第7章 阶段练习1 任意角的概念、弧度制及三角函数-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

阶段练习1　任意角的概念、弧度制及三角函数 一、单选题 1．已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和θ相同，则角α的集合为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：终边落在y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，终边落在y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，故角α的集合为．故选C． 2．如果α是第三象限角，则－是(　　) A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 答案：C 解析：因为α是第三象限角，则180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，故－135°－k·180°<－<－k·180°－90°，k∈Z，当k为偶数时，－在第三象限；当k为奇数时，－在第一象限．故选C． 3．设sin(－80°)＝k，则tan260°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：因为sin(－80°)＝－sin80°＝k，则sin80°＝－k，所以cos80°＝，则tan260°＝tan(180°＋80°)＝tan80°＝＝－．故选D． 4．已知a＝sin，b＝tan，c＝log162，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 答案：D 解析：先证明当0<x<时，sinx<x<tanx，构造单位圆⊙O，如图所示，则A(1，0)，设∠POA＝x∈，则P(cosx，sinx)，过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T，由＝tanx，得AT＝tanx，所以T(1，tanx)，由图可知，S△OPA<S扇形OPA<S△TOA，即×1×sinx<×12×x<×1×tanx，即sinx<x<tanx，又c＝log162＝log242＝log22＝，a＝sin，b＝tan，所以a<c<b．故选D． 5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为1∶25，则tanα的值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图，设大正方形ABCD的边长为a，则小正方形EFMN的边长为AF－AE＝AF－BF＝acosα－asinα，所以小正方形与大正方形的面积之比为＝(cosα－sinα)2＝，化简，得2sinαcosα＝，由2sinαcosα＝＝＝，0°<α<45°，解得tanα＝．故选D． 二、多选题 6．下列命题正确的是(　　) A．在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170° B．若角α的终边过点P(－4，3)，则cosα＝－ C．已知θ是第二象限角，则tan(sinθ)>tan(cosθ) D．若一扇形的弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 答案：ABC 解析：由0°<k·360°＋530°<360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角β＝170°，A正确；由三角函数的定义，可得cosα＝＝－，B正确；∵θ是第二象限角，∴0<sinθ<1<，－<－1<cosθ<0，∴tan(sinθ)>0，tan(cosθ)<0，∴tan(sinθ)>tan(cosθ)，C正确；∵扇形的弧长为2，圆心角为90°，则扇形的半径为，∴扇形的面积为×2×＝，D错误．故选ABC． 7．质点A，B在以坐标原点O为圆心，1为半径的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线y＝x(x≥0)与圆O的交点处，点A的角速度为1 rad/s，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为2 rad/s，则下列说法正确的是(　　) A．在2 s末时，点B的坐标为(－cos4，－sin4) B．在2 s末时，劣弧AB的长为2－ C．在5π s末时，点A与点B重合 D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为 答案：BD 解析：由题意，2 s末时，射线OB逆时针旋转了4 rad，则点B的坐标为(cos4，sin4)，A错误；点A的初始位置为，2 s后，射线OA逆时针旋转了2 rad，则∠AOB＝4－＝2－，所以劣弧AB的长为2－，B正确；设t时刻点A与点B重合，则2t－t＝t＝＋2kπ(k∈Z)，令＋2kπ＝5π，得k＝∉Z，所以在5π s末时，点A与点B不重合，C错误；由C项分析可知，t＝时，点A与点B第一次重合，此时射线OA逆时针旋转了，射线OB逆时针旋转了，可得点A与点B重合于，此时点A的坐标为，D正确．故选BD． 三、填空题 8．依据三角函数线作出如下四个判断： ①sin＝sin；②cos＝cos； ③tan>tan；④sin>sin． 其中判断正确的是________(填序号)． 