第7章 三角函数 体验真题 感悟高考-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

1．(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1．综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B． 2．(2024·北京高考)设函数f(x)＝sinωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2．故选B． 3．(2024·天津高考)已知函数f(x)＝sin3(ω>0)的最小正周期为π，则函数在的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． 答案：A 解析：f(x)＝sin3＝sin(3ωx＋π)＝－sin3ωx，由T＝＝π，得ω＝，即f(x)＝－sin2x．当x∈时，2x∈，画出f(x)＝－sin2x的图象，如图．由图可知，f(x)＝－sin2x在上单调递减，所以当x＝时，f(x)min＝－sin＝－．故选A． 4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝．故选D． 5．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为函数y＝sinx的最小正周期为T1＝2π，函数y＝2sin的最小正周期为T2＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法作出两函数的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象有6个交点．故选C． 6．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos＝cos＝－sin2x的图象，所以f(x)＝－sin2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，作出y＝f(x)与直线y＝x－的部分图象如图，所以由图可知，y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3．故选C． 7．[多选](2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC． 8．(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cosβ的最大值为________． 答案：－ 解析：由题意，β＝α＋π＋2kπ，k∈Z，从而cosβ＝cos(α＋π＋2kπ)＝－cosα，因为α∈，所以cosα∈，cosβ∈，所以cosβ的最大值为－． 9．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案：[2，3) 解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cost＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3． 10．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 答案：－ 解析：设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sinx＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，则ω＝4．因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin＝sin(k∈Z)，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin，则f(π)＝sin＝－． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$