第7章 阶段练习2 三角函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

阶段练习2　三角函数的性质与图象 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　) A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝cos2x C．f(x)＝tan2x D．f(x)＝sin2x＋cos2x 答案：A 解析：对于A，f(x)＝sin2x的最小正周期为＝π，且f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，故f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故A符合题意；对于B，f(x)＝cos2x，则f(0)＝cos0＝1≠0，故f(x)＝cos2x的图象不关于原点对称，故B不符合题意；对于C，f(x)＝tan2x的最小正周期为，故C不符合题意；对于D，f(x)＝sin2x＋cos2x，则f(0)＝1≠0，故f(x)＝sin2x＋cos2x的图象不关于原点对称，故D不符合题意．故选A． 2．将函数f(x)＝cos(ω>0)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递减，则ω的最大值为(　　) A． B． C． D．1 答案：D 解析：由题意可得，g(x)＝cos(ω>0)，当x∈时，ωx∈，ωx＋∈，若g(x)在区间上单调递减，则≤π，解得ω≤1，故ω的最大值为1．故选D． 3．已知函数f(x)＝cos在[m，n]上单调递减，且f(m)－f(n)＝2，则tan＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：由函数f(x)＝cos在[m，n]上单调递减，且f(m)－f(n)＝2，可得(k∈Z)，两式相加，得2(m＋n)－＝π＋4kπ，k∈Z，即＝＋kπ，k∈Z，所以tan＝tan＝．故选D． 4．如图所示，将函数f(x)＝3sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位，得g(x)＝3sin(ωx－φ)(0<φ<π)的图象，其中P和P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若AP⊥AP1，S△APP1＝15，则g(x)＝(　　) A．3sin B．3sin C．3sin D．3sin 答案：D 解析：由题意，得AB＝，S△APP1＝AB×3×2＝15，故AB＝＝5，因为AP⊥AP1，所以BP1＝BP＝AB＝5，进而可得T＝＝4，故T＝＝16，解得ω＝，φ＝5ω＝，故g(x)＝3sin．故选D． 5．已知函数f(x)＝sinx在区间(k∈N＋)上的值域为Ak，若A1∩A2∩…∩Ak＝∅，则k的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：当k＝1时，f(x)＝sinx在区间上的值域为A1＝[0，1]；当k＝2时，f(x)＝sinx在区间上的值域为A2＝，则A1∩A2＝．当k＝3时，f(x)＝sinx在区间上的值域为A3＝，则A1∩A2∩A3＝．当k＝4时，f(x)＝sinx在区间上的值域为A4＝，则A1∩A2∩A3∩A4＝∅，则A1∩A2∩A3∩A4∩A5＝∅，…，则k的最小值是4．故选C． 二、多选题 6．下列关于函数f(x)＝|sin2x|＋有关性质的描述，正确的是(　　) A．函数f(x)为奇函数 B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝π对称 答案：BCD 解析：因为函数f(x)的定义域(k∈Z)关于原点对称，且f(－x)＝|sin[2(－x)]|＋＝|sin2x|＋＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，又f(0)＝1≠0，所以函数f(x)不是奇函数，故A不正确，C正确；因为f(π－x)＝|sin[2(π－x)]|＋＝|sin2x|＋＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；因为f(2π－x)＝|sin[2(2π－x)]|＋＝|sin2x|＋＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π对称，故D正确．故选BCD． 7．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10(单位：cm)，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h cm由关系式h＝Asin确定，其中A>0，t≥0．下列说法正确的是(　　) A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2 s B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20 cm C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 s D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是 答案：BC 解析：由题意可知，A＝＝＝5，则h＝5sin．对于A，函数h＝5sin的最小正周期为T＝＝2，所以小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时1 s，A错误；对于B，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20 cm，B正确；对于C，因为当t＝0时，h＝5sin＝，由h＝5sin＝，得πt＋＝2kπ＋(k∈Z)或πt＋＝2nπ＋(n∈Z)，解得t＝2k(k∈Z)或t＝2n＋(n∈Z)，易知t≥0，则t的可能取值有0，，2，，4，，…，小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 s，C正确；对于D，由πt＋＝，得t＝，则当t＝ s时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，设小球在m s内经过最高点和最低点的次数恰好是10次，则＋9T＋T≤m<＋10T，因为T＝2，所以19≤m<20，所以小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是，D错误．故选BC． 三、填空题 8．已知函数f(x)满足下列条件： ①f(x)的图象是由y＝cosx的图象经过变换得到的； ②∀x∈R，均满足f≤f(x)≤f； ③f(x)的值域为[－1，3]． 请写出符合上述条件的一个函数解析式：________． 答案：f(x)＝2sin2x＋1(答案不唯一) 解析：由①可设f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B，A>0，又由③可得A＝＝2，B＝＝1，所以f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，由②可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)＋1，又因为2×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ的一个值为φ＝－，因此函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2cos＋1＝2sin2x＋1(答案不唯一)． 