，，，…，所以≤ω＋<，解得≤ω<，即ω的取值范围为．故选D． 5．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：当0<x<时，因为ω>0，所以－<ωx－<－，因为函数f(x)在上存在最值，则－>，解得ω>2．当<x<π时，－<ωx－<πω－，因为函数f(x)在上单调，所以⊆(k∈Z)，则其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋(k∈Z)，所以k－≤k＋，解得k≤，又因为ω>0，所以k∈{0，1，2}．当k＝0时，0<ω≤；当k＝1时，1≤ω≤；当k＝2时，≤ω≤．又因为ω>2，所以ω的取值范围是．故选C． 二、多选题 6．已知x1，x2是函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的两个零点，且|x1－x2|的最小值为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则φ的值可能为(　　) A． B． C．－ D． 答案：ABC 解析：由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝，则＝，得ω＝3，所以f(x)＝tan(3x＋φ)．将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到y＝tan＝tan的图象，要使该图象关于原点对称，则＋φ＝，k∈Z，所以φ＝－＋，k∈Z，又－π<φ<π，所以当k＝－1时，φ＝－；当k＝0时，φ＝－；当k＝1时，φ＝；当k＝2时，φ＝．故选ABC． 7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)是区间上的减函数，其图象关于直线x＝－对称，且f＋f＝0，则ω的值可以是(　　) A．4 B．12 C．2 D．8 答案：AB 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝－对称，所以－ω·＋φ＝＋nπ，n∈Z，所以φ＝π，n∈Z，根据<x<，则＋φ<ωx＋φ<＋φ，因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是区间上的减函数，所以⇒ ⇒12(2k－n)≤ω≤6(2k－n＋1)，n∈Z，k∈Z，因为ω>0，所以2k－n＝0或2k－n＝1，当2k－n＝0时，0<ω≤6，当2k－n＝1时，ω＝12．因为<<<，f(x)＝sin(ωx＋φ)是区间上的减函数，且f＋f＝0，所以f＝f＝0，所以ω×＋φ＝(2m＋1)π，m∈Z，ω×＋π＝(2m＋1)π，m∈Z，n∈Z，ω＝8(2m－n)＋4，m∈Z，n∈Z，根据0<ω≤6或ω＝12，可得ω＝4或ω＝12．故选AB． 三、填空题 8．若函数f(x)＝tan(ω>0)在(0，π)上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是________． 答案： 解析：当x∈(0，π)时，ωx＋∈，则原条件等价于y＝tanx在上有且仅有三个零点，所以ωπ＋∈(3π，4π]，解得ω∈． 9．已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，若∃x1，x2∈R，使得f(x1)f(x2)＝－2，且|x1－x2|的最小值为，则ω的值为________；若将f(x)的图象向右平移个单位后所得函数图象关于直线x＝对称，则φ的值为________． 答案：2　 解析：因为f(x)＝cos(ωx＋φ)的最大值和最小值分别为和－，又f(x1)f(x2)＝－2，所以f(x1)，f(x2)中一个为最大值，一个为最小值，因为|x2－x1|的最小值为，所以f(x)的最小正周期T满足＝，所以T＝π，故ω＝＝2．将f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为g(x)＝cos，由题意可知，直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，又|φ|<，令k＝1，得φ＝． 10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若x＝－为函数f(x)的零点，直线x＝为函数f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值为________． 答案： 解析：因为x＝－为函数f(x)的一个零点，且直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，所以＝(2k＋1)·(k∈Z)，所以T＝(k∈Z)，所以ω＝(k∈Z)．因为函数f(x)在区间上单调，所以－≤，即T≥，所以≥，所以0<ω≤6，又因为ω＝(k∈Z)，所以ω＝，，，．当ω＝时，因为f＝sin＝0，所以－＋φ＝mπ，m∈Z，又因为|φ|<，则φ＝－，所以f(x)＝sin，又当x∈时，x－∈，因为函数f(x)在区间上不单调，所以ω＝舍去；当ω＝时，f＝sin＝0，－＋φ＝nπ，n∈Z，又因为|φ|<，则φ＝，所以f(x)＝sin，又当x∈时，x＋∈⊆，所以函数f(x)在区间上单调，满足题意，所以ω的最大值为． