8.2.4 第1课时 半角公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

8．2．4　三角恒等变换的应用 第1课时　半角公式 知识点一　给角求值 1．cos15°＝(　　) A． B． C．± D．± 答案：A 解析：因为15°是第一象限角，所以cos15°>0，由半角的余弦公式可知cos15°＝．故选A． 2．tan67．5°－tan22．5°的值是________． 答案：2 解析：tan67．5°－tan22．5°＝－＝－＝2． 3．计算：sin4＋sin4＋sin4＋sin4＝________． 答案： 解析：原式＝sin4＋sin4＋cos4＋cos4＝－2sin2cos2＋－2cos2sin2＝1－sin2＋1－sin2＝2－－＝． 知识点二　给值求值 4．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 答案：A 解析：解法一：∵cosα＝－，α是第三象限角，∴sinα＝－，tan＝＝＝－3，∴＝＝－． 解法二：∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－．∴＝＝＝·＝＝＝－． 5．若5π<θ<6π，cos＝a，则sin＝________． 答案：－ 解析：∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0，∴sin＝－＝－． 6．设α是第二象限角，tanα＝－，且sin<cos，则cos＝________． 答案：－ 解析：因为α是第二象限角，所以为第一或第三象限角．又sin<cos，所以为第三象限角，所以cos<0．因为tanα＝－，所以cosα＝－，所以cos＝－＝－． 7．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则cos＝________． 答案： 解析：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，∴cosα＝－，cosβ＝．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝．又<α<π，0<β<，∴0<α－β<π，0<<，∴cos＝＝＝． 知识点三　三角恒等式的证明及应用 8．已知cosθ＝，求证：tan2＝． 证明：左边＝＝ ＝＝· ＝＝右边．∴原等式得证． 9．求证：＝． 证明：要证原式，可以证明＝． ∵左边＝ ＝＝＝tan2θ， 右边＝＝tan2θ， ∴左边＝右边， ∴原等式得证． 10．已知函数f(x)＝，试判断函数f(x)在上的单调性． 解：∵x∈，∴∈， ∴sin>0，cos>0， 由半角公式，知f(x)＝＝tan， 故函数f(x)在上单调递增． 一、单选题 1．已知cosα＝，α∈，则sin＝(　　) A． B．－ C． D． 答案：A 解析：∵α∈，∴∈，sin＝＝． 2．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，则tan的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案：B 解析：解法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，∴tan<0，∴tan＝－＝－＝－2． 解法二：∵180°<θ<270°，∴sinθ<0，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2． 3．已知3π<θ<4π，则＝(　　) A．sin B．cos C．－sin D．－cos 答案：D 解析：∵3π<θ<4π，∴<<2π，<<π，∴cos＝，cos＝－， ∴＝＝－cos．故选D． 4．已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα＝．又β＝－，所以cosβ＝cos＝sin＝＝＝．故选B． 5．已知α是锐角，cosα＝，则cos＝(　　) A．－ B．＋ C．－ D．－ 答案：D 解析：因为α是锐角，所以0<<，因为sin2＝＝＝，cos2＝＝＝，所以sin＝，cos＝，所以cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－．故选D． 二、多选题 6．已知sinα＝－，且180°<α<270°，则下列结论正确的是(　　) A．sin2α＝－ B．sin＝ C．cos＝－ D．tan＝－2 答案：BCD 解析：因为180°<α<270°，所以cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，故A错误；因为90°<<135°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，则tan＝＝－2，故B，C，D正确．故选BCD． 7．已知sinθ＝，cosθ＝，θ∈，则下列说法正确的是(　　) A．m＝0 B．m＝8 C．tan＝5 D．sin＝ 答案：BC 解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8，当m＝0时，sinθ<0，不符合<θ<π，∴m＝0舍去，经检验m＝8，故A错误，B正确；∵sinθ＝，cosθ＝－，∴tan＝＝＝5，故C正确；∵sin＝＝，故D错误．故选BC． 三、填空题 8．··＝________． 答案：tan 解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan． 9．若|cosθ|＝，<θ<3π，则sin＝________，cos＝________． 答案：－　－ 解析：因为<θ<3π，|cosθ|＝，所以cosθ<0，cosθ＝－，因为<<，所以sin<0，cos<0，sin2＝＝，所以sin＝－，所以cos＝－＝－． 10．在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A＝________． 答案：－ 解析：sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝＋2×－1＝－． 四、解答题 11．求证：(1)1＋2cos2θ－cos2θ＝2； (2)＝． 证明：(1)左边＝1＋2×－cos2θ＝2＝右边．所以原等式成立． (2)左边 ＝ ＝＝＝ ＝＝＝右边． 所以原等式成立． 12．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b． (1)若f(θ)＝0，求的值； (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最小值． 解：(1)∵a＝(1，－)，b＝， ∴f(x)＝a·b＝sinx－＝sinx－cosx． ∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，∴tanθ＝， ∴＝＝＝＝－2＋． (2)f(x)＝sinx－cosx＝2sin． ∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴当x－＝－，即当x＝0时，函数f(x)取到最小值，为f(0)＝－， ∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的最小值为－． 13．数学里有一种证明方法叫作Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB＝θ，则由tan∠BCH＝可以直接证明的三角函数公式是(　　) A．tan＝ B．tan＝ C．tan＝ D．tan＝ 答案：C 解析：由已知∠COB＝θ，则∠CBO＝－，∠BCH＝，又tan＝，sinθ＝，cosθ＝，BH＋OH＝OB＝OC，因此＝＝＝tan．故选C． 14．已知α∈，β∈，cos(α－β)－cos(α＋β)＝，tan＋＝． (1)求cos2β的值； (2)求tan(α＋β)的值． 解：(1)由cos(α－β)－cos(α＋β)＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ－cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即sinαsinβ＝， 因为tan＝＝， 所以tan＋＝＋＝， 又因为tan＋＝， 所以＝，即sinα＝，所以sinβ＝， 所以cos2β＝1－2sin2β＝1－2×＝－． (2)由(1)知，sinα＝，sinβ＝， 又因为α∈，β∈， 所以cosα＝＝＝， cosβ＝＝＝， 所以tanα＝＝＝， tanβ＝＝＝， 所以tan(α＋β)＝＝＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$