第7章 三角函数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

第七章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若角α的终边经过点P(－1，3)，则tanα的值为(　　) A．－ B．－3 C．－ D． 答案：B 解析：∵角α的终边经过点P(－1，3)，∴tanα＝－3.故选B. 2．sin4tan7的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不大于0 答案：B 解析：∵4是第三象限角，∴sin4<0，∵7是第一象限角，∴tan7>0，∴sin4tan7<0.故选B. 3．如果tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ的值是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：1＋sinθcosθ＝＝＝＝.故选B. 4．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是(　　) 答案：D 解析：当<x<π时，tanx<sinx，y＝2tanx<0；当x＝π时，y＝0；当π<x<时，tanx>sinx，y＝2sinx.故选D. 5．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，则sin(3π＋α)tan的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，∴sin(3π＋α)·tan＝sin(π＋α)＝sinαtan＝sinα·＝sinα·＝cosα＝.故选C. 6．(2024·安徽蚌埠高一下期末)要得到函数y＝3sin的图象，需(　　) A．将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) B．将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变) C．将函数y＝3sin2x图象上所有的点向左平移个单位 D．将函数y＝3sin2x图象上所有的点向左平移个单位 答案：D 解析：将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝3sin的图象，故A错误；将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝3sin的图象，故B错误；将函数y＝3sin2x图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝3sin的图象，故C错误；将函数y＝3sin2x图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝3sin的图象，故D正确．故选D. 7．已知cosA＋sinA＝－，A为第四象限角，则tanA＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：由已知可得2sinAcosA＝－，所以(cosA－sinA)2＝1－2sinAcosA＝.由A为第四象限角，得cosA>0>sinA，所以cosA－sinA＝.又cosA＋sinA＝－，所以cosA＝，sinA＝－，所以tanA＝－.故选C. 8．(2024·天津高考)已知函数f(x)＝sin3(ω>0)的最小正周期为π，则函数在的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． 答案：A 解析：f(x)＝sin3＝sin(3ωx＋π)＝－sin3ωx，由T＝＝π，得ω＝，即f(x)＝－sin2x.当x∈时，2x∈，画出f(x)＝－sin2x的图象，如图．由图可知，f(x)＝－sin2x在上单调递减，所以当x＝时，f(x)min＝－sin＝－.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法中正确的是(　　) A．若α＝3，则sinα>cosα B．cos－cos＝0 C．若sin(kπ＋α)＝(k∈Z)，则sinα＝ D．若sinα＝sinβ，则α＝β＋2kπ(k∈Z) 答案：AB 解析：因为<α＝3<π，所以α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，则sinα>cosα，故A正确；cos－cos＝－sinα＋sinα＝0，故B正确；当k为奇数时，可得sin(kπ＋α)＝－sinα，则sinα＝－，故C错误；当sinα＝sinβ时，α，β终边可能相同，满足α＝β＋2kπ(k∈Z)，也可能关于y轴对称，此时不满足α＝β＋2kπ(k∈Z)，故D错误．故选AB. 10．将函数f(x)＝2sin－1图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法错误的是(　　) A．函数g(x)的图象关于点对称 B．函数g(x)的周期是π C．函数g(x)在上单调递增 D．函数g(x)在上的最大值是1 答案：AD 解析：将函数f(x)＝2sin－1图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) 得到函数g(x)＝2sin－1的图象，由于当x＝－时，g(x)＝－1，故函数g(x)的图象关于点对称，故A错误；函数g(x)的周期为＝π，故B正确；当x∈时，2x＋∈，g(x)单调递增，故C正确；当x∈时，2x＋∈，g(x)无最大值，故D错误．故选AD. 11．气候变化问题是人类面临的全球性问题．某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，该小组记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，如图，则下列说法正确的是(　　) A．φ＝ B．函数f(x)的最小正周期为16π C．∀x∈R，f(x)＋f(x＋8)＝40 D．若g(x)＝f(x＋m)是偶函数，则|m|的最小值为2 答案：ACD 解析：根据题图可知所以f(x)＝10sin(ωx＋φ)＋20.根据题图可知＝14－6＝8，T＝16，B错误；ω＝＝＝，所以f(x)＝10sin＋20，f(6)＝10sin＋20＝10，即sin＝－1.又0<φ<π，所以<＋φ<，所以＋φ＝，解得φ＝，A正确；f(x)＝10sin＋20，f(x＋8)＝10sin＋20＝10sin＋20＝－10sin＋20，所以f(x)＋f(x＋8)＝40，C正确；因为g(x)＝f(x＋m)＝10sin＋20＝10sin＋20是偶函数，所以m＋＝kπ＋，k∈Z，得m＝8k－2，k∈Z，所以当k＝0时，|m|取得最小值，为2，D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．