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为． (1)若f(x)在上为增函数，求φ的取值范围； (2)若f(x)>0对x∈恒成立，求φ的取值范围． 解：由题意，得＝，解得ω＝， 所以f(x)＝2cos－1． (1)因为0≤x≤，所以φ≤x＋φ≤＋φ， 又－<φ<，所以－<＋φ<， 因为－，，－，∈， 所以⊆，所以 又－<φ<， 所以－<φ≤－，即φ的取值范围为． (2)设x＋φ＝t，则当x∈时，－＋φ<t<＋φ， 因为－<φ<， 所以－<－＋φ<－，<＋φ<， 所以函数y＝2cost－1在上单调递增，在上单调递减， 若f(x)>0对x∈恒成立， 则y＝2cost－1对t∈恒成立， 则 即 即又－<φ<， 解得－<φ≤－，即φ的取值范围为． 12．已知函数f(x)＝tan(ω>0)． (1)若ω＝2，求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心； (2)若函数f(x)在[0，π]上单调递增，求ω的取值范围； (3)若关于x的方程f(x)＝在[a，b](a，b∈R且a<b)上至少存在2024个根，且在所有满足上述条件的[a，b]中，b－a的最小值不小于2024，求ω的取值范围． 解：(1)由于f(x)＝tan，且ω＝2， 所以f(x)＝tan的最小正周期为， 令2x＋＝，k∈Z，则x＝－，k∈Z， 故函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z． (2)若函数f(x)在[0，π]上单调递增， 则ωπ＋<，解得ω<，又ω>0， 所以ω的取值范围为． (3)若关于x的方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2024个根， 则[a，b]至少包含2023个周期，即b－a≥2023·， 又b－a的最小值不小于2024，则2023·≥2024， 所以ω∈，即ω的取值范围为． 13．已知函数f(x)＝sinωx＋(ω>0)在[0，2]上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为函数f(x)＝sinωx＋(ω>0)在[0，2]上恰有4个不同的零点，则方程sinωx＋＝0(ω>0)在[0，2]上恰有4个不同的解，即方程sinωx＝(ω>0)在[0，2]上恰有4个不同的解，所以函数g(x)＝sinωx(ω>0)与函数h(x)＝的图象在[0，2]上恰有4个不同的交点．因为函数h(x)＝＝－1＋，且y＝在[0，2]上单调递减，所以函数h(x)＝在[0，2]上单调递减，且h(0)＝1，h(2)＝0，函数g(x)＝sinωx(ω>0)是由函数y＝sinx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到的，作出两函数图象，如图． 要使函数g(x)＝sinωx(ω>0)与函数h(x)＝的图象在[0，2]上恰有4个不同的交点，由图可知，g(x)＝sinωx(ω>0)的周期T满足T≤2<2T，所以≤2<，所以≤ω<2π，即实数ω的取值范围为． 14．若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)上有且仅有一个最值点，则ω的取值范围为________． 答案：∪∪ 解析：令ωx－＝nπ＋(n∈Z)，解得x＝(n∈Z)，故函数f(x)的最值点为xn＝(n∈Z)．不妨设f(x)在区间(π，2π)上仅有的一个最值点为xk，则k∈Z，即k∈Z，则k∈Z，得解得－<k≤，k∈Z，所以k∈{0，1，2}．当k＝0时，ω∈；当k＝1时，ω∈；当k＝2时，ω∈．综上，ω的取值范围为∪∪． 15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，0<φ<π)，f＝3． (1)求φ； (2)若方程f(x)＝1在上有且仅有3个解，求实数ω的取值范围； (3)若函数f(x)在[π，2π]上的值域为[－1，2]，求f(x)的解析式． 解：(1)根据题意，f＝2sin＋1＝2sin＋1＝3， 即sin＝1，则φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ＝． (2)根据题意，f(x)＝1在上有且仅有3个解， 即方程sin＝0在上有且仅有3个解， 所以T≤－<T，即<T≤， 又ω>0，所以3≤ω<， 又＋≤ωx＋≤＋， 则≤＋<，且≤＋<， 根据正弦函数的图象， 可知3π≤＋<4π， 所以≤ω<． 综上，≤ω<，即实数ω的取值范围为． (3)由函数f(x)＝2sin＋1在[π，2π]上的值域为[－1，2]，得sin∈， 当x∈[π，2π]时，ωx＋∈， 根据题意，≤2π－π≤， 所以≤ω≤， 所以≤ωπ＋≤，≤2ωπ＋≤， 根据正弦函数的图象，可知≤2ωπ＋≤， 当ωπ＋＝时，ω＝，此时2ωπ＋＝，符合题意， 所以f(x)＝2sin＋1； 当2ωπ＋＝时，ω＝1，此时ωπ＋＝，符合题意， 所以f(x)＝2sin＋1． 综上，f(x)＝2sin＋1或f(x)＝2sin＋1． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$