7.3.4 正切函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．3．4　正切函数的性质与图象 知识点一　正切函数的定义域、值域 1．函数y＝3tan的定义域是________． 答案： 解析：由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)． 2．函数y＝tan的值域为________． 答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：∵－≤x≤且x≠0，∴≤－x≤且－x≠，由正切函数的图象，得tan≥1或tan≤－1，即y≤－1或y≥1． 知识点二　正切函数的奇偶性、周期性 3．f(x)＝tan的最小正周期是(　　) A． B． C． D．π 答案：B 解析：T＝＝．故选B． 4．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝tanx＋；(2)f(x)＝lg |tanx|． 解：(1)要使函数有意义，需满足tanx≠0，且tanx有意义，即x∈∪，k∈Z，可知定义域关于原点对称．又对于定义域内的任意x，都有f(－x)＝－tanx－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． (2)由得 ∴函数f(x)的定义域为∪，k∈Z，其关于原点对称．又对任意x∈∪，k∈Z，都有f(－x)＝lg |tan(－x)|＝lg |－tanx|＝lg |tanx|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数． 知识点三　正切函数的单调性及应用 5．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案：A 解析：令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得2k－<x<2k＋，k∈Z． 6．设a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 答案：D 解析：∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝logtan70°<0．又0<sin25°<sin30°＝，∴b＝logsin25°>log＝1，而c＝∈(0，1)，∴a<c<b． 7．若函数f(x)＝tanx在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1] 解析：∵>－，∴a>0，∴>0，－<0， ∴解得0<a≤1． 知识点四　正切函数的图象 8．函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　) 　　 答案：A 解析：因为函数y＝tan的最小正周期为2π，所以排除B，D；当x＝时，y≠0，所以排除C．故选A． 9．函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ的值为________． 答案：－或 解析：因为函数y＝tanx图象的对称中心为，k∈Z，点是函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心，所以2×＋θ＝，k∈Z，所以θ＝－，k∈Z，因为－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－；当k＝2时，θ＝．所以θ＝－或． 10．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调性． 解：由y＝|tanx|＋tanx知y＝(k∈Z)． 其图象如下图所示： ①定义域：； ②值域：[0，＋∞)； ③周期：T＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数； ⑤单调性：单调递增区间为，k∈Z． 一、单选题 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：y＝tan＝－tan，由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z．故选D． 2．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　) A．±1 B．1 C．±2 D．2 答案：A 解析：由题意可得＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1． 3．函数y＝lg (　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：A 解析：由题意，知>0，∴tanx>1或tanx<－1，∴＋kπ<x<＋kπ或－＋kπ<x<－＋kπ，k∈Z，定义域关于原点对称．又lg ＝lg ＝－lg ，∴y＝lg 是奇函数．故选A． 4．函数f(x)＝－tanx－sinx＋|tanx－sinx|在区间内的图象是(　　) 答案：B 解析：当x∈时，tanx<0<sinx，∴f(x)＝－tanx－sinx＋|tanx－sinx|＝－2tanx；当x∈时，tanx>0>sinx，∴f(x)＝－tanx－sinx＋|tanx－sinx|＝－2sinx，由选项可判定B中图象正确．故选B． 5．设集合A＝，则集合A的元素个数为(　　) A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 答案：A 解析：当1≤k≤1012时，tan∈，由正切函数的单调性可知，此时x单调递增，则集合A至少有1012个元素：tan，tan＋tan，…，tan＋tan＋tan＋…＋tan；当2023≥k≥1013时，由于正切函数关于点(k∈Z)对称，则tan＝－tan，tan＝－tan，…，tan＝－tan，所以当k增加时，元素x与前面的重复；当k＝2024时，元素x等于0；当k≥2025时，由正切函数的周期性可知，元素x又重复出现了，则集合A的元素个数为1013．故选A． 二、多选题 6．下列关于函数f(x)＝－|tanx|的说法正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)为偶函数 C．函数f(x)的最小值为0 D．