第7章 三角函数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

第七章　单元质量测评 时间：120分钟　 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　) A．－4 B．±4 C． D．4 答案：A 解析：因为tan600°＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝＝，故a＝－4． 2．已知sinα＝－，且α是第三象限角，则tanα的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由sinα＝－，且α是第三象限角，易得cosα＝－，故tanα＝． 3．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角为(　　) A． B．1 C． D．3 答案：B 解析：弧长l＝3r－2r＝r，则圆心角α＝＝1． 4．函数y＝sin的图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 答案：A 解析：令2x＋＝t，由函数y＝sint图象的对称轴方程为t＝＋kπ，k∈Z，可知2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝－π＋，k∈Z，∴函数y＝sin图象的对称轴方程为x＝－π，k∈Z，令k＝1，得x＝－．故选A． 5．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋3kπ(k∈Z)．又因为φ∈[0，2π]，所以φ＝． 6．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 答案：C 解析：a＝tan＝tan＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝sin，c＝sin＝sin，因为y＝sinx在上单调递增，所以sin>sin>0，即b>c>0，所以b>c>a．故选C． 7．函数y＝logcos的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案：B 解析：原函数可变形为y＝log(－sin2x)，故其定义域为(k∈Z)．又由函数y＝sin2x的单调递增区间，得－＋2kπ≤2x<2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x<kπ，k∈Z．故选B． 8．记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T．若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案：A 解析：因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3．因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin＋2＝1．故选A． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列命题中正确的是(　　) A．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角 B．若α>β，则cosα<cosβ C．若α与β是终边相同的角，则sinα＝sinβ D．α是第三象限角⇔sinαcosα>0且<0 答案：CD 解析：当θ＝2kπ＋π(k∈Z)时，cosθ＝－1<0，此时θ不是象限角，A错误；由于y＝cosx在R上不是减函数，因此由α>β得不出cosα<cosβ，如α＝0，β＝－2π满足α>β，但cosα＝cosβ，B错误；若α与β是终边相同的角，则α＝β＋2kπ，k∈Z，故sinα＝sinβ，C正确；若α是第三象限角，则sinα<0，cosα<0，tanα>0，∴sinαcosα>0，<0，反之，若sinαcosα>0，<0，则cosα<0，sinα<0，α是第三象限角，D正确．故选CD． 10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的周期是2π B．函数f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0} C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z) 答案：AD 解析：函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A正确；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)，故D正确．故选AD． 11．如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中(　　) A．经过10 min点P距离地面10 m B．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的 C．第17 min和第43 min时点P距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于70 m的时间为 min 答案：ACD 解析：以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离地面的高度与旋转时间t之间的函数关系式为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0，|φ|<π)．依题意，得A＝40，h＝50，T＝20，则ω＝＝，且f(0)＝40sinφ＋50＝90，所以φ＝，所以f(t)＝40sin＋50(t≥0)．对于A，f(10)＝40sin＋50＝10，A正确；对于B，若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，B错误；对于C，f(17)＝40sin＋50＝－40cos＋50＝40cos＋50，f(43)＝40sin＋50＝40cos＋50，所以f(17)＝f(43)，C正确；对于D，令f(t)≥70，得40sin＋50≥70，所以cost≥，所以－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋20k≤t≤＋20k，k∈Z，又－＝，即摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于70 m的时间为 min，D正确．故选ACD． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．化简：＝________． 答案：1 解析：＝＝1． 13．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数图象对应的解析式为________． 答案：y＝sin 解析：将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝sin的图象． 14．已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．若x∈时，f(x)的最大值为4，则a的值为________，f(x)的最小值为________． 答案：1　1 解析：∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，∴f(x)的最小值为－×2＋a＋1＝1． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知3sinα＋cosα＝0，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋2sinαcosα－3cos2α． 解：由3sinα＋cosα＝0，可得tanα＝－． (1)原式＝＝＝＝－1． (2)原式＝ ＝＝＝＝－． 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin． (1)用五点法画出函数f(x)在一个周期上的图象； (2)当x∈时，f(x)－a＝0有解，求实数a的取值范围． 解：(1)列表如下： x 2x－ 0 π 2π f(x) 0 0 － 0 描点、连线，如图所示． (2)∵－≤x≤，∴－≤2x－≤0， ∴－1≤sin≤， ∴－≤sin≤1． ∵f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解， ∴实数a的取值范围为[－，1]． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M． (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的值域． 解：(1)由最低点M，得A＝2． 由x轴上相邻两个交点之间的距离为，得＝， ∴T＝π，ω＝＝2． 由M在图象上，可得 2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝2kπ－，k∈Z， ∴φ＝2kπ－，k∈Z． 又φ∈，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin． (2)∵x∈，∴2x＋∈． 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，为2； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值，为－1， 故f(x)的值域为[－1，2]． 18．(本小题满分17分)某港口水的深度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10．0 13．0 9．9 7．0 10．0 13．0 10．1 7．0 10．0 经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt＋b(A>0，ω>0)的图象． (1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5 m或5 m以上时是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6．5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 解：(1)由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴ω＝＝＝，∴y＝3sint＋10． (2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6．5＝11．5(m)，∴3sint＋10≥11．5， ∴sint≥， 即＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)， 解得12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)， 在同一天内，取k＝0或k＝1， ∴1≤t≤5或13≤t≤17． ∴该船可在当日1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时． 19．(本小题满分17分)已知－≤β<，3sin2α－2sin2β＝2sinα，求sin2β－sin2α的最小值． 解：∵－≤β<， ∴－≤sinβ<，0≤sin2β<， ∴0≤2sin2β<1． ∵2sin2β＝3sin2α－2sinα， ∴0≤3sin2α－2sinα<1， 即 解得≤sinα<1或－<sinα≤0， ∴y＝sin2β－sin2α＝(3sin2α－2sinα)－sin2α＝－， 当sinα∈时，ymin＝－； 当sinα∈时，ymin＝0． 综上，sin2β－sin2α的最小值为－． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$