9．若a＝(sin1)tan1，b＝(tan1)cos1，c＝logcos1tan1，则a，b，c的大小关系是________． 答案：c<a<b 解析：因为1∈，则sin1∈，cos1∈，tan1∈(1，)，即0<cos1<sin1<1<tan1，则0<(sin1)tan1<1，(tan1)cos1>1，logcos1tan1<0，即logcos1tan1<0<(sin1)tan1<1<(tan1)cos1，所以c<a<b． 10．已知函数f(x)＝2sin(3πx＋φ)，且x＝－为f(x)的一个零点，则φ＝________；函数y＝f(x)－x＋的所有零点之和为________． 答案：　2 解析：由题意，得f＝2sin＝2sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin．令y＝f(x)－x＋＝0，则函数y＝f(x)－x＋的所有零点即为函数y＝f(x)的图象与直线y＝x－图象上所有交点的横坐标，作出函数y＝f(x)与直线y＝x－的图象如图所示，由图可知，函数y＝f(x)与直线y＝x－的图象共有9个交点，因为f＝0，所以点是y＝f(x)图象的一个对称中心，又点在直线y＝x－上，所以点也是y＝x－图象的对称中心，所以两函数图象除点外的其余8个交点都关于点对称，所以所有交点的横坐标的和为×2×＋＝2，所以函数y＝f(x)－x＋的所有零点之和为2． 四、解答题 11．设函数f(x)＝tan． (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集； (3)作出函数y＝f(x)在一个周期内的简图． 解：(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)， ∴函数f(x)的定义域是． 函数f(x)的最小正周期T＝＝2π． 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 综上所述，函数f(x)的定义域是，最小正周期是2π，单调递增区间是(k∈Z)． (2)由－1≤tan≤，得 －＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． ∴不等式－1≤f(x)≤的解集是． (3)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－． ∴函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的与函数图象无限接近的两条直线方程分别是x＝－，x＝． 从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图如图所示． 12．函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间； (2)求函数f(x)在上的值域． 解：(1)由图象可知，A＝3，＝－＝2π， 所以T＝4π＝，解得ω＝， 将点代入，得3cos＝0， 结合图象，知＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 故f(x)＝3cos． 由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z， 故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z． (2)因为x∈， 所以x＋∈， 当x＋＝0，即x＝－时，函数f(x)的最大值为3， 当x＋＝，即x＝时，函数f(x)的最小值为0， 所以f(x)＝3cos∈[0，3]， 故函数f(x)在上的值域为[0，3]． 13．[多选]已知函数f(x)＝tan，则(　　) A．函数f是奇函数 B．函数f(x)的图象过点 C．函数y＝|f(x)|的图象关于直线x＝对称 D．若函数y＝|f(x)|＋λf(x)在区间上不单调，则实数λ的取值范围是[－1，1] 答案：BCD 解析：由题意，得f＝tan，根据正切函数的性质，可知函数f不是奇函数，A错误；f＝tan＝tan＝tan＝tan＝，所以函数f(x)的图象过点，B正确；因为＝＝|tanx|，＝＝|tanx|，所以＝，所以函数y＝|f(x)|的图象关于直线x＝对称，C正确；y＝|f(x)|＋λf(x)＝＋λtan，当x∈时，y＝|f(x)|＋λf(x)＝＋λtan＝tan＋λtan＝(1＋λ)tan，当x∈时，y＝|f(x)|＋λf(x)＝＋λtan＝－tan＋λtan＝(－1＋λ)tan，因为x＋∈，所以y＝tan为增函数，当函数y＝|f(x)|＋λf(x)在区间上不单调时，有(1＋λ)(－1＋λ)≤0，解得－1≤λ≤1，D正确．故选BCD． 14．将函数f(x)＝cos的图象向右平移a个单位(a为常数，且0<a<2)，得到函数g(x)＝sin的图象，若f(x)在区间(m，n)(0<m<n<π)上单调递增，g(x)在区间(m，n)上单调递减，则－m的最大值为________． 答案： 解析：因为将函数f(x)＝cos＝sin＝sin的图象向右平移a个单位后得到y＝sin的图象，又0<a<2，所以－2a＝－，解得a＝，当x∈(m，n)(0<m<n<π)时，2x＋∈，2m＋>，2n＋<，2x－∈，其中2m－>－，2n－<，若f(x)在(m，n)(0<m<n<π)上单调递增，g(x)在(m，n)(0<m<n<π)上单调递减，则2m＋≥π，2n＋≤2π，2m－≥，2n－≤，解得≤m<n≤，又－m＝－m，故要求－m的最大值，只需m＝，n＝，此时－m＝－＝，即－m的最大值为． 15．已知函数f(x)＝2sin＋1． (1)若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，且|x1－x2|min＝，求f(x)的对称中心； (2)已知0<ω<5，函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，x＝是g(x)的一个零点，若函数g(x)在[m，n](m，n∈R且m<n)上恰好有10个零点，求n－m的最小值． 解：(1)∵f(x)＝2sin＋1的最小正周期为T＝， 又f(x1)≤f(x)≤f(x2)，|x1－x2|min＝， ∴f(x)的最小正周期是π， 故T＝＝π，解得ω＝±1． 当ω＝1时，f(x)＝2sin＋1， 由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)， 故f(x)的对称中心为(k∈Z)； 当ω＝－1时，f(x)＝2sin＋1， 由－2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，f(x)的对称中心为(k∈Z)． 综上所述，f(x)的对称中心为(k∈Z)或(k∈Z)． (2)∵函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象， ∴g(x)＝2sin＋1， 又x＝是g(x)的一个零点， ∴g＝2sin＋1＝0， 即sin＝－， ∴ω＋＝＋2kπ或ω＋＝＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝3＋6k(k∈Z)或ω＝5＋6k(k∈Z)， 由0<ω<5可得ω＝3， ∴g(x)＝2sin＋1，最小正周期T＝． 令g(x)＝0，则sin＝－， 即6x－＝－＋2k1π或6x－＝－＋2k2π，k1，k2∈Z，解得x＝＋或x＝，k1，k2∈Z． 若函数g(x)在[m，n](m，n∈R且m<n)上恰好有10个零点，必有4T<n－m<6T， 要使n－m最小，需m，n恰好为g(x)的零点， 故(n－m)min＝4×＋＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$