答案：②④ 解析：对于①，如图1所示，依据三角函数线，可得sin的函数值为正，sin的函数值为负，可得sin>sin，所以①不正确； 　　 对于②，如图2所示，依据三角函数线，可得cos和cos的三角函数线长度相等，即cos＝cos，所以②正确；对于③，如图3所示，因为0<<<，依据三角函数线，可得tan>0，tan>0，且的正切线的长度大于的正切线的长度，即tan<tan，所以③不正确； 　　 对于④，如图4所示，依据三角函数线，可得sin>0，sin>0，且的正弦线的长度大于的正弦线的长度，所以sin>sin，所以④正确．故判断正确的是②④． 9．若A，B是锐角三角形ABC的内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在第________象限． 答案：二 解析：由题意，得cosB－sinA＝sin－sinA，因为△ABC是锐角三角形，故A＋B>，>A>－B，故sin<sinA，即cosB－sinA<0．又sinB－cosA＝sinB－sin，同理可得，sinB>sin，即sinB－cosA>0．故点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在第二象限． 10．立德中学拟建一个扇环形状的花坛(如图)，该扇环面由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设计小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)，当θ＝时，x＝________米；现要给花坛的边缘(实线部分)进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M的最小值为________元． 答案：5　 解析：由题意，得30＝xθ＋10θ＋2(10－x)，解得θ＝，当θ＝时，x＝5．S花坛＝×10×θ×10－×θ×x2＝(100－x2)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)，装饰费用为9θ(x＋10)＋2(10－x)·4＝9xθ＋90θ＋8(10－x)＝170＋10x，故M＝＝－，令t＝17＋x，17<t<27，则M＝－＝－＝－，∵t＋≥2＝36，当且仅当t＝，即t＝18，x＝1时，等号成立，∴M≥－＝，即花坛每平方米的装饰费用M的最小值为元． 四、解答题 11．(1)已知α∈，tanα＝2，求cosα－sinα的值； (2)已知cos＝，求cos－sin的值； (3)求证：＝． 解：(1)由已知，得 由①，得sinα＝2cosα，代入②， 得4cos2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝，又α∈，∴cosα<0， ∴cosα＝－，∴sinα＝－， ∴cosα－sinα＝－－＝． (2)由cos＝，得 cos－sin＝cos－sin＝－cos－cos＝－－＝－． (3)证明：∵右边＝ ＝＝ ＝＝＝左边， ∴原等式成立． 12．已知f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝2，求sin2α－3sinαcosα的值； (3)若f＝3，求sin的值． 解：(1)f(α)＝＝＝＝tanα． (2)由(1)，得tanα＝2， 所以sin2α－3sinαcosα＝＝＝＝－． (3)由(1)，得tan＝3，令α－＝θ， 则α＝θ＋， 则tan＝tan＝＝＝－＝3， 所以tanθ＝－，又tanθ＝＝－， 得cosθ＝－3sinθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1， 解得sinθ＝±， 故sin＝或sin＝－． 13．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为(　　) A．2π B． C．π D． 答案：D 解析：设第i(i∈N＋)次滚动后点A的位置为Ai，结合图形，可知第3次或第4次滚动后，点A再次达到圆周A3(A4)处，则第7次或第8次滚动后，点A达到圆周A7(A8)，第11次或第12次滚动后点A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈．因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，设第i(i∈N＋)次滚动点A的路程为Bi，则B1＝A1B＝×1＝，B2＝A1A7＝×＝，B3＝B1＝，B4＝0，又B1＋B2＋B3＋B4＝B5＋B6＋B7＋B8＝B9＋B10＋B11＋B12，所以点A所走过的路程为3(B1＋B2＋B3＋B4)＝．故选D． 14．已知锐角θ满足logsinθ＝－，则logtanθcosθ的值是________． 答案： 解析：∵锐角θ满足logsinθ＝－，∴锐角θ满足log(tanθ＋)sinθ＝－， ∴＝sinθ，即＝sin4θ，∴＝sin4θ，∴sin3θcos3θ＝sin4θ，cos3θ＝sinθ，∵θ是锐角，∴cosθ>0，∴cos2θ＝＝tanθ，∴logtanθcosθ＝logcos2θcosθ＝logcosθcosθ＝． 15．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长度是l，的长度是l′，几何图形ABCD的面积为S，扇形BOC的面积为S′，已知＝2，∠BOC＝α． (1)求； (2)若几何图形ABCD的周长为4，则当α为多少时，S最大？ 解：(1)由∠BOC＝α，则l＝α·OA，l′＝α·OB， 所以＝＝＝2，即OA＝2OB，l＝2l′， ＝＝＝3． (2)由(1)知，AB＝CD＝OB， 几何图形ABCD的周长为AB＋l＋l′＋CD＝2OB＋3l′＝4， S＝l·OA－l′·OB＝·2l′·2OB－l′·OB＝l′·OB＝·(3l′)·(2OB)≤·＝×＝1， 当且仅当 即α＝时，S的最大值为1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$