化简：＝________． 答案：tanθ 解析：原式＝ ＝＝tanθ. 13．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________，f＝________． 答案：3＋　－ 解析：由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝.因此A＋ω＋φ＝3＋.因为f(x)＝2sin，所以f＝2sin＝－. 14．(2024·云南昆明高一下期末)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，f(x)在区间上单调，若f(x)在区间(－m，m)上有且仅有两个最值，则m的取值范围为________． 答案： 解析：因为函数f(x)＝sin(ω>0)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，得ω＝4k＋1，k∈Z，由0<x<，得<ωx＋<ω＋，因为f(x)在区间上单调，所以ω＋≤，得0<ω≤1，所以ω＝1，所以f(x)＝sin，由x∈(－m，m)，得x＋∈，因为f(x)在区间(－m，m)上有且仅有2个最值，所以或或 解得<m≤，即m的取值范围为. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(2024·陕西西安高一期末)(本小题满分13分)某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该扇形菜地的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝120°，R＝10 m，求扇形菜地的弧长l； (2)若该农户围建菜地的篱笆的长度为24 m，则当α为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？ 解：(1)由题意知α＝120°＝ rad，所以弧长l＝αR＝×10＝ m. (2)因为l＋2R＝24，所以l＝24－2R， 则S＝lR＝(24－2R)R＝－R2＋12R＝－(R－6)2＋36. 当R＝6时，S取得最大值36， 此时l＝12，从而α＝＝2. 故当该扇形菜地的圆心角α＝2 rad时，菜地的面积最大，最大值为36 m2. 16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由－≠kπ＋，k∈Z，得到函数f(x)的定义域为，最小正周期为T＝2π. 由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，无单调递减区间． 令－＝，k∈Z， 则x＝＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)． (2)由题意，kπ－≤－≤kπ＋，k∈Z，可得不等式－1≤f(x)≤ 的解集为. 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝cos(2x－φ)(0<φ<π)，其图象过点. (1)求φ的值； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝cos(2x－φ)，且函数图象过点，∴＝cos， 即cos＝1， 则－φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝－2kπ，k∈Z. 又0<φ<π，∴φ＝. (2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝cos的图象． ∵x∈，∴4x－∈， 故－≤cos≤1. ∴函数y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－. 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2sin. (1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z， 即x＝kπ－，k∈Z， 即此时自变量x的集合是. (2)把函数y＝sinx的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象． (3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥. 又函数y＝f(x)在上是减函数，f(0)＝－， 故m的最大值为内使函数值为－的值， 令2sin＝－， 得x＝， 所以实数m的取值范围是. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω>0，0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是.若将f(x)的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，图象对应的函数g(x)为奇函数． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)图象的对称轴及f(x)的单调区间； (3)若对任意x∈，[f(x)]2－(2＋n)·f(x)＋2＋n≤0恒成立，求实数n的取值范围． 解：(1)因为＝2×，所以ω＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)－b. 又因为g(x)＝sin－b＋为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝，b＝， 所以f(x)＝sin－. (2)解2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z； 解－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z； 解＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z. 函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)． (3)由x∈，得－≤f(x)≤1－， 所以－1－≤f(x)－1≤－. [f(x)]2－(2＋n)f(x)＋2＋n≤0恒成立， 即n≤＋f(x)－1恒成立． 由－1－≤f(x)－1≤－，得≤＋f(x)－1≤－， 所以n≤， 即实数n的取值范围是. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$