函数f(x)的最小正周期为π 答案：BD 解析：对于A，函数f(x)的定义域为，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，又f(－x)＝－|tan(－x)|＝－|tanx|＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故B正确；对于C，作出函数f(x)的草图如图所示，由图可知，函数f(x)没有最小值，故C错误；对于D，由图可知，函数f(x)的最小正周期为π，故D正确．故选BD． 7．已知函数f(x)＝tan(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)的最小正周期是2π，则ω＝ B．当ω＝1时，f(x)图象的一个对称中心为 C．当ω＝1时，f>f D．若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围为 答案：BCD 解析：对于A，若f(x)的最小正周期是2π，则＝2ω，解得ω＝，故A错误；对于B，当ω＝1时，f(x)＝tan，又2×－＝，所以点是f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，当ω＝1时，f(x)＝tan，则f＝tan＝－tan，f＝tan＝－tan，由tan<tan，得－tan>－tan，所以f>f，故C正确；对于D，令－＋kπ<2ωx－<＋kπ，k∈Z，解得－＋<x<＋，k∈Z，因为f(x)在区间上单调递增，所以k∈Z，解得≤ω≤，k∈Z，又ω＞0，所以0<ω≤，即ω的取值范围是，故D正确．故选BCD． 三、填空题 8．比较大小：tan________tan． 答案：＜ 解析：tan＝tan，tan＝tan，又y＝tanx在上单调递增，所以tan＜tan，即tan＜tan． 9．函数y＝sinx与y＝tanx的图象在区间[0，2π]上的交点的个数是________． 答案：3 解析：函数y＝sinx与y＝tanx在区间[0，2π]上的图象如图所示．观察图象，可知函数y＝tanx与y＝sinx的图象在区间[0，2π]上共有3个交点． 10．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，函数f(x)的部分图象如图，则ω＝________，f＝________． 答案：2　 解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于－＝＝，故该正切函数的周期为，所以ω＝2．由题可知，图象过定点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝．再由图象过定点(0，1)，得A＝1．综上可知，f(x)＝tan．故f＝tan＝tan＝． 四、解答题 11．已知f(x)＝tan(2x－bπ)图象的一个对称中心为，若|b|<，求函数f(x)的周期及单调区间． 解：由2x－bπ＝，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， 即函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z． 因为函数图象的一个对称中心为， 所以＋＝，即＋＝，即b＝－，k∈Z． 若|b|<，则－<b<，即－<－<，得<k<， 又因为k∈Z，所以k＝1或2． 若k＝1，则b＝，即f(x)＝tan(2x－bπ)＝tan， 则函数f(x)的周期T＝， 由kπ－<2x－<kπ＋，k∈Z，得－<x<＋，k∈Z， 即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z； 若k＝2，则b＝－，即f(x)＝tan， 则函数f(x)的周期T＝， 由kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z，得－<x<＋，k∈Z， 即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z． 12．已知f(x)＝tan． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|<的φ值． 解：(1)解法一：∵y＝tanx的最小正周期是π． ∴f(x)＝tan的最小正周期是． 解法二：由诱导公式知， tan＝tan ＝tan，即f＝f(x)． ∴f(x)的最小正周期是． (2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函数， ∴＋2φ＝(k∈Z)，即φ＝－(k∈Z)． 又<(k∈Z)， ∴k＝－1，0，1或2． 从而得φ＝－，－，或． 13．已知函数f(x)＝则函数f(x)的值域为________；若关于x的方程f(x)－a＝0恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 答案：[－1，1]　 解析：当x∈时，sinx∈(－1，1]；当x∈时，cosx∈；当x∈时，tanx∈[－1，0)．综上，函数f(x)的值域为[－1，1]．作出函数f(x)的图象如图． 因为关于x的方程f(x)－a＝0恰有三个不相等的实数根，所以函数f(x)的图象与直线y＝a有三个交点，由图可知，－<a<0，即实数a的取值范围为． 14．已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且f＝1． (1)求函数f(x)的解析式； (2)函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移λ(λ>0)个单位得到，若g＝－f(0)，求λ的最小值． 解：(1)由题意，可得T＝， 因为T＝＝，且ω>0，所以ω＝， 又因为f＝tan＝1， 则＋φ＝＋kπ，k∈Z， 解得φ＝＋kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以k＝0，φ＝， 所以f(x)＝tan． (2)由题意，可知g(x)＝tan， 因为－f(0)＝－tan＝tan， 由g＝－f(0)， 得tan＝tan， 所以λ＋＝－＋kπ，k∈Z， 解得λ＝－＋，k∈Z，因为λ>0， 所以